Gráficos e Vetores em Física

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Aula 2 – Gráficos e Vetores 
 
Grandezas Físicas e Grandeza Escalar 
 
Toda entidade no universo, capaz de aumentar ou diminuir, é dotada de uma grandeza 
física e dentro destas existem as grandezas escalares. 
 
As grandezas escalares são compostas por duas vertentes: 
 
Grandeza mensurável, que é definida como toda aquela que pode ser medida, ou seja, 
as grandezas adicionáveis ou as extensivas. Sendo, portanto, tudo ou algo que pode ser 
medido e qualquer grandeza física que possa passar por uma contagem numérica. 
 
A quantidade de tijolos de uma parede, ou a altura de um prédio são exemplos de 
grandezas mensuráveis. 
 
Grandezas incomensuráveis ou não mensuráveis, que são aquelas que não podem ser 
medidas. São as grandezas não adicionáveis ou as intensivas, ou seja, algo tão grande ou 
intenso que não é possível ser mensurado ou de é difícil mensuração. 
 
A distância do universo ou o tempo são exemplos de grandezas incomensuráveis. 
 
 
Gráficos 
 
Nos fenômenos físicos, há grandezas que se inter-relacionam e variam segundo 
determinadas funções. 
Os gráficos estão presentes em diversos meios de comunicação, como jornais, revistas, 
artigos, manuais escolares, apresentações públicas etc. Eles estão ligados aos mais 
variados assuntos do nosso cotidiano. 
Sua importância está ligada à facilidade e rapidez com que podemos interpretar suas 
informações, já que os dados coletados e distribuídos em planilhas podem ser 
organizados em gráficos e apresentados de uma forma mais clara e objetiva. 
 
 
 
 
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A representação gráfica é frequentemente associada à coordenação de um ponto (P) a 
um par de ordenadas (x,y) de números reais, representando informações quantitativas 
dispostas em um plano cartesiano e dois eixos perpendiculares; um horizontal chamado 
eixo x (ou abscissa) e um vertical chamado eixo y (ou ordenada). Veja: 
 
 
 
De um modo geral, os números apresentados pelos gráficos podem ser representações 
de quantidades absolutas ou valores quantitativos relativos, como é o caso dos gráficos 
de porcentagens. 
 
Para criarmos um gráfico temos que conhecer as informações que precisamos transmitir, 
depois, com ele, poderemos informar de forma visual uma série de valores em relação a 
um determinado espaço de tempo, a comparação de duas ou mais situações e muitas 
outras informações. 
 
Os mais utilizados são os gráficos de barras ou colunas, os de segmentos e os de setores. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de Gráfico de Segmento (ou de linhas) 
 
 
 
Gráficos de Barras ou Colunas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gráfico de Setores (ou gráfico tipo pizza) 
 
 
 
Grandeza Vetorial 
 
Muitas grandezas ficam definidas assim que conhecemos seu valor numérico e sabemos 
sua unidade correspondente. 
 
Por exemplo, quando dizemos que a massa de um corpo é de 10 kg e seu volume é de 5 
litros, nada mais precisamos acrescentar para definir essa grandeza. 
 
Tais grandezas, como vimos, são denominadas de Grandezas Escalares. 
 
Porém, existem grandezas que vão além de um valor numérico e de uma unidade, 
necessitando também de uma direção e de um sentido para que possam ser definidas e 
compreendidas ― são as chamadas Grandezas Vetoriais. 
 
Analise este exemplo: 
 
Suponha que a direção entre duas cidades, denominadas aqui como A e B, em uma linha 
reta, seja de 150 km. 
 
 
 
 
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Para chegarmos à cidade B, devemos partir em linha reta da cidade A na direção leste-
oeste e no sentido leste para oeste por 150 km. 
 
Essas grandezas que necessitam de uma direção e sentido, além de um valor numérico e 
unidade para serem definidas, são exemplos de Grandezas Vetoriais e são 
representadas matematicamente pelos Vetores. 
 
 
 
 
Vetores 
 
O vetor ⃗ , do Latim vector, é um agente caracterizado pelo que há em comum aos 
conjuntos de segmentos de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. 
 
O comprimento comum dos segmentos orientados por um vetor é chamado de módulo 
do vetor. 
 
Assim pode-se dizer que um vetor possui módulo, direção e sentido. 
 
Representação do vetor 
 
A representação de um vetor se caracteriza pela direção entre dois pontos. 
 
Por exemplo, representamos a direção de um ponto A ao ponto B da seguinte forma: 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
Onde A seria a origem e B seria a extremidade. 
 
 
 
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O comprimento do módulo do vetor, | ⃗ | , fica representado de 
acordo com a escala adotada para a representação gráfica. 
 
Exemplo: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 
 
Quando dois ou mais vetores possuem as mesmas características, eles representam um 
único vetor. 
 
Uma grandeza vetorial varia apenas quando ao menos um dos três elementos do 
vetor for diferente entre os vetores, ou seja, quando o módulo, a direção e o 
sentido forem os mesmos, os vetores serão idênticos. 
 
