Interpolação Polinomial em Cálculo Numérico

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Interpolação Polinomial.
Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042
Professor Vinícius Barbosa de Paiva 
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• Vamos aproximar uma função f(x) através de uma função
polinomial g(x).
Os maiores interesses nessa aproximação são:
a) Determinar valores intermediários aproximados entre dados
exatos.
- A temperatura de uma determinada região é medida
três vezes ao dia: as oito horas, as doze e as dezoito horas. A
interpolação nos permite conhecer os valores intermediários
aproximados, isto é, a temperatura as dez horas, por exemplo.
b) A função possui uma lei de formação tal que algumas
operações como diferenciação e integração são complexas ou
impossíveis de serem realizadas.
Introdução
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Conceito de Interpolação
Sejam (n+1) pontos distintos: x0, x1, ... , xn, chamados
nós da interpolação, e os valores de f(x) nesses
pontos: f(x0), f(x1), ... , f(xn).
Interpolar uma função f(x) consiste em obter uma
determinada função g(x) tal que:
g(xi) = f(xi), com i = 0, 1, ..., n.
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Graficamente:
A função g(x) é uma aproximação para f(x) no intervalo [a,b].
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Várias aproximações para f(x) em torno da origem.
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Interpolação Polinomial
Dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... , (xn, f(xn)),
portanto (n+1) pontos, queremos aproximar f(x) por
um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal
que:
f(xi) = pn(xi), com i = 0, 1, ..., n.
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Existe um polinômio pn(x) que satisfaça estas 
condições?
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Dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... , (xn, f(xn)).
Representamos pn(x) por:
Portanto, para obter pn(x) significa obter os
coeficientes:
“Resolver um Sistema Linear”
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Da condição:
pn(xi) = f(xi), com i = 0, 1, ..., n, temos o Sistema:
Com (n+1) equações e (n+1) variáveis: 
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A matriz A dos coeficientes é:
Matriz de Vandermonde, que possui
desde que sejam pontos distintos.
Então o sistema admite solução única.
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Teorema
Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou
igual a n, tal que:
pn(xi) = f(xi) , com i = 0, 1, ..., n, desde que 
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Como obter pn(x)?
- Resolução de sistemas: pode levar a erros, solução
irreal.
- Forma de Lagrange.
Exemplos.
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Referências Bibliográficas:
• CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro :
LTC, 2007.
• FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006.
• BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo numérico
com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987.
• PUGA, L.; PUGA PAZ, A.; TÁRCIA, J. H. M. Cálculo numérico. Rio de Janeiro
: LTC, 2008.
• RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico :aspectos teóricos e
computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996.
• Métodos Numéricos, Notas de aula, 2011 -Departamento de Computação,
Universidade Federal de Ouro Preto.
• FERREIRA, J. Á. T. - Cálculo Numéricos – Notas de aulas – Interpolação
Polinomial - Departamento de Computação, Universidade Federal de Ouro
Preto.