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Relações Astronômicas Terra – Sol 
Prof.: Francisco Menten Neto 
 
 
Exercícios para Entendimento e Fixação. 
 
 
 
 
1) Analise as equações abaixo e verifique as condições necessárias para Dr = 1. 
 
 
Para Dr = 1 
1=1+0,033 . cos(2.π.DDA/365) 
1-1=0,033 . cos(2.π.DDA/365) 
0/0,033= cos(2.π.DDA/365) 
0=cos(2.π.DDA/365) 
 
mas: 
cos (x) = 0 para x = π/2 (90o) ou x = 3π/2 (270 o) 
 
(2.π.DDA/365) = π/2 
DDA= (π . 365)/(2 . 2 . π) = 365/4 ou 25% do ano 
(2.π.DDA/365) = 3π/2 = ¾ 365 ou 75% do ano 
 
2) Determine o valor da declinação do Sol δ no dia 13 de junho, considerando ano normal. 
Expresse o resultado em graus e radianos. 
 
 
Sendo: 
 
MDA 6 e DDM 13 
DDA = 164 
 
� = 0,409. �	
	 �	2�	���365 − 1,39� 						�	é		���	���		�	�����
�� 
 
δ = 0,4051 radianos = 23,21 graus 
 
 
 
 
 
 
3) Qual é o valor da declinação para 21/03/2012 (ano bissexto)? Interprete os resultados. 
 
 
DDA para 21/03/2011. 
 
��� = 
!	��� �275	�	039 − 30 + 21� − 2 ��� = 81 
 
 
Declinação para 21/03/2011 
 
δ= 0,409. sen (%.&.'()*+ − 1,39) 
δ= 0 radianos 
 
Interpretando o resultado: 
Nos equinócios o plano de trajetória do Sol coincide com o plano equatorial celeste sendo a declinação = 0. 
Isto é o mesmo que dizer que o Sol esta no PEC (Plano Equatorial Celeste). 
 
 
5) Qual o valor do ângulo zenital no dia 13 de junho às 10 horas e ao meio-dia, na localidade 
de Cruz das Almas, Bahia (225 m; 12º40’39” S; 39o06’23” W). 
Observe que: 12º40’39” = 12,6775o = 0,2213 rad 
 
10 horas 
 
ĥ = (AH −12)×15 º 
AH = tempo cronológico, cujo valor varia de 0 a 24. 
 
ĥ (10hs) = (10-12) x 15 º = -30º 
 
� = 0,409. �	
	(	2�	���365 − 1,39) 
 
� = 0,4051 radianos = 23,21º 
 
 
cos ž = senΦ × senδ + cos Φ × cos δ × cos ĥ 
 
cos ž = sen 12,6775º x sen 23,21º + cos 12,6775º . cos 23,21º . cos(-30º) 
 
cos ž = 0,2195 x 0,3941 + 0,9756 x 0,9191 x 0,8660 
 
cos ž = 0,0865 + 0,7765 = 0,863 
 
ž =30,35º 
 
 
 
e para 12 horas? 
 
ĥ = (AH −12)×15 
AH = tempo cronológico, cujo valor varia de 0 a 24. 
ĥ (12hs) = 0º 
 
� = 0,409. �	
	(	2�	���365 − 1,39) 
 
� = 0,4051 radianos = 23,21º 
 
 
cos ž = senΦ × senδ + cos Φ × cos δ × cos ĥ 
 
cos ž = sen 12,6775º x sen 23,21º + cos 12,6775º . cos 23,21º . cos(0º) 
 
cos ž = 0,2195 x 0,3941 + 0,9756 x 0,9191 x 1 
 
cos ž = 0,0865 + 0,8967 
 
cos ž = 0,0865 + 0,8967 = 0,9832 
 
ž = 10,51º 
 
6) Qual o valor do ângulo zenital no dia 21 de março ao meio-dia, na localidade de Cruz das 
Almas, Bahia (225 m; 12º40’39” S; 39o06’23” W). 
Observe que: 12º40’39” = 12,6775o = 0,2213 radianos. 
 
