Função Geradora de Momentos

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Probabilidade I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 15/07 1 / 15
Função Geradora de Momentos
Calculamos algumas características da variável aleatória X , tais como E(X) e
Var(X), através da distribuição de probabilidade de X .
É possível introduzir uma outra função que facilita o cálculo de probabilidades e
de outras quantidades relacionadas.
Definição 2.12: Seja X uma variável aleatória. Então o momento de ordem k é
definido como,
µk = E(X k),
se E(|X k |)<∞.
Para o caso discreto, temos que: µk = E(X k)=
∑∞
i=1 x
k
i p(xi).
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Função Geradora de Momentos
Calculamos algumas características da variável aleatória X , tais como E(X) e
Var(X), através da distribuição de probabilidade de X .
É possível introduzir uma outra função que facilita o cálculo de probabilidades e
de outras quantidades relacionadas.
Definição 2.12: Seja X uma variável aleatória. Então o momento de ordem k é
definido como,
µk = E(X k),
se E(|X k |)<∞.
Para o caso discreto, temos que: µk = E(X k)=
∑∞
i=1 x
k
i p(xi).
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Função Geradora de Momentos
Calculamos algumas características da variável aleatória X , tais como E(X) e
Var(X), através da distribuição de probabilidade de X .
É possível introduzir uma outra função que facilita o cálculo de probabilidades e
de outras quantidades relacionadas.
Definição 2.12: Seja X uma variável aleatória. Então o momento de ordem k é
definido como,
µk = E(X k),
se E(|X k |)<∞.
Para o caso discreto, temos que: µk = E(X k)=
∑∞
i=1 x
k
i p(xi).
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Função Geradora de Momentos
Calculamos algumas características da variável aleatória X , tais como E(X) e
Var(X), através da distribuição de probabilidade de X .
É possível introduzir uma outra função que facilita o cálculo de probabilidades e
de outras quantidades relacionadas.
Definição 2.12: Seja X uma variável aleatória. Então o momento de ordem k é
definido como,
µk = E(X k),
se E(|X k |)<∞.
Para o caso discreto, temos que: µk = E(X k)=
∑∞
i=1 x
k
i p(xi).
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Função Geradora de Momentos
Calculamos algumas características da variável aleatória X , tais como E(X) e
Var(X), através da distribuição de probabilidade de X .
É possível introduzir uma outra função que facilita o cálculo de probabilidades e
de outras quantidades relacionadas.
Definição 2.12: Seja X uma variável aleatória. Então o momento de ordem k é
definido como,
µk = E(X k),
se E(|X k |)<∞.
Para o caso discreto, temos que: µk = E(X k)=
∑∞
i=1 x
k
i p(xi).
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Função Geradora de Momentos
O momento central de ordem k é definido como,
µk = E((X −µ)k).
O valor esperado é o momento de ordem 1 e a variância é o momento central de
ordem 2, que pode também ser obtida como a diferença entre o momento de
ordem 2 e o quadrado do momento de ordem 1.
Definição 2.13:(Função Geradora de Momentos) A função geradora de
momentos da variável X é definida por
MX (t)= E(etX ),
desde que a esperança seja finita para t real em algum intervalo −t0 < t < t0, com
t0 > 0.
Para o caso discreto, temos que: MX (t)= E(etX )=
∑∞
i=1 e
txip(xi).
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Função Geradora de Momentos
O momento central de ordem k é definido como,
µk = E((X −µ)k).
O valor esperado é o momento de ordem 1 e a variância é o momento central de
ordem 2, que pode também ser obtida como a diferença entre o momento de
ordem 2 e o quadrado do momento de ordem 1.
Definição 2.13:(Função Geradora de Momentos) A função geradora de
momentos da variável X é definida por
MX (t)= E(etX ),
desde que a esperança seja finita para t real em algum intervalo −t0 < t < t0, com
t0 > 0.
Para o caso discreto, temos que: MX (t)= E(etX )=
∑∞
i=1 e
txip(xi).
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Função Geradora de Momentos
O momento central de ordem k é definido como,
µk = E((X −µ)k).
