Aplicações das derivadas parciais

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI 
INSTITUTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DIAMANTINA – MINAS GERAIS 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação das derivadas parciais em Termodinâmica 
 
 
 
 
 
 
Alunos: Fabiana Costa Santos 
 Samuel de Oliveira Freitas 
Turma: B 
 
 
 
 
 
 
 
 Diamantina, 21 de fevereiro de 2018. 
INTRODUÇÃO 
 Devido à necessidade de solucionar equações que envolviam mais de uma variável, 
foi criado o conceito de derivada parcial, que foi desenvolvido e refinado durante anos 
até os dias atuais. Grandes nomes da ciência foram responsáveis por esse 
desenvolvimento e refinamento sendo usados em várias áreas do conhecimento como 
física, termodinâmica, matemática, astronomia, hidrodinâmica entre outras. Dentre os 
cientistas que usaram esse conceito para resolver problemas pode-se destacar: Newton, 
L’ Hospital, Bernoullis, Jean d’ Alembert, Joseph Luis Lagrande, Pierre-Simon Laplace, 
Adrien Legendre, Joseph Fourier, Carl Friedrich Gauss, Augustine Cauchy, George 
Green, George Stockes, Bernhard Riemann, Sonya Kovalevsky, entre outros. 
 A termodinâmica é uma parte da física que estuda o calor, temperatura, pressão e 
volume que pode interferir no sistema físico em condições de equilíbrio ou não. Esse 
ramo da física tenta descrever matematicamente condições de equilíbrio e mudanças de 
propriedade do sistema físico e foi intensamente aprimorado a partir da necessidade de 
máquinas mais eficientes. A termodinâmica é regida por quatro leis são elas: Lei zero, 
primeira lei, segunda lei e a terceira lei da termodinâmica. 
 O presente trabalho tem como objetivo, apresentar um exemplo de aplicação de 
derivadas parciais em alguma área do conhecimento, nesse contexto foi escolhido à área 
da termodinâmica. 
 
(Durante o desenvolvimento do trabalho serão utilizadas algumas abreviaturas: H: 
entalpia, S:entropia, V: volume, P: pressão, T: temperatura.) 
APLICAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS NA TERMODINÂMICA 
 Na termodinâmica utiliza-se as derivadas parciais em vários cálculos das propriedades 
termodinâmicas. Para determinar esses valores de propriedades termodinâmicas são 
utilizadas relações matemáticas que incluem as derivadas parciais. As derivadas parciais 
ajudam a escrever algumas variáveis de outra maneira, tornando possível obter resultados 
para propriedades que sem essas relações matemáticas não seriam possíveis, como por 
exemplo a variação de entropia, entalpia, energia interna, entre outros. Ao conseguir-se 
obter esses resultados pode-se resolver inúmeros problemas e chegar a resultados que 
antes não eram elucidados, além de facilitar os cálculos. A partir do cálculo diferencial 
pode-se saber como uma variável dependente varia em relação as outras variáveis 
independentes, exemplo como a pressão varia quando a temperatura e o volume são 
alterados. 
 Na termodinâmica tem-se que uma propriedade dependente pode ser escrita como 
função de duas propriedades independentes, ex : P = P(T,V); H = H(T,P); S = S(T,V), 
etc. Do cálculo diferencial pode-se obter relações dessas variáveis, pois é definido que a 
diferencial exata de uma função de duas variáveis independentes, x = x(y,z),pode ser 
escrita como: 
𝑑𝑥 = (
𝜕𝑥
𝜕𝑦
)
𝑧
𝑑𝑦 + (
𝜕𝑥
𝜕𝑧
)
𝑦
𝑑𝑦 
Podemos escrever 
(
𝜕𝑥
𝜕𝑦
)
𝑧
= 𝑀 𝑒 (
𝜕𝑥
𝜕𝑧
)
𝑦
= 𝑁 
Se as derivadas parciais de M e N forem contínuas a maneira que se faz a segunda 
derivada não interfere no resultado, por isso: 
𝜕
𝜕𝑧
[(
𝜕𝑥
𝜕𝑦
)
𝑧
]
𝑦
= 
𝜕
𝜕𝑦
[(
𝜕𝑥
𝜕𝑧
)
𝑦
]
𝑧
 
