Unidade 2 números inteiros

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Matemática Básica para Biologia Unidade 2 
 
 
 
Autoras: 
Gisela Pinto e Luciana Pena Página: 1 
 
 
 
Unidade 2 
Números inteiros 
 
 
 
 
Metas 
Ampliar o conhecimento sobre os números naturais para a noção numérica conhecida 
como conjunto dos números inteiros. 
 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
• conhecer os números inteiros, assim como a sua representação em notação decimal; 
• saber resolver novos problemas práticos; 
• conhecer uma representação geométrica dos números inteiros; 
• conhecer as duas operações básicas entre números inteiros; 
• entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos; 
• reconhecer um número primo e a forma fatorada para os números inteiros; 
• saber determinar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre 
números inteiros. 
 
 
 
 
Matemática Básica para Biologia Unidade 2 
 
 
 
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Números inteiros 
 
Ao longo da unidade 1, nós conversamos sobre os números naturais, que 
resultam de processos de contagem. Vimos também um pouco sobre a estrutura deste 
objeto matemático tão importante: os conjuntos. Vamos agora ampliar um pouco o 
conjunto dos números naturais? Bem, ao trabalho! 
A espécie humana surgiu na Terra há cerca de 200 mil anos. Há teorias diversas 
que estudam e conjecturam hipóteses acerca deste desenvolvimento. Bem, é certo que 
os dinossauros surgiram bem antes dos humanos na Terra... Ainda bem, não é mesmo? 
Imagine vivermos em meio aos Tiranossauros e Herbiossauros! Carnívoros ou 
herbívoros, eles eram sempre assustadores e gigantes! Ainda bem que eles já estão 
extintos! 
Mas será que podemos realizar uma contagem com algo que não existe mais, 
mas que sabemos que já existiu? Uma contagem para trás... Uma contagem para antes 
do começo... Como fazer isto? 
Bem, isto é possível graças aos números inteiros! A ideia é a seguinte: vamos 
definir onde é o começo – se precisamos ir antes do começo, é necessário que o 
conheçamos bem, ou seja, que o “começo” esteja bem definido! Digamos que o 
momento em que a espécie humana (homo sapien sapiens) se estabelece na face da 
Terra seja o começo dos tempos: este então é o começo da contagem – é o “tempo 
zero”! A partir daí, tudo o que vem depois dele nós já aprendemos a contar. O que vem 
antes é o que estamos aprendendo a contar agora. Então vamos ter um ano antes do 
zero, dois anos antes do zero, um século antes do zero, um milênio antes do zero, da 
mesma forma que temos um ano depois do surgimento do primeiro homem, dez anos 
depois ou 1 milhão de anos depois do surgimento do primeiro homem. 
 
Fonte: http://portidabio3.blogspot.com.br/2012/09/fosseis-e-evolucao-da-vida.html, 
acesso em 06/02/2013 
Mas como representar isso em termos matemáticos, ou seja, como registrar isso? 
Foi em torno do ano de 1545 que o problema deste registro começou a ser resolvido: os 
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matemáticos italianos Cardano e Tartaglia começam a registrar os números que vêm 
antes do zero, ou seja, os números que são menores do que zero, que chamavam na 
época de “números fictícios”. Depois deles, um outro italiano, chamado Bombelli, 
desenvolveu uma forma de registrar-se esses números: ele usava um p para indicar o 
plus (mais) e um m para indicar o minus (menos), chegando a sugerir que p15 com m20 
resulta em m5, porque se tivesse 15 unidades de moeda e as usasse para pagar uma 
dívida de 20 moedas, ainda continuaria devendo 5 moedas. 
 