O valor esperado é o momento de ordem 1 e a variância é o momento central de
ordem 2, que pode também ser obtida como a diferença entre o momento de
ordem 2 e o quadrado do momento de ordem 1.
Definição 2.13:(Função Geradora de Momentos) A função geradora de
momentos da variável X é definida por
MX (t)= E(etX ),
desde que a esperança seja finita para t real em algum intervalo −t0 < t < t0, com
t0 > 0.
Para o caso discreto, temos que: MX (t)= E(etX )=
∑∞
i=1 e
txip(xi).
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Função Geradora de Momentos
O momento central de ordem k é definido como,
µk = E((X −µ)k).
O valor esperado é o momento de ordem 1 e a variância é o momento central de
ordem 2, que pode também ser obtida como a diferença entre o momento de
ordem 2 e o quadrado do momento de ordem 1.
Definição 2.13:(Função Geradora de Momentos) A função geradora de
momentos da variável X é definida por
MX (t)= E(etX ),
desde que a esperança seja finita para t real em algum intervalo −t0 < t < t0, com
t0 > 0.
Para o caso discreto, temos que: MX (t)= E(etX )=
∑∞
i=1 e
txip(xi).
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Função Geradora de Momentos
A definição de função geradora de momentos requer que a soma seja finita para
valores de t em uma vizinhança de zero, garantindo algumas propriedades
importantes. Assim, diremos que a função geradora de momentos não existe
para valores de t , fora de algum intervalo ao redor de zero, em que é finita.
EXEMPLO 2.25: Seja X uma V.A. com a seguinte função de distribuição.
Obtenha a função geradora de momentos de X .
F(X)=

0, se x < 0;
0.5, se 0≤ x < 1;
0.75, se 1≤ x > 2;
1, se x ≥ 2;
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Função Geradora de Momentos
A definição de função geradora de momentos requer que a soma seja finita para
valores de t em uma vizinhança de zero, garantindo algumas propriedades
importantes. Assim, diremos que a função geradora de momentos não existe
para valores de t , fora de algum intervalo ao redor de zero, em que é finita.
EXEMPLO 2.25: Seja X uma V.A. com a seguinte função de distribuição.
Obtenha a função geradora de momentos de X .
F(X)=

0, se x < 0;
0.5, se 0≤ x < 1;
0.75, se 1≤ x > 2;
1, se x ≥ 2;
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Função Geradora de Momentos
EXEMPLO 2.25:
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Função Geradora de Momentos
PROPRIEDADES:
Apresentaremos agora a justificativa de se denominar MX função geradora de
momentos.
Lembrando que eX pode ser escrita com uma expansão em série de potências.
ex = 1+ x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .+
xn
n!
+ . . .
Temos então que
etx = 1+ tx+
(tx)2
2!
+
(tx)3
3!
+ . . .+
(tx)n
n!
+ . . .
Aplicando esperança em ambos os lados obtemos do lado esquerdo MX (t). Para
o lado direito, admitimos ser válido permutar soma infinita e esperança.
MX (t)= E(etX )= E

1+ tX +
(tX)2
2!
+
(tX)3
3!
+ . . .+
(tX)n
n!
+ . . .
‹
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Função Geradora de Momentos
PROPRIEDADES:
Apresentaremos agora a justificativa de se denominar MX função geradora de
momentos.
Lembrando que eX pode serescrita com uma expansão em série de potências.
ex = 1+ x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .+
xn
n!
+ . . .
Temos então que
etx = 1+ tx+
(tx)2
2!
+
(tx)3
3!
+ . . .+
(tx)n
n!
+ . . .
Aplicando esperança em ambos os lados obtemos do lado esquerdo MX (t). Para
o lado direito, admitimos ser válido permutar soma infinita e esperança.
MX (t)= E(etX )= E

1+ tX +
(tX)2
2!
+
(tX)3
3!
+ . . .+
(tX)n
n!
+ . . .
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Função Geradora de Momentos
PROPRIEDADES:
Apresentaremos agora a justificativa de se denominar MX função geradora de
momentos.