Ou seja: (
𝜕𝑀
𝜕𝑧
)
𝑦
= (
𝜕𝑁
𝜕𝑦
)
𝑧
 
Utilizando esses conceitos do cálculo diferencial obteve-se as relações de Maxwell que 
são usadas para o cálculo das propriedades termodinâmicas. Exemplo : Da transformada 
de Legendre a energia de Gibbs é escrita como dG = VdP – SdT, e das relações de 
Maxwell obtém-se que (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
= − (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
. 
Em alguns cálculos de propriedades termodinâmicas depara-se com funções cúbicas de 
estado e se é necessário derivar certas propriedades em relação a outras, mas pela 
dificuldade de realizar algumas derivadas utiliza-se do cálculo diferencial as derivadas 
cíclicas possibilitando e facilitando a realização dos cálculos. 
Exemplo da utilização de derivadas parciais no cálculo da variação da entalpia: 
→Obter uma expressão para a variação de entalpia para um sistema com gás ideal. 
Das Transformadas de Legendre tem-se que: dH= TdS + VdP eq. (I) 
Sabe-se que a entalpia é uma função da entropia e da pressão, mas como não se tem 
instrumentos para o cálculo da entropia faz-se uma mudança nas variáveis para assim 
chegar a um resultado para a variação da entalpia em um processo. 
Temos: H = H(S,P) transforma-se em uma função da temperatura e pressão, que são 
possíveis de medir. H = H(S,P) → H = H(T,P) 
Fazendo a mudança de variáveis para o cálculo de ∆H: 
dH = (
𝜕𝐻
𝜕𝑇
)
𝑝
𝑑𝑇 + (
𝜕𝐻
𝜕𝑃
)
𝑇
𝑑𝑃 𝑒𝑞. (𝐼𝐼) 
Sabendo que (
𝜕𝐻
𝜕𝑇
)
𝑝
= 𝐶𝑝 𝑒𝑞. (𝐼𝐼𝐼) 
Cp: capacidade calorífica a pressão constante. 
E fazendo a derivada parcial da eq. (I) em relação a P mantendo T constante temos: 
(
𝜕𝐻
𝜕𝑃
)
𝑇
= 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
+ 𝑉 (
𝜕𝑃
𝜕𝑃
)
𝑇
, (
𝜕𝑃
𝜕𝑃
)
𝑇
= 1 
(
𝜕𝐻
𝜕𝑃
)
𝑇
= 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
+ 𝑉 𝑒𝑞. (𝐼𝑉) 
Substituindo eq. (IV) e eq. (III) na eq. (II) : 
𝑑𝐻 = 𝐶𝑝𝑑𝑇 + [𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
+ 𝑉 ] 𝑑𝑃 𝑒𝑞. (𝑉) 
Como não se consegue medir a variação de entropia através de algum instrumento utiliza-
se as relações de Maxwell para conseguir este resultado. 
Pelas relações de Maxwell tem-se: dG = VdP - SdT 
− (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇 
= (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
 𝑒𝑞. (𝑉𝐼) 
Substituindo a eq. (VI) na eq.(V): 
𝑑𝐻 = 𝐶𝑝𝑑𝑇 + [−𝑇 (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
+ 𝑉 ] 𝑑𝑃 
∆𝐻 = ∫ 𝐶𝑝𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
+ ∫ [−𝑇 (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
+ 𝑉 ] 𝑑𝑃
𝑃2
𝑃1
 
Obtém-se então uma expressão para o cálculo da variação de entalpia. 
Se for analisado um sistema onde o gás se comporta de maneira ideal pode-se reduzir a 
expressão do cálculo da variação de entalpia calculando (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
 para equação de 
Clapeyron, PV= RT. Então: 𝑉 =
𝑅𝑇
𝑃 
 𝑒 (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
=
𝑅
𝑇
 
Ao substituir na equação para cálculo da variação de entalpia obtém-se que para um gás 
ideal a equação da variação de entalpia se reduz a: ∆𝐻 = ∫ 𝐶𝑝𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
CONCLUSÃO 
Sabendo da aplicação de derivadas parciais na termodinâmica e da importância da 
termodinâmica para a engenharia, pode-se concluir que a utilização do cálculo diferencial 
e as suas propriedades são de total importância para resolução e elucidação dos problemas 
da termodinâmica e dos modelos de engenharia. Pode-se através do cálculo diferencial 
obter informações de um sistema que antes não era possível encontrar, como por exemplo 
a energia interna, entalpia, entropia, etc., além de facilitar na realização dos cálculos. 
 
REFERÊNCIAS: 
TIPLER, P. A. Física Mecânica, Oscilações e ondas, Termodinâmica, volume1. Rio 
de Janeiro, 2006. 
Ebah, 2017. Disponível em: < www.ebah.com.br>. Último acesso em: 19 fev. 2017. 
MORAN, Michael J.; SHAPIRO, Howard N. Princípios da termodinâmica para 
engenharia . 6ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 800 p. v. 1. 
 
FISICO QUÍMICA I, TERMODINÂMICA DO EQUILÍBRIO; Disponível em: 
<http://www.ufjf.br/quimicaead/files/2013/05/Aula12_FQI.pdf>. Último acesso em : 19 
fev. 2017.