Atividade 1: 
Use a representação pensada por Bombelli para expressar e resolver as situações 
propostas abaixo. 
a) Paolo tinha 23 moedas para pagar uma dívida de 30 moedas. Como ficou a 
situação de Paolo? 
b) Luigi tinha uma dívida de 46 moedas e usou as 50 moedas que tinha consigo 
para pagar esta dívida. Como ficou a situação de Luigi? 
c) Anna já tinha um débito de 345 moedas com os impostos. Na virada do último 
ano, foi feito um novo lançamento de imposto devido por Anna, agora no valor 
de 23 moedas. Qual a situação de Anna em relação aos seus impostos? 
d) Pietro já tinha apurado 98 moedas com a venda de bolos de limão. Vendeu mais 
alguns e ganhou mais 34 moedas. Qual a situação de Pietro em relação ao 
apurado pelas vendas dos bolos agora? 
 
Atividade 2: 
Você saberia dizer como podem ser feitas atualmente estas representações? Então 
reescreva-as, em linguagem matemática atual! Vamos tentar? 
 
Na verdade, existem várias situações onde podemos precisar contar num sentido 
contrário do esperado. Por exemplo, em edifícios com elevadores, os andares acima do 
nível do chão são contados e associados a números naturais. Mas, existem situações em 
que o elevador pode descer para níveis abaixo do nível do chão. Neste caso, pode-se 
contar os andares para baixo, mas a contagem tem um significado diferente da contagem 
para cima. Um exemplo bem mais comum de contagem com mais de um significado 
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pode ser encontrado nas operações financeiras. Podemos contar dinheiro. O problema é 
quando começamos a contar dívidas, isto é, contar dinheiro que não temos e precisamos 
pagar a alguém. 
 Para lidar com situações envolvendo contagens com dois significados, perda e 
ganho, antes e depois, para cima e para baixo, a Matemática desenvolveu um novo 
conjunto numérico, o conjunto dos números inteiros, ℤ. Este conjunto estende o 
conjunto dos números naturais e a representação decimal de seus elementos é 
parcialmente dada a seguir. 
ℤ = { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }. 
Uma representação geométrica parcial de ℤ, com a correspondente representação 
decimal, é a seguinte. 
 
 
Fonte:http://1.bp.blogspot.com/_a8eVxCfyq70/S_2WYDIFLXI/AAAAAAAAAAU/mu
Uw-JrRGFQ/s1600/Reta_numerica.jpg , acesso em 06/02/2013 
 
Como você deve bem se lembrar, os números inteiros podem ser positivos 
(quando são maiores que o zero, ou seja, quando se localizam a direita do zero na reta 
numérica) ou negativos (quando são menores que o zero, ou seja, quando se localizam a 
esquerda do zero na reta numérica. Por exemplo, o conjunto {1, 2, 3, 4, ...} tem números 
positivos e o conjunto {1, 2, 3, 4, ...} tem números negativos. 
O conjunto dos números negativos e o dos números positivos têm grande 
importância em estudos matemáticos e também possuem uma notação especial. Temos 
as seguintes notações em símbolos: 
 ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, 
 ℤ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. 
E lembre-se, quando usamos o * associado ao símbolo de um conjunto numérico 
(ℕ 𝑜𝑢 ℤ, até agora) significa que o zero está excluído do conjunto! 
 
Atividade 3: 
a) O que é maior, 13 ou 1? 13 ou 2? 
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b) Os registros mais antigos de uso de numerais escritos datam de aproximadamente 
3500 a.C., e foram produzidos pelos antigos sumérios e egípcios. Segundo esta 
referência, há quantos anos, aproximadamente, o homem faz uso de numerais escritos? 
c) O que ocorreu primeiro, um fato de 160 a.C. ou um fato de 340 a.C.? 
 
 A manipulação dos números inteiros é semelhante à dos números naturais. A 
maior diferença é que agora não existe mais a ideia do menor número de todos. Esteconjunto é infinito tanto no sentido crescente (dos números positivos) quanto no sentido 
decrescente (dos números negativos). Um problema que pode acontecer é na 
manipulação das operações soma e produto neste novo conjunto. Na verdade os cálculos 
se realizam da mesma maneira, só que é preciso tomar certo cuidado com os sinais. 
 