Lembrando que eX pode ser escrita com uma expansão em série de potências.
ex = 1+ x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .+
xn
n!
+ . . .
Temos então que
etx = 1+ tx+
(tx)2
2!
+
(tx)3
3!
+ . . .+
(tx)n
n!
+ . . .
Aplicando esperança em ambos os lados obtemos do lado esquerdo MX (t). Para
o lado direito, admitimos ser válido permutar soma infinita e esperança.
MX (t)= E(etX )= E

1+ tX +
(tX)2
2!
+
(tX)3
3!
+ . . .+
(tX)n
n!
+ . . .
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Função Geradora de Momentos
PROPRIEDADES:
Apresentaremos agora a justificativa de se denominar MX função geradora de
momentos.
Lembrando que eX pode ser escrita com uma expansão em série de potências.
ex = 1+ x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .+
xn
n!
+ . . .
Temos então que
etx = 1+ tx+
(tx)2
2!
+
(tx)3
3!
+ . . .+
(tx)n
n!
+ . . .
Aplicando esperança em ambos os lados obtemos do lado esquerdo MX (t). Para
o lado direito, admitimos ser válido permutar soma infinita e esperança.
MX (t)= E(etX )= E

1+ tX +
(tX)2
2!
+
(tX)3
3!
+ . . .+
(tX)n
n!
+ . . .
‹
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Função Geradora de Momentos
MX (t)= 1+ tE(X)+
t2E(X 2)
2!
+
t3E(X 3)
3!
+ . . .+
tnE(X n)
n!
+ . . .
Já que MX (t) é uma função da variável t , podemos tomar a derivada de MX (t)
em relação a t , supondo que o lado direito possa ser escrito como a soma infinita
das respectivas derivadas.
M ′X (t)=
∂
∂ t
MX (t)= 0+E(X)+
2tE(X 2)
2!
+
3t2E(X 3)
3!
+ . . .+
ntn−1E(X n)
n!
+ . . .
M ′X (t)= E(X)+ tE(X 2)+
t2E(X 3)
2!
+ . . .+
tn−1E(X n)
(n−1)! + . . .
Para t = 0 obtemos
M ′X (0)= E(X)
Assim, a primeira derivada da F.G.M. calculada para t = 0, fornece o primeiro
momento que é o valor esperado da variável aleatória.
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Função Geradora de Momentos
MX (t)= 1+ tE(X)+
t2E(X 2)
2!
+
t3E(X 3)
3!
+ . . .+
tnE(X n)
n!
+ . . .
Já que MX (t) é uma função da variável t , podemos tomar a derivada de MX (t)
em relação a t , supondo que o lado direito possa ser escrito como a soma infinita
das respectivas derivadas.
M ′X (t)=
∂
∂ t
MX (t)= 0+E(X)+
2tE(X 2)
2!
+
3t2E(X 3)
3!
+ . . .+
ntn−1E(X n)
n!
+ . . .
M ′X (t)= E(X)+ tE(X 2)+
t2E(X 3)
2!
+ . . .+
tn−1E(X n)
(n−1)! + . . .
Para t = 0 obtemos
M ′X (0)= E(X)
Assim, a primeira derivada da F.G.M. calculada para t = 0, fornece o primeiro
momento que é o valor esperado da variável aleatória.
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Função Geradora de Momentos
MX (t)= 1+ tE(X)+
t2E(X 2)
2!
+
t3E(X 3)
3!
+ . . .+
tnE(X n)
n!
+ . . .
Já que MX (t) é uma função da variável t , podemos tomar a derivada de MX (t)
em relação a t , supondo que o lado direito possa ser escrito como a soma infinita
das respectivas derivadas.
M ′X (t)=
∂
∂ t
MX (t)= 0+E(X)+
2tE(X 2)
2!
+
3t2E(X 3)
3!
+ . . .+
ntn−1E(X n)
n!
+ . . .
M ′X (t)= E(X)+ tE(X 2)+
t2E(X 3)
2!
+ . . .+
tn−1E(X n)
(n−1)! + . . .