Portanto, serão múltiplas representações de um mesmo vetor. Caso o módulo, a direção 
ou o sentido dos vetores sejam diferentes, os vetores serão diferentes. 
 
Operação com Vetores: Adição Vetorial 
 
Se considerarmos dois vetores ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ representados pelos respectivos segmentos 
orientados ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗ ⃗⃗ , podemos observar que ambos possuem como ponto comum o ponto 
 . 
 
Sendo assim, ao representarmos o segmento ⃗⃗ ⃗⃗ , onde é a origem do primeiro e é a 
extremidade do segundo, estaremos determinando o vetor ⃗⃗⃗⃗ ou o Vetor Soma dos 
vetores ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ . 
 
 
 
 
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Nós podemos identifica-los como: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . 
 
 
A regra gráfica 
 
A regra gráfica pode ser aplicada quando os segmentos que representam os vetores 
forem consecutivos, ou seja, possuírem um ponto em comum. 
 
Essa regra vale para dois ou mais vetores, podendo ter a mesma direção ou direções 
diferentes. 
 
Observe, porém, que a igualdade vetorial não é necessariamente uma igualdade 
algébrica. 
 
Se considerarmos a figura abaixo, o módulo de vetor ⃗⃗⃗⃗ não é igual a soma dos módulos 
dos vetores ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ . 
 
Portanto: . 
 
Regra do paralelogramo da adição vetorial 
 
Quando o vetor soma ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ é representado na forma de uma linha diagonal de 
um paralelogramo, cujos lados ficam representados pelos vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , temos a 
chamada regra do paralelogramo da adição vetorial, que equivale à regra 
gráfica de tornar os vetores consecutivos. 
 
 
 
 
 
 8 
Na regra do paralelogramo, com a figura formando um triângulo retângulo, pode-se 
utilizar o Teorema de Pitágoras1 para obter o vetor soma ⃗⃗⃗⃗ . 
 
Por exemplo, sabendo que os vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ acima possuem, respectivamente, módulos 
 , podemos determinar seu vetor soma: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
O cálculo de um módulo de um vetor considera sempre a solução positiva de uma 
equação, mas vetores de direções opostas podem ser reduzidos. 
 
Por exemplo: 
 
Considere os vetores de mesmo sentido ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , porém de direções opostas. 
 
O valor de seus módulos são: . 
 
 
 
Vetor Nulo 
 
Quando os segmentos orientados que representam um vetor formam uma linha poligonal 
fechada, ou seja, quando a origem do primeiro segmento coincide com a extremidade 
do último segmento, o vetor soma é denominado um Vetor Nulo e é indicado por ⃗ . 
 
Lembre-se que um módulo de vetor nulo é sempre zero.1 Teorema de Pitágoras. Disponível em 
http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm. Acesso 04 de 
novembro de 2013. 
 
 
 
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Exemplo: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 
 
Aprenda Mais 
 
RAMALHO JUNIOR, Francisco et. al. Os Fundamentos da Física. 9. ed. São Paulo: 
Moderna, 2007, v.1. 
 
Sobre Gráficos: 
http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_22/carlos.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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0 
 
Exercícios de Fixação da Aula 2 
 
Questão 1: 
Considerando que cada quadrante representa uma unidade no gráfico abaixo, 
identifique o valor da abcissa do ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Gabarito comentado: 
Resposta: letra c 
 
Ao fazermos a ligação do ponto P com os eixos x e y, podemos ver claramente que o 
ponto P está localizado nas coordenadas 3;4. 
Portanto, sendo o eixo x a abcissa de P, seu valor é 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
1 
 
Questão 2: 
 
Considerando que cada quadrante representa uma unidade no gráfico abaixo, 
identifique qual alternativa representa o ponto das coordenadas (4;3). 
 
 
 
 
 
 
 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
 
Gabarito comentado: 
Resposta: letra e 
 
 
As coordenadas 4;3 representam os pontos nos eixos x e y respectivamente. Ao fazer as 
ligações das coordenadas, podemos encontrar o ponto E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
2 
Questão 3: 
 
Dado os vetores ⃗⃗ ⃗ , cujos módulos valem respectivamente 6 e 8, determine o 
vetor soma, calculando seu módulo e depois marque a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
a) 7 
b) 8 
c) 10 
d) 14 
e) 20 
 
Gabarito comentado: 
Resposta: letra c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
3 
 
 
Questão 4: 
Determine o módulo dos vetores ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ sabendo que cada quadrante 
representa uma unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
a) 5;1 
b) 6;0 
c) 5;4 
d) 3;6 
e) 5;6 
 
Gabarito comentado: 
Resposta: letra a 
 
 ⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ . 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
4 
Questão 5: 
 
Considere os vetores ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ . Sabendo que o valor de seus módulos valem 
respectivamente 3, 2, 2 e 1. 
 
Ao determinar graficamente o vetor soma ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ , marque a opção que 
melhor indica a o valor de seu módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
b) 2 
c) 8 
d) √ 
e) √ 
 
Gabarito comentado: 
Resposta: letra d 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ 
 ⃗ ⃗⃗ 
 
 
 
 
 √