Observações: 
 
1) Agora, trabalhando com o conjunto dos números inteiros, operações como 3 – 9 
fazem sentido, o que nos naturais não acontece. Temos agora a nosso favor a ideia do 
que vem antes do começo, não é mesmo? Então se de 3 retirarmos 9, ficam faltando 
retirar 6 unidades. Isso significa que 3 – 9 = -6. Trabalhando com números inteiros, 
temos a notação a  b = a + (b). No conjunto dos números inteiros, a expressão a – b 
sempre faz sentido, mesmo se b é maior de que a. Por exemplo, 5 – 14 = 5 + (14) = 9. 
 
2) Uma regra útil para produto é a seguinte: (a)b = a(b) = ab. Vamos lembrar? No 
produto de números inteiros com sinais diferentes, o resultado é sempre negativo! 
 
 
3) A notação a não representa um número negativo. Cuidado! Esta notação indica o 
simétrico de um número, ou seja, pensando na reta numérica, o simétrico de um número 
é aquele que tem a mesma distância do primeiro em relação ao zero, mas que fica do 
lado oposto. Por exemplo, se a = 3, temos a = 3, um número positivo. 
 
Quer saber mais um pouco sobre isso e brincar um pouco? Visite 
http://mdmat.mat.ufrgs.br/formula_1/relacao_ordem.html! 
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Figura: Print da Tela do Fórmula (-1), obtida em 
http://mdmat.mat.ufrgs.br/formula_1/relacao_ordem.html, acesso em 06/02/2013. 
 
Fatoração em ℤ 
 
Uma das características mais interessantes dos números inteiros é a possibilidade 
que todos eles têm de ser escritos como um produto de forma única. Vamos ver isso 
melhor? 
Você se lembra da palavra fatoração? Essa palavra vem de fator, que em 
Matemática identifica cada um dos números que são multiplicados em um produto. 
Então, fatorar um número significa escrever este número na forma de um produto, ou 
seja, como a multiplicação de dois ou mais números inteiros. Sim, isso mesmo, por 
exemplo, o número 18 pode ser escrito como 9 x 2 ou como 3 x 3 x 2 ou como 6 x 3 ou 
ainda como 18 x 1. Já o número 17 pode ser escrito como 1 x 17 apenas. Vamos 
generalizar isso? 
Escrever um número na forma fatorada implica em usar uma outra ideia muito 
importante dos números inteiros: os múltiplos e divisores de um número inteiro. Quando 
escrevemos um número inteiro na forma fatorada, qualquer um dos fatores é um divisor 
do número, assim como o número que foi fatorado é sempre um múltiplo de cada um 
dos seus fatores. Vamos ver alguns exemplos? 
Exemplos: 
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a) Se 15 = 3  5, então 3 e 5 são divisores de 15 e 15 é um múltiplo de 3, e também de 
5. 
b) 12 é múltiplo de ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, pois 12 = (1)×(12), 12 = 3×4, 12 =
(−6)×(−2) e assim por diante. 
c) Vejamos a representação geométrica de alguns múltiplos de 3 na reta numérica, eles 
estão destacados como pontos. 
 
No desenho, cada ponto em destaque é a representação dos seguintes múltiplos de 3: 
(2)  3, (1)  3, 0  3, 1  3, 2  3 e 3  3. 
d) Verificamos que 7 não é múltiplo de 3, pois 2  3 = 6 < 7, 3  3 = 9 > 7 e não existe 
inteiro entre 2 e 3. Portanto, 3 não divide 7. Entenda a situação descrita a partir de uma 
representação gráfica. 
 
e) O conjunto dos múltiplos de 2 pode ser escrito como o conjunto dos números inteiros 
n do tipo n = 2  k. Assim, esse conjunto é formado pelos números inteiros n que são 
divisíveis por 2, ou seja, é o conhecido conjunto dos números pares. 
 
Observações importantes: 
• O número 0 é múltiplo de qualquer número inteiro. 
• O número 0 não é divisor de nenhum número inteiro, pois por definição um divisor 
é diferente de zero. Isso quer dizer que não é possível dividir por zero. 
• Todo número inteiro é múltiplo de si próprio. De fato, para todo a ℤ, a = a.1. 
• Todo número inteiro diferente de zero é divisor de si próprio. 
 