Para t = 0 obtemos
M ′X (0)= E(X)
Assim, a primeira derivada da F.G.M. calculada para t = 0, fornece o primeiro
momento que é o valor esperado da variável aleatória.
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MX (t)= 1+ tE(X)+
t2E(X 2)
2!
+
t3E(X 3)
3!
+ . . .+
tnE(X n)
n!
+ . . .
Já que MX (t) é uma função da variável t , podemos tomar a derivada de MX (t)
em relação a t , supondo que o lado direito possa ser escrito como a soma infinita
das respectivas derivadas.
M ′X (t)=
∂
∂ t
MX (t)= 0+E(X)+
2tE(X 2)
2!
+
3t2E(X 3)
3!
+ . . .+
ntn−1E(X n)
n!
+ . . .
M ′X (t)= E(X)+ tE(X 2)+
t2E(X 3)
2!
+ . . .+
tn−1E(X n)
(n−1)! + . . .
Para t = 0 obtemos
M ′X (0)= E(X)
Assim, a primeira derivada da F.G.M. calculada para t = 0, fornece o primeiro
momento que é o valor esperado da variável aleatória.
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Função Geradora de Momentos
Calculando a segunda derivada de MX (t) temos que,
M ′′X (t)= E(X 2)+ tE(X 3)+ . . .+
tn−2E(X n)
(n−2)! + . . .
Para t = 0 obtemos
M ′′X (0)= E(X 2)
Continuando dessa forma, teremos o seguinte teorema
Teorema 2.2: Suponha que a função geradora de momentos de X exista para
|t |< t0, t0 > 0. Então E(X n) existe para n= 1.2. . . . e temos:
E(X n)=M
(′n)
X (t)
��
t=0 =
∂ n
∂ tn
MX (t)
���
t=0
.
A demonstração desse teorema já está apresentada acima.
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Função Geradora de Momentos
Calculando a segunda derivada de MX (t) temos que,
M ′′X (t)= E(X 2)+ tE(X 3)+ . . .+
tn−2E(X n)
(n−2)! + . . .
Para t = 0 obtemos
M ′′X (0)= E(X 2)
Continuando dessa forma, teremos o seguinte teorema
Teorema 2.2: Suponha que a função geradora de momentos de X exista para
|t |< t0, t0 > 0. Então E(X n) existe para n= 1.2. . . . e temos:
E(X n)=M
(′n)
X (t)
��
t=0 =
∂ n
∂ tn
MX (t)
���
t=0
.
A demonstração desse teorema já está apresentada acima.
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Função Geradora de Momentos
Calculando a segunda derivada de MX (t) temos que,
M ′′X (t)= E(X 2)+ tE(X 3)+ . . .+
tn−2E(X n)
(n−2)! + . . .
Para t = 0 obtemos
M ′′X (0)= E(X 2)
Continuando dessa forma, teremos o seguinte teorema
Teorema 2.2: Suponha que a função geradora de momentos de X exista para
|t |< t0, t0 > 0. Então E(X n) existe para n= 1.2. . . . e temos:
E(X n)=M
(′n)
X (t)
��
t=0 =
∂ n
∂ tn
MX (t)
���
t=0
.
A demonstração desse teorema já está apresentada acima.
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Função Geradora de Momentos
Calculando a segunda derivada de MX (t) temos que,
M ′′X (t)= E(X 2)+ tE(X 3)+ . . .+
tn−2E(X n)
(n−2)! + . . .
Para t = 0 obtemos
M ′′X (0)= E(X 2)
Continuando dessa forma, teremos o seguinte teorema
Teorema 2.2: Suponha que a função geradora de momentos de X exista para
|t |< t0, t0 > 0. Então E(X n) existe para n= 1.2. . . . e temos:
E(X n)=M
(′n)
X (t)
��
t=0 =
∂ n
∂ tn
MX (t)
���
t=0
.
A demonstração desse teorema já está apresentada acima.
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Função Geradora de Momentos
IMPORTANTE:
Se a f.g.m. existe, então para t = 0 tem-se que
MX (0)= E(et×0)= E(1)= 1.
