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Campo eletrico

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06.Uma carga puntiforme de massa m é colocada em repouso num campo não uniforme. Será que ela seguira, 
necessariamente, a linha de força que passa pelo ponto em que foi abandonada? 
Resolução: 
Não. A força eletrica sempre coincidirá com a direção tangente a linha do força. A força elétrica em cada ponto onde se 
encontra a carga, e dada por qE, onde E o o vetor campo elétrico no ponto onde se encontra a carga. Como a carga 
parte do repouso, a direção do sua aceleração inicial e dada pela direção do campo elétrico no ponto inicial Se o campo 
elétrico for uniforme (ou radial), a trajetória da carga deve coincidir com a direção da linha do força. Entretanto, para 
um campo elétrico não uniforme (nem radial), a trajetória da carga não precisa coincidir necessariamente com a direção 
da linha de força. Sempre coincidirá, porém, com a direção tangente a linha do força. 
 
07.As linhas de força de um campo elétrico nunca só cruzam. Porque? 
Resolução: 
Se as linhas de força pudessem se cruzar, nos pontos de cruzamento teríamos duas tangentes diferentes, uma para cada 
linha que se cruza. Em outras palavras, em tal ponto do espaço teríamos dois valores diferentes do campo eletrico. o 
que e absurdo. 
 
08.Um condutor em forma de anel com raio a possui uma carga Q distribuída uniformemente ao longo dele (Ver Figura). 
Determine o campo elétrico em um ponto P situado sobre o eixo do anel a uma distância x de seu centro. 
 
Resolução: 
Como indicado na figura, dividimos o anel em segmentos infinitesimais de comprimento ds. Cada segmento possui carga 
dQ e funciona como uma fonte puntiforme de campo elétrico. Seja dE

 o campo elétrico produzido por um desses 
segmentos; o campo elétrico resultante no ponto P é dado pela soma dos campos dE

 de todos os segmentos do anel. 
(Essa mesma técnica pode ser usada para qualquer distribuição de cargas ao longo de uma reta ou ao longo de uma 
curva.) 
A determinação de E

 é bastante simplificada, porque o ponto do campo está situado sobre o eixo de simetria do anel. 
Considerando um segmento no topo e outro na base do anel, vemos que o campo dE

 produzido no ponto P por um dos 
segmentos possui o mesmo componente x do campo produzido pelo outro segmento, porém o componente y 
 11 
produzido por um deles é oposto ao componente produzido pelo outro. Logo, o componente y do campo elétrico é igual 
a zero. Quando somamos todas as contribuições de todos esses pares de segmentos, concluímos que o campo elétrico 
resultante E

 deverá ter apenas um componente ao longo do eixo de simetria do anel (o eixo Ox) e não possuir nenhum 
componente ao longo de eixos ortogonais a esse eixo (ou seja, nem componente y, nem componente z). Logo o campo 
elétrico resultante é completamente descrito pelo componente Ex. 
Para calcular Ex, note que o quadrado da distância entre o segmento do anel e o ponto P é dado por r
2 = x2 + a2. Logo, o 
módulo do campo elétrico dE

 produzido pelo segmento no ponto P é 
2 2
0
1 dQ
dE
4 x a
=
πε +
 
Usando cosα = x/r = x/(x2 + a2)1/2, o componente dEx para esse campo ao longo do eixo Ox é 
( )x 3/22 2 2 2 2 20 0
1 dQ x 1 xdQ
dE dE cos 
4 x a 4x a x a
= α = =
πε + πε+ +
 
Para calcularmos o componente resultante Ex do campo no ponto P, integramos a expressão anterior sobre todos os 
segmentos do anel: 
( )x 3/22 20
1 xdQ
E
4 x a
=
πε +
∫ 
Uma vez que x não varia quando percorremos todos os pontos do anel, todas as grandezas do lado direito, com exceção 
de dQ, são constantes e podem passar para fora do sinal da integral. A integral de dQ é a carga total Q, logo, 
( )x 3/22 20
1 xQˆ ˆE E i i
4 x a
= =
πε +

