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Aula 15 - Núcleo e Imagem

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transformação linear, temos que: 
 ⃗ 
Portanto: 
 ⏟ 
 
 
Ou seja: 
 ⃗ 
 
Mas é base de , portanto os escalares são todos nulos, ou seja, é um conjunto LI e 
portanto base da . 
 
Observe que esta demonstração nos dá outra forma de obter uma base para a , basta tomarmos a imagem dos 
elementos usados para completar a base do núcleo. Em alguns casos obter a base desta maneira 
pode ser muito mais rápido, assim, fiquem atentos. 
 
Transformações Injetoras E Sobrejetoras 
 
Algumas vezes é preciso saber se uma função é sobrejetora ou injetora, principalmente se queremos reduzir nosso 
contradomínio ou verificar se há inversa para uma determinada função, porém nem sempre é fácil obter esse tipo 
de informação, pois para verificar se uma função é sobrejetora deve-se verificar se , ou 
seja, envolve uma igualdade de conjuntos. Para verificar se é injetora é preciso verificar se: 
 ou 
Ambas afirmações são equivalentes, porém não tão simples de serem verificadas. 
Mas quando se trata de transformações lineares temos uma facilidade, pois envolvemos espaços 
vetoriais. Como esta contida no contradomínio e sabemos que ambos são espaços vetoriais, então estes são 
iguais se e somente se suas dimensões forem iguais, ou seja: 
 
 
Já se for injetora temos que se , mas ⃗ , mas isso 
acontece se e somente se ⃗ e como ⃗ segue o seguinte resultado: 
 
 
Observe então que se for uma transformação linear, verificar se é sobrejetora ou injetora, basta olhar para as 
dimensões da e do respectivamente. 
 é sobrejetora ( ) 
 
 é injetora { ⃗ } ( ) 
 
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Com estas informações em conjunto com o teorema do Núcleo e Imagem podemos tirar algumas conclusões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando aos exemplos anteriores, no exemplo 1, é sobrejetora, mas não injetora, portanto não possui inversa. 
No exemplo 2, é injetora, porém não é sobrejetora, portanto também não possui inversa. 
Vejamos um exemplo de uma transformação linear inversível: 
Exemplo 3: Seja definida por . 
Observe que o { } pois: 
{
 
 
 
Logo ( ) , o que implica injetora. Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, temos: 
 ( ) 
Logo , ou seja, é sobrejetora. Portanto tem inversa. 
 
No exemplo 3 utilizamos o teorema do Núcleo e Imagem para obter a dimensão da , pois apenas essa 
informação nos interessava, neste contexto não houve a necessidade de obter as bases da . Mas caso o 
estudante fique curioso, basta observar que as colunas de são LIs e portanto formam uma base para a . 
Seja : 
 Se então não pode ser sobrejetora, pois sobrejetora implica ( ) e pelo 
teorema teríamos ( ) , um tremendo absurdo. 
 Se então não pode ser injetora, pois injetora implica ( ) e pelo teorema 
teríamos ( ) , outro tremendo absurdo, pois . 
 Se é injetora e sobrejetora então . 
 Se e é injetora e sobrejetora então tem inversa.