E(X n), n= 1,2, . . ., são denominados momentos de ordem n da variável
aleatória X , em relação a zero.
Assim, mostramos que a partir do conhecimento da f.g.m. os momentos
podem ser gerados.
Em particular, Var(X)= E(X 2)− [E(X)]2 =M ′′(0)− [M ′(0)]2.
Teorema 2.3: Suponha que a variável aleatória X tenha função geradora de
momentos MX . Seja Y = aX +b em que a e b são constantes.Então, a f.g.m. de
Y é dada por:
MY (t)= ebtMX (at)
Demonstração:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 15/07 9 / 15
Função Geradora de Momentos
IMPORTANTE:
Se a f.g.m. existe, então para t = 0 tem-se que
MX (0)= E(et×0)= E(1)= 1.
E(X n), n= 1,2, . . ., são denominados momentos de ordem n da variável
aleatória X , em relação a zero.
Assim, mostramos que a partir do conhecimento da f.g.m. os momentos
podem ser gerados.
Em particular, Var(X)= E(X 2)− [E(X)]2 =M ′′(0)− [M ′(0)]2.
Teorema 2.3: Suponha que a variável aleatória X tenha função geradora de
momentos MX . Seja Y = aX +b em que a e b são constantes. Então, a f.g.m. de
Y é dada por:
MY (t)= ebtMX (at)
Demonstração:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 15/07 9 / 15
Função Geradora de Momentos
IMPORTANTE:
Se a f.g.m. existe, então para t = 0 tem-se que
MX (0)= E(et×0)= E(1)= 1.
E(X n), n= 1,2, . . ., são denominados momentos de ordem n da variável
aleatória X , em relação a zero.
Assim, mostramos que a partir do conhecimento da f.g.m. os momentos
podem ser gerados.
Em particular, Var(X)= E(X 2)− [E(X)]2 =M ′′(0)− [M ′(0)]2.
Teorema 2.3: Suponha que a variável aleatória X tenha função geradora de
momentos MX . Seja Y = aX +b em que a e b são constantes. Então, a f.g.m. de
Y é dada por:
MY (t)= ebtMX (at)
Demonstração:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 15/07 9 / 15
Função Geradora de Momentos
IMPORTANTE:
Se a f.g.m. existe, então para t = 0 tem-se que
MX (0)= E(et×0)= E(1)= 1.
E(X n), n= 1,2, . . ., são denominados momentos de ordem n da variável
aleatória X , em relação a zero.
Assim, mostramos que a partir do conhecimento da f.g.m. os momentos
podem ser gerados.
Em particular, Var(X)= E(X 2)− [E(X)]2 =M ′′(0)− [M ′(0)]2.
Teorema 2.3: Suponha que a variável aleatória X tenha função geradora de
momentos MX . Seja Y = aX +b em que a e b são constantes. Então, a f.g.m. de
Y é dada por:
MY (t)= ebtMX (at)
Demonstração:
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Função Geradora de Momentos
IMPORTANTE:
Se a f.g.m. existe, então para t = 0 tem-se que
MX (0)= E(et×0)= E(1)= 1.
E(X n), n= 1,2, . . ., são denominados momentos de ordem n da variável
aleatória X , em relação a zero.
Assim, mostramos que a partir do conhecimento da f.g.m. os momentos
podem ser gerados.
Em particular, Var(X)= E(X 2)− [E(X)]2 =M ′′(0)− [M ′(0)]2.
Teorema 2.3: Suponha que a variável aleatória X tenha função geradora de
momentos MX . Seja Y = aX +b em que a e b são constantes. Então, a f.g.m. de
Y é dada por:
MY (t)= ebtMX (at)
Demonstração:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 15/07 9 / 15
Função Geradora de Momentos
Teorema 2.4: Sejam X1,X2, . . . ,Xn variáveis aleatórias independentes, com
MX1 ,MX2 , . . . ,MXn sendo suas respectivas funções geradoras de momentos para t
em alguma vizinhança de zero. Se Y = X1 +X2 + . . .+Xn, então a função
geradora de momentos de Y existe e é dada por:
MY (t)=
n∏
j=1
MXj (t).