 
Nosso resultado para o campo elétrico E

 mostra que no centro do anel (x = 0) o campo elétrico é igual a zero. Isso já era 
esperado — as cargas situadas em pontos opostos do anel empurrariam uma carga de teste no centro em sentidos 
contrários com o mesmo módulo e a força resultante seria igual a zero. Quando o ponto do campo P estiver situado a 
uma distância muito maior do que o tamanho do anel (ou seja, x >> a), o denominador da Equação acima será 
aproximadamente igual a x2, e obteremos aproximadamente a relação 
2
0
1 Q ˆE i
4 x
=
πε

 
Em outras palavras, quando a distância x for tão grande que o tamanho do anel é desprezível em relação a essa 
distância, o campo elétrico do anel será o mesmo que o produzido por uma carga puntiforme. Para um observador 
muito afastado do anel, ele parecerá um ponto e o campo elétrico reflete esse efeito. 
Nesse exemplo, usamos um argumento de simetria para concluirmos que E

 possui somente componente x nos pontos 
sobre o eixo de simetria do anel. Neste capítulo e em capítulos posteriores, empregaremos muitas vezes raciocínios de 
simetria. Contudo, convém lembrar que esse tipo de raciocínio só vale em situações particulares. Para um ponto no 
plano xy que não esteja ao longo do eixo Ox, o argumento de simetria não se aplica, e geralmente o campo elétrico 
possui componentes x e y. 
 
09.Uma carga elétrica positiva Q está distribuída uniformemente ao longo de uma linha reta de comprimento igual a 2a, 
situada no eixo Oy entre y = -a e y = +a, como indica a Figura. Determine o campo elétrico em um ponto P situado sobre 
o eixo Ox a uma distância x da origem. 
 
Resolução: 
 12 
Dividimos a linha reta em segmentos infinitesimais e cada elemento de carga atua como uma carga puntiforme; seja dy 
o comprimento de um segmento infinitesimal situado a uma altura y. Como a carga está distribuída uniformemente, a 
densidade linear de carga λ em qualquer ponto sobre a linha reta é igual a Q/2a (a carga total dividida pelo 
comprimento total). Logo, a carga dQ distribuída no segmento dy é dada por 
Qdy
dQ dy
2a
= λ = 
A distância r entre o ponto P e esse segmento é igual a (x2 + y2)1/2; logo, o campo elétrico dE no ponto P produzido por 
esse segmento é 
2 2 2 2
0 0
1 dQ 1 Qdy
dE
4 r 4 2a(x y )
= =
πε πε + 
Usando o argumento de simetria tal como o adotado no Exemplo anterior, concluímos que o componente Ey do campo 
resultante deve ser igual a zero; colocando-se uma carga de teste positiva no ponto P, as cargas situadas na metade 
superior da linha de cargas empurram a carga de teste para baixo com uma força igual e contrária à força exercida pela 
metade inferior da linha de cargas. 
Podemos, então, representar esse campo em termos do componente x: 
dEx = dE cosα, com cosα = x/(x
2 + y2)1/2; usando essa relação na expressão para dE, encontramos 
x 2 2 3/2
0
1 Qxdy
dE
4 2a(x y )
=
πε +
 
Para determinarmos o componente Ex do campo elétrico resultante, integramos a relação anterior, notando que para 
incluir a carga total Q, devemos integrar entre y = -a e y = +a. Convidamos você a fazer os detalhes da integração; o uso 
de uma tabela de integrais seria útil. O resultado é dado por 
x 2 2 3/2 2 2
0 0
1 Qx dy Q 1
E
4 2a (x y ) 4 x (x a )
= =
πε + πε +∫ 
Para testarmos nosso resultado, inicialmente vamos ver o que ocorre no limite quando x for muito menor do que a. 
Nesse caso, podemos desprezar a no denominador da Equação acima, obtendo o resultado 
2
0
1 Q ˆE i
4 x
=
πε

 
Em outras palavras, quando o ponto P estiver muito afastado da linha de cargas em comparação com o comprimento da 
linha, o campo elétrico do anel no ponto P será o mesmo que o produzido por uma carga puntiforme. Encontramos um 
resultado análogo para o anel carregado no Exemplo anterior. 
O que ocorreria se a linha de cargas tivesse um comprimento cada vez maior, adquirindo cargas à medida que o 
comprimento fosse crescendo, de modo que a densidade linear de carga λ, a carga por unidade de comprimento, 
permanecesse sempre constante? Qual seria o valor do vetor E

 a uma distância x de uma linha de cargas com um