Atividade 4: 
a) Conte os 10 primeiros múltiplos positivos de 5. Você precisa contar de quanto em 
quanto? 
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b) A figura a seguir representa parcialmente a reta numérica e os múltiplos de um 
determinado número. Que número é este? 
 
c) Quais são os múltiplos de 7 entre 30 e 65? Dê a resposta de duas maneiras, em termos 
de conjunto e também listando os múltiplos sobre a reta graduada. 
d) Quantos são os múltiplos de 11 entre 99 e 12504? 
e) Passaram-se 392 dias. Quantas semanas passaram? 
 
Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética: 
 
Você se lembra dos números primos? Um número é considerado primo quando 
ele possui exatamente dois divisores: o 1 e o próprio número. Por exemplo, os cem 
primeiros números primos positivos são: 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 
191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 
281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 
389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 
491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547. 
 Um número inteiro negativo também pode ser primo se seus únicos divisores 
positivos forem 1 e p. Assim, os cem maiores números primos negativos são os 
simétricos dos relacionados acima (2, 3, 5, 7,...). 
Agora vem a parte mais interessante: você sabia que todo e qualquer número 
inteiro pode ser escrito como um produto de números primos de forma única? Sim, é 
isso mesmo! É como se fosse uma identidade de cada número inteiro que existe. Esse é 
um fato tão importante que é conhecido como o Teorema Fundamental da Aritmética, 
que diz que qualquer número inteiro maior do que 1 pode ser construído através de 
produtos de potências de primos positivos. Logo, podemos fatorar um número inteiro, 
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diferente de 0, 1 e 1, usando potências de primos, onde, no caso do número ser 
negativo, fatoramos o simétrico do número e multiplicamos a fatoração por 1. 
Vamos ver alguns exemplos de fatoração? 
Exemplo: 
a) 6 = 2  3 b) 28 = 22  7 c) 720 = 24  32  5 d) 82 = (1)  2  41 
b) Vamos relembrar um método prático de fazer a fatoração de um inteiro: 
924 2 ← menor primo positivo que divide 924 
462 2 ← menor primo positivo que divide 462 
231 3 ← menor primo positivo que divide 231 
77 7 ← menor primo positivo que divide 77 
11 11 ← menor primo positivo que divide 11 
1⏟ 
__________ 
22  3  7  11 
Logo, 924 = 22  3  7  11. 
Números também podem ser primos entre si, basta que quando listarmos todos 
os divisores de cada um dos números, que eles não possuam divisores positivos em 
comum além do 1. Note que, pensando na decomposição dos números em fatores 
primos, isso significa que não há primos em comum nas decomposições. Por exemplo, 
12e 35 são primos entre si, pois 12 = 22×3 e 35 = 5×7 e não há primos em comum 
nas duas decomposições. 
 
Atividade 5: 
a) Determine quais são os números fatorados: 
i) 23×32×11 ii) 3×53×7 iii) 5×7×11×13 
b) Fatore os números segundo o Teorema Fundamental da Aritmética: 
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i) 234 ii) 512 iii) 303. 
c) Verifique se 35 e 162 são primos entre si. 
d) Encontre as soluções inteiras da equação 𝑎2. 𝑏 = 175. 
 
Mínimo múltiplo comum 
Observe a seguinte situação-problema: Uma engrenagem é composta de duas 
rodas dentadas, uma com 20 dentes e outra com 36 dentes. Num dado momento, dois 
dentes específicos, um de cada roda, ao se encontrarem, ficaram danificados. É certo 
que no próximo encontro dos dois dentes a engrenagem irá parar de funcionar. A 
engrenagem ainda funciona quando um dente com problema entra em contato com outro 
dente bom, mas quando dois dentes com problemas se encontrarem, não terá jeito. 
Sabendo destas informações, quantas voltas a roda menