Aula 09

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 9 – Operadores diferenciais
 Independência de caminho
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Conteúdo Programático desta aula
Divergente e rotacional;
Divergente;
Divergente: Propriedades;
Laplaciano;
Laplaciano: Propriedades;
Rotacional;
Independência de Caminho.
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Divergente e rotacional
O operador diferencial vetorial  no espaço-3D é
Aplicando o operador  sobre uma função escalar f (de três variáveis) obtemos o campo gradiente de f
Aplicando o operador sobre uma função vetorial F podemos obter o rotacional de F ou a divergência de F.
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Divergente
Definição. (DIVERGENTE) Seja a função vetorial 
 
 F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k , 
onde M, N e P são funções escalares com derivadas parciais em alguma região D. A divergência de F, denotada por div F ou . F é a função escalar definida por
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Divergente: Propriedades
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Divergente: Exemplo
Exemplo. Se F(x, y, z) = (x2z, y2x, y +2z), então o div F é dado por 
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Laplaciano
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Laplaciano
O quadrado do operador nabla, 2 (operador diferencial de segunda ordem), é o operador Laplaciano,
 e quando associado a uma função f(x,y,z) é igual a 
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Laplaciano: Propriedades
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Laplaciano: Exemplo
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Rotacional
Definição. (ROTACIONAL) Seja a função vetorial 
 
 F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k , 
onde M, N e P são funções escalares com derivadas parciais em alguma região D. O rotacional de F, denotado por rot F ou  x F é a função vetorial definida por
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Rotacional
Podemos escrever a expressão do rotacional de F na forma de um determinante,
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Rotacional: Exemplo
Se F(x, y, z) = (x2z, y2x, y +2z), então o rot F é igual a:
Solução: Temos que
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Independência de Caminho
Seja F um campo vetorial contínuo em uma região D no espaço 2D ou no espaço 3D e seja C uma curva inteiramente contida em D unindo um ponto A a um ponto B, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial r.
O trabalho realizado pelo campo F para mover uma partícula ao longo da curva C é dado pela integral 
 ou 
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Teorema: ( Teorema Fundamental das Integrais de Trabalho)
Seja F um campo vetorial contínuo e conservativo em uma região aberta D (no espaço 2D ou no espaço 3D) e contendo os pontos A e B. Se f é uma função escalar tal que F = f e se C é uma curva qualquer, parametrizada, suave ou parcialmente suave, contida em D e unindo o ponto A ao ponto B, então
 sendo equivalente a
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Independência de Caminho
O teorema acima nos diz que a integral de linha de campos vetoriais conservativos é independente do caminho, dependendo apenas dos pontos extremidade A e B de qualquer curva contida na região D nas condições do enunciado. Podemos denotar a integral de trabalho F . dr como
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Independência de Caminho: Exemplo
Exemplo . Dados o campo vetorial F(x, y, z) = (4x + 5yz, 5xz, 5xy) e C uma curva qualquer unindo o ponto A(-1, 0, 3) ao ponto B(1, 2, -1), calcule a integral .
Note que o campo vetorial F é conservativo e tem para função potencial a função escalar f(x, y, z) = 2x2 + 5xyz.
Fazendo uso do teorema, temos
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Independência de Caminho: Exemplo
Exemplo . Dados o campo vetorial F(x, y, z) = (4x + 5yz, 5xz, 5xy) e C uma curva qualquer unindo o ponto A(-1, 0, 3) ao ponto B(1, 2, -1), calcule a integral .
Note que o campo vetorial F é conservativo e tem para função potencial a função escalar f(x, y, z) = 2x2 + 5xyz.
Fazendo uso do teorema, temos
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Independência de Caminho
Uma consequência imediata do Teorema Fundamental das Integrais de Trabalho é que se F é um campo conservativo e se C é uma curva fechada simples e suave ou suave por partes, então 
De fato, sendo C é uma curva fechada simples, os pontos extremidade A e B coincidem ( A = B ) e
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Independência de caminho 
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