Lista de Exercícios Cálculo Numérico

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MEC – SETEC
INSTITUTO FEDERAL MINAS GERAIS - CAMPUS AVANC¸ADO PIUMHI
CURSO: Engenharia Civil
Disciplina Ca´lculo Nume´rico - MAT042
Professor Vinı´cius Barbosa de Paiva
Nome:
Instruc¸o˜es:
Resolver apenas as questo˜es: 1, 2, 3, 5, 6, 11 e 13.
Questa˜o 1 - Considere o sistema linear abaixo.
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7
x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1
3x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 = 4
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12
a) Resolva-o pelo me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss.
b) Calcule o Resı´duo.
c) Calcule o determinante da Matriz A incompleta associada ao sistema Ax = B.
Questa˜o 2 - Considere o sistema linear abaixo.
x1 + 3x2 + 4x3 = −5
3x1 + 2x2 + x3 = 8
2x1 + 4x2 + 3x3 = 4
a) Resolva-o pelo me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss, trabalhando com arredondamento e duas casas
decimais.
b) Refine uma vez a soluc¸a˜o obtida no item a.
Questa˜o 3 - Considere o sistema linear abaixo.
2x1 + 3x2 + 4x3 = −2
3x1 + 2x2 − x3 = 4
5x1 − 4x2 + 3x3 = 8
a) Resolva-o pelo me´todo da Decomposic¸a˜o LU, trabalhando com arredondamento e duas casas deci-
mais.
b) Refine uma vez a soluc¸a˜o obtida no item a.
Questa˜o 4 - Seja um sistema de equac¸o˜es cuja matriz dos coeficientes e termos independentes sa˜o:
A =
 C 3 1C 20 1
1 C 6
 ; B =
 11
1

Aplicando o crite´rio das linhas determine em qual intervalo deve estar o valor de C de tal forma que se
possa garantir que havera´ convergeˆncia quando da aplicac¸a˜o de um me´todo iterativo para a sua resoluc¸a˜o.
Tomando um valor para C, no intervalo determinado, resolva o sistema de equac¸o˜es utilizando o me´todo de
Jacobi com precisa˜o 0, 001 e um ma´ximo de 5 iterac¸o˜es.
1
Questa˜o 5 - Rodrigo esta´ inconformado com a classificac¸a˜o que obteve num concurso para preencher uma
vaga de gerente numa indu´stria. Os candidatos realizaram treˆs provas em que as questo˜es valiam um ponto
cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Rodrigo acertou 4 questo˜es na primeira prova 6 na
segunda e 3 na terceira. ele analisou os seguintes resultados dos outros candidatos: Cla´udio acertou 4
questo˜es na primeira prova, 5 na segunda prova e 3 na terceira, obtendo um total de 15 pontos. Ricardo
acertou 3 questo˜es na primeira, 4 na segunda e 4 na terceira prova, totalizando ambe´m 15 pontos. Leandro
acertou 5 questo˜es na primeira, 5 na segunda e 2 na terceira, atingindo a soma de 14 pontos. Rodrigo
concluiu enta˜o que ele e´ o primeiro classificado e, portanto, vai reivindicar a vaga. Ele esta´ certo em agir
assim?
Questa˜o 6 - Calcule a fatorac¸a˜o LU de A se possı´vel:
A =
 1 1 12 1 −1
3 2 0

Questa˜o 7 - Em cada caso:
a) Verifique se o crite´rio de Sassenfeld e´ satisfeito;
b) Resolva por Gauss-Seidel, se possı´vel (utilize cinco casas decimais com arredondamento):
• A =
 10 1 11 10 1
1 1 10
 ; B =
 1212
12

• A =

4 −1 0 0
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
0 0 −1 4
 ; B =

1
1
1
1

Questa˜o 8 - Utilize os me´todos de Jacobi e de Gauss-Seidel para resolver os sistemas de equac¸o˜es lin-
eares a seguir com precisa˜o 0, 001, um ma´ximo de 5 iterac¸o˜es e x0 = [0 0 0]t.
a)

10x1 − x2 = 9
−x1 + 10x2 − 2x3 = 7
−2x2 + 10x3 = 6
b)

3x1 − x2 + x3 = 1
3x1 + 6x2 + 2x3 = 0
3x1 + 3x2 + 7x3 = 4
Questa˜o 9 - Dado o sistema linear:

10x1 + x2 − x3 = 10
2x1 + 10x2 + 8x3 = 20
7x1 + x2 + 10x3 = 30
a) Verificar a possibilidade de aplicac¸a˜o do me´todo de Jacobi.
b) Se possı´vel, resolveˆ-lo obtendo o resultado com precisa˜o de 10−2. Utilize arredondamento com 4
casas decimais.
2
Questa˜o 10 - Considere o sistema linear Ax = B, onde:
A =
 a 3 1a 20 1
1 a 6

Para que valores de a o crite´rio das linhas e´ verificado?
Questa˜o 11 - Na tabela abaixo esta˜o 4 notas A,B,C e D e as me´dias obtidas por quatro candidatos. Foi
Cand.1 Cand.2 Cand.3 Cand.4
A 8,0 9,0 6,0 6,0
B 6,0 10,0 4,0 6,0
C 5,0 4,0 10,0 6,0
D 5,5 6,0 7,00 8,0
Me´dia 5,75 6,50 7,25 6,75
utilizado a me´dia ponderada.
a) Qual o peso de cada mate´ria?
b) Se a me´dia fosse aritme´tica, qual dos quatro seria o primeiro colocado?
Questa˜o 12 Suponha que o sistema linear:
x1 − αx2 = c1
−αx1 + x2 − αx3 = c2
−αx2 + x3 = c3
seja resolvido iterativamente pelas fo´rmulas:
x
(k)
1 = αx
(k−1)
2 + c1
x
(k)
2 = α(x
(k−1)
1 + x
(k−1)
3 ) + c2
x
(k)
3 = αx
(k−1)
2 + c3
Para que valores de α a convergeˆncia do me´todo definido acima e´ garantida? Justifique.
Questa˜o 13 - Determine os menores valores inteiros de x, y, z e t que equilibram a equac¸a˜o abaixo (Re-
solva pelo Me´todo de Gauss):
xCa + yH3PO4 −→ zCa3P2O8 + tH2
Bons estudos!
Prof.
√
inicius
3