12:00 hs 
 
dia 21/03/2012 
 
ĥ =0 => cos ĥ = 1 
 
 
DDA= Inteiro (275 MDA/9 -30 + DDM) – 2 + 1 
DDA= Inteiro (275 x 3 / 9 -30 + 21) – 2 + 1 
DDA= 81 
 
 
� = 0,409. �	
	(	2�	81366 − 1,39) �= 0,409 . sen (1,39-1,39) 
�= 0 
 
 
cos ž = senΦ × senδ + cos Φ × cos δ × cos ĥ 
cos ž = sen 12,6775º × sen 0º + cos 12,6775 × cos0 × cos 0 
cos ž = 0,2195 x 0 + 0,9756 x 1 x 1 
cos ž = 0,9756 
 ž = 12,6775º 
 
7) Qual o valor do ângulo zenital no dia 22 de dezembro ao meio-dia, em uma localidade sobre 
o Tropico de Capricórnio. Tropico de Capricórnio => latitude= 23º 27’ 
 
DDA= Inteiro ( 275 x12/9 -30 + DDM) – 2 + 1 
DDA= Inteiro( 275 x 3 / 9 -30 + 21) – 2 + 1 
DDA= 357 
 
� = 0,409. �	
	(	2�	357366 − 1,39) �= 0,409 . sen (6,13 -1,39) 
�= 0,409 .1 
�= 0,409 radianos = 23º 27’ 
 
 
cos ž = senΦ × senδ + cos Φ × cos δ × cos ĥ 
cos ž = sen 23,45 × sen 23,45 + cos 23,45 × cos 23,45 × cos 0 
cos ž = 0,3979 × 0,3979 + 0,9174 × 0,9174 × 1 
cos ž = 0,1583 + 0,8416 
cos ž = 1 
ž = 0º 
 
8) Qual o valor do ângulo horário no nascer do Sol no dia 21 de março 2012 em Varginha - 
MG? Expresse o resultado em radianos e graus. 
 
Varginha -21,5561S -45,4344W 
 
Ângulo ao nascer do Sol = Ĥ = arccos(-tan Φ x tan δ) 
 
� = 0,409. �	
	(	2�	81366 − 1,39) � = 0,409. �	
	(	0) 
� = 0 
 
Ĥ = arccos(-tan 21,5561 x tan 0) 
Ĥ = arccos(-0,395 x 0) 
Ĥ = arccos(0) 
Ĥ = 1,5708 radianos e 90º 
 
9) Para o exercício anterior qual é o valor do foto período? 
 
 
Ĥ em radianos 
 
N = 24 x 0,5 pi / pi = 12 horas 
 
 
10) Quais os valores de H e N do dia 31 de agosto de 2012 em Varginha - MG? 
 
 
DDA= Inteiro (275 MDA/9 -30 + DDM) – 2 + 1 
DDA= Inteiro (275 x 8 / 9 -30 + 31) – 2 + 1 
DDA= 244 
 
Declinação � (Cálculo em radianos) 
� = 0,409. �	
	(	2�	244366 − 1,39) �= 0,409 . sen (2,8) 
�= 0,409 . 0,335 
�= 0,137 radianos = 7,85º 
 
 
Calculo do Ângulo Horário ao nascer do Sol (Ĥ) 
Ĥ = arccos(-tan 0,3762 x tan 0,137) 
Ĥ = arccos(-0,395 x 0,138) 
Ĥ = arccos(-0,054) 
Ĥ = 1,6248 radianos 
 
Cálculo do Fotoperíodo (N) 
 
N = 24*1,6248/pi 
N= 12,41 
 
11) Demonstre que para localidades na linha do equador, N é constante e igual a 12. 
 
No equador a latitude é zero portanto: 
Ĥ = arccos ( - tan 0º x tan δ ) 
Ĥ = arccos ( 0 x tan δ ) 
Ĥ = arccos ( 0 )= 1,5708 
 
 
N = 24*1,5708 / pi => 12 horas (para qualquer época do ano)