Demonstração:
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Função Geradora de Momentos
Teorema 2.4: Sejam X e Y variáveis aleatórias com função geradora de
momentos MX (t) e MY (t), respectivamente. Se MX (t)=MY (t), para todo t em
|t |< t0, t0 > 0, então X e Y tem a mesma distribuição de probabilidade.
Em outras palavras, se X e Y têm a mesma F.D.A. então elas possuem a mesma
f.g.m., do mesmo modo se X e Y tem a mesma f.g.m., então elas possuem a
mesma F.D.A..
A demonstração desse teorema não será feita pois precisaríamos de alguns
resultados que estão fora do conteúdo desse curso.
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Função Geradora de Momentos
Teorema 2.4: Sejam X e Y variáveis aleatórias com função geradora de
momentos MX (t) e MY (t), respectivamente. Se MX (t)=MY (t), para todo t em
|t |< t0, t0 > 0, então X e Y tem a mesma distribuição de probabilidade.
Em outras palavras, se X e Y têm a mesma F.D.A. então elas possuem a mesma
f.g.m., do mesmo modo se X e Y tem a mesma f.g.m., então elas possuem a
mesma F.D.A..
A demonstração desse teorema não será feita pois precisaríamos de alguns
resultados que estão fora do conteúdo desse curso.
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Teorema 2.4: Sejam X e Y variáveis aleatórias com função geradora de
momentos MX (t) e MY (t), respectivamente. Se MX (t)=MY (t), para todo t em
|t |< t0, t0 > 0, então X e Y tem a mesma distribuição de probabilidade.
Em outras palavras, se X e Y têm a mesma F.D.A. então elas possuem a mesma
f.g.m., do mesmo modo se X e Y tem a mesma f.g.m., então elas possuem a
mesma F.D.A..
A demonstração desse teorema não será feita pois precisaríamos de alguns
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Função Geradora de Momentos
Teorema 2.4: Sejam X e Y variáveis aleatórias com função geradora de
momentos MX (t) e MY (t), respectivamente. Se MX (t)=MY (t), para todo t em
|t |< t0, t0 > 0, então X e Y tem a mesma distribuição de probabilidade.
Em outras palavras, se X e Y têm a mesma F.D.A. então elas possuem a mesma
f.g.m., do mesmo modo se X e Y tem a mesma f.g.m., então elas possuem a
mesma F.D.A..
A demonstração desse teorema não será feita pois precisaríamos de alguns
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Função Geradora de Momentos
EXEMPLO 2.26: A partir da função geradora de momentos do exemplo 2.25
obtenha a E(X) e a Var(X).
EXEMPLO 2.27: Um vendedor de carros usados acha que vende 1,2,3,4,5 ou 6
carros por semana com a mmesma probabilidade. Encontre a função geradora de
momentos de X e a partir da f.g.m. obtenha a E(X) e Var(X).
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Função Geradora de Momentos
EXEMPLO 2.26: A partir da função geradora de momentos do exemplo 2.25
obtenha a E(X) e a Var(X).
EXEMPLO 2.27: Um vendedor de carros usados acha que vende 1,2,3,4,5 ou 6
carros por semana com a mmesma probabilidade. Encontre a função geradora de
momentos de X e a partir da f.g.m. obtenha a E(X) e Var(X).
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EXEMPLO 2.27:
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Função Geradora de Momentos
EXEMPLO 2.28: Seja X o número de faltas dos alunos de Probabilidade I. A
distribuição de probabilidade de X é dada por
x 0 1 2 3
p(x) 1/2 1/4 1/8 1/8
a) Determine a média e a variância de X a partir da função geradora
de momentos.
b) Se Y = 5X −3, encontre a função geradora de momentos de Y .
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Função Geradora de Momentos
EXEMPLO 2.29: Suponha que a f.g.m. da variável aleatória X seja da forma
MX (t)= (0.4et +0.6)8
a) Calcule E(X) e Var(X).
b) Qual será a f.g.m. da variável aleatória Y = 3X +2?
c) Obtenha a esperança de Y .
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