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MEC – SETEC INSTITUTO FEDERAL MINAS GERAIS - CAMPUS AVANC¸ADO PIUMHI CURSO: Engenharia Civil Disciplina Ca´lculo Nume´rico - MAT042 Professor Vinı´cius Barbosa de Paiva Nome: Instruc¸o˜es: Resolver apenas as questo˜es: 1, 2, 3, 5, 6, 11 e 13. Questa˜o 1 - Considere o sistema linear abaixo. 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7 x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1 3x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12 a) Resolva-o pelo me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss. b) Calcule o Resı´duo. c) Calcule o determinante da Matriz A incompleta associada ao sistema Ax = B. Questa˜o 2 - Considere o sistema linear abaixo. x1 + 3x2 + 4x3 = −5 3x1 + 2x2 + x3 = 8 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4 a) Resolva-o pelo me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss, trabalhando com arredondamento e duas casas decimais. b) Refine uma vez a soluc¸a˜o obtida no item a. Questa˜o 3 - Considere o sistema linear abaixo. 2x1 + 3x2 + 4x3 = −2 3x1 + 2x2 − x3 = 4 5x1 − 4x2 + 3x3 = 8 a) Resolva-o pelo me´todo da Decomposic¸a˜o LU, trabalhando com arredondamento e duas casas deci- mais. b) Refine uma vez a soluc¸a˜o obtida no item a. Questa˜o 4 - Seja um sistema de equac¸o˜es cuja matriz dos coeficientes e termos independentes sa˜o: A = C 3 1C 20 1 1 C 6 ; B = 11 1 Aplicando o crite´rio das linhas determine em qual intervalo deve estar o valor de C de tal forma que se possa garantir que havera´ convergeˆncia quando da aplicac¸a˜o de um me´todo iterativo para a sua resoluc¸a˜o. Tomando um valor para C, no intervalo determinado, resolva o sistema de equac¸o˜es utilizando o me´todo de Jacobi com precisa˜o 0, 001 e um ma´ximo de 5 iterac¸o˜es. 1 Questa˜o 5 - Rodrigo esta´ inconformado com a classificac¸a˜o que obteve num concurso para preencher uma vaga de gerente numa indu´stria. Os candidatos realizaram treˆs provas em que as questo˜es valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Rodrigo acertou 4 questo˜es na primeira prova 6 na segunda e 3 na terceira. ele analisou os seguintes resultados dos outros candidatos: Cla´udio acertou 4 questo˜es na primeira prova, 5 na segunda prova e 3 na terceira, obtendo um total de 15 pontos. Ricardo acertou 3 questo˜es na primeira, 4 na segunda e 4 na terceira prova, totalizando ambe´m 15 pontos. Leandro acertou 5 questo˜es na primeira, 5 na segunda e 2 na terceira, atingindo a soma de 14 pontos. Rodrigo concluiu enta˜o que ele e´ o primeiro classificado e, portanto, vai reivindicar a vaga. Ele esta´ certo em agir assim? Questa˜o 6 - Calcule a fatorac¸a˜o LU de A se possı´vel: A = 1 1 12 1 −1 3 2 0 Questa˜o 7 - Em cada caso: a) Verifique se o crite´rio de Sassenfeld e´ satisfeito; b) Resolva por Gauss-Seidel, se possı´vel (utilize cinco casas decimais com arredondamento): • A = 10 1 11 10 1 1 1 10 ; B = 1212 12 • A = 4 −1 0 0 −1 4 −1 0 0 −1 4 −1 0 0 −1 4 ; B = 1 1 1 1 Questa˜o 8 - Utilize os me´todos de Jacobi e de Gauss-Seidel para resolver os sistemas de equac¸o˜es lin- eares a seguir com precisa˜o 0, 001, um ma´ximo de 5 iterac¸o˜es e x0 = [0 0 0]t. a) 10x1 − x2 = 9 −x1 + 10x2 − 2x3 = 7 −2x2 + 10x3 = 6 b) 3x1 − x2 + x3 = 1 3x1 + 6x2 + 2x3 = 0 3x1 + 3x2 + 7x3 = 4 Questa˜o 9 - Dado o sistema linear: 10x1 + x2 − x3 = 10 2x1 + 10x2 + 8x3 = 20 7x1 + x2 + 10x3 = 30 a) Verificar a possibilidade de aplicac¸a˜o do me´todo de Jacobi. b) Se possı´vel, resolveˆ-lo obtendo o resultado com precisa˜o de 10−2. Utilize arredondamento com 4 casas decimais. 2 Questa˜o 10 - Considere o sistema linear Ax = B, onde: A = a 3 1a 20 1 1 a 6 Para que valores de a o crite´rio das linhas e´ verificado? Questa˜o 11 - Na tabela abaixo esta˜o 4 notas A,B,C e D e as me´dias obtidas por quatro candidatos. Foi Cand.1 Cand.2 Cand.3 Cand.4 A 8,0 9,0 6,0 6,0 B 6,0 10,0 4,0 6,0 C 5,0 4,0 10,0 6,0 D 5,5 6,0 7,00 8,0 Me´dia 5,75 6,50 7,25 6,75 utilizado a me´dia ponderada. a) Qual o peso de cada mate´ria? b) Se a me´dia fosse aritme´tica, qual dos quatro seria o primeiro colocado? Questa˜o 12 Suponha que o sistema linear: x1 − αx2 = c1 −αx1 + x2 − αx3 = c2 −αx2 + x3 = c3 seja resolvido iterativamente pelas fo´rmulas: x (k) 1 = αx (k−1) 2 + c1 x (k) 2 = α(x (k−1) 1 + x (k−1) 3 ) + c2 x (k) 3 = αx (k−1) 2 + c3 Para que valores de α a convergeˆncia do me´todo definido acima e´ garantida? Justifique. Questa˜o 13 - Determine os menores valores inteiros de x, y, z e t que equilibram a equac¸a˜o abaixo (Re- solva pelo Me´todo de Gauss): xCa + yH3PO4 −→ zCa3P2O8 + tH2 Bons estudos! Prof. √ inicius 3
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