Sistemas Lineares Método de Gauss

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Sistemas Lineares 
Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042 
Professor Vinícius Barbosa de Paiva 
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Aplicação: 
- Interpolação de pontos; 
- Determinação de potencial em redes elétricas; 
- Cálculo da tensão em estruturas metálicas na 
construção civil; 
- Cálculo da razão de escoamento em um sistema 
hidráulico com derivações; 
- Previsão da concentração de reagentes sujeitos a 
reações químicas simultâneas e outras. 
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Seja o sistema de equações lineares de n equações com n incógnitas: 
Na forma matricial, um Sistema Linear é representado por: Ax = B 
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É comum representarmos o Sistema Linear, A.X = B, pela 
sua matriz aumentada. 
Definição 
Denomina-se vetor solução (ou simplesmente solução) de 
um sistema de equações lineares da forma Ax = B, e 
denota-se por x, ao vetor que contém as variáveis: 
xj , j = 1, · · · , n, 
que satisfazem, de forma simultânea, a todas as equações 
do sistema. 
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Classificação de um Sistema Linear em relação ao 
número de soluções 
Um sistema linear pode ser consistente/compatível ou 
inconsistente/incompatível. 
 
i) Compatível e determinado: quando admitir uma única solução. 
 
ii) Compatível e indeterminado: quando admitir um número infinito de 
soluções. 
 
iii) Incompatível: quando não admitir solução. 
 
OBS: A condição para que um sistema de equações lineares tenha 
solução única é que o determinante da matriz dos coeficientes seja não 
nulo. Caso contrário será indeterminado ou incompatível. 
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- Se os termos independentes forem nulos, isto é, se bi = 0, para 
i = 0, 1, ..., n, o sistema é dito homogêneo. 
 
- Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo 
menos a solução trivial (xj = 0, j = 0, 1, 2, ..., n). 
 
- Resolver um sistema de equações consiste em diagnosticar em 
qual das três situações ele se enquadra. Ou seja, é mais do que 
determinar um vetor x, uma vez que ele pode não existir ou não 
ser único. 
Observações: 
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Sistemas Triangulares 
 É um sistema de equações lineares no qual a matriz dos coeficientes é 
triangular. 
 Superior: 
 Inferior: 
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Resolução de sistemas de equações lineares - Métodos 
numéricos . 
 Os métodos numéricos são divididos em dois grupos: 
i) Os métodos diretos: Exceto por erros de 
arredondamento, fornecem a solução exata de um 
sistema de equações lineares, caso ela exista, por meio 
de um número finito de operações aritméticas. 
 
ii) Os métodos iterativos: Requerem um número infinito 
de passos/operações, sendo dado uma aproximação 
inicial. 
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Transformações elementares. 
Conjunto de operações que podem ser efetuadas sobre as linhas ou 
colunas de uma matriz. No que se refere à resolução de sistemas de 
equações lineares, estas transformações são, normalmente, aplicadas 
apenas sobre as linhas da matriz dos coeficientes ou da matriz 
aumentada dependendo do método utilizado. 
 
1. Troca de posição entre duas linhas. 
Li ⇆ Lj i, j = 1, 2, ..., n; i ≠ j 
 
2. Multiplicação de uma linha por uma constante não-nula. 
Li ← c × Li i = 1, 2, ..., n 
 
3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha, 
Li ← Li + c × Lj i, j = 1, 2, ..., n; i ≠ j 
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Matrizes equivalentes 
 
Duas matrizes são ditas equivalentes quando é possível, a partir de 
uma delas, chegar à outra por meio de um número finito de 
transformações elementares. 
 
Sistemas equivalentes 
 
Dois sistemas Ax = C e Ã.x = C se dizem equivalentes se possuem a 
mesma solução. 
 
Teorema 
 
Seja [A | b] a matriz aumentada de um sistema de equações 
Ax = b, com detA ≠ 0, e [T | c] uma matriz a ela equivalente. Sendo 
assim, os sistemas A.x = b e T.x = c possuem a mesma solução. 
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Método de Gauss. 
- É um dos mais conhecidos e utilizados para a resolução de sistemas 
de equações lineares densos de pequeno a médio porte; 
 
- O método de Gauss envolve duas fases distintas. 
 
i) Fase de eliminação: Efetuar transformações elementares sobre as 
linhas da matriz aumentada de um sistema de n equações e n 
incógnitas A.x = b até que, depois de n − 1 passos, se obtenha um 
sistema triangular superior, U.x = c, equivalente ao sistema dado. 
 
ii) Fase de substituição: Consiste em resolver o sistema triangular 
superior por meio de substituições retroativas. 
Exemplo: 
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Observações: 
• Desvantagem do Método de Gauss: 
i) Pode ocasionar problemas se o pivô estiver próximo de 
zero ou for nulo. 
ii) Os erros de arredondamento cometidos durante um passo 
da obtenção do sistema triangular se propagam para os 
passos seguintes, podendo comprometer a validade da 
solução obtida. 
 
Para contornar o problema (i) e minimizar o problema (ii), 
usamos a estratégia de pivoteamento parcial, que consiste na 
escolha do pivô. 
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Método de Gauss – com Pivotação Parcial 
• Consiste em: 
i) No início da etapa K da eliminação, escolher para pivô o 
maior elemento, em módulo, dentre os coeficientes; 
ii) Se necessário, efetuar a troca de posição entre as linhas; 
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Exemplo: 
Referências Bibliográficas: 
• BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo 
numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987. 
• CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de 
Janeiro : LTC, 2007. 
• FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006. 
• RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos 
teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996. 
• SOUZA, M. J. F - Cálculo Numérico –Sistemas Lineares - Departamento 
de Computação, Universidade Federal de Ouro Preto. 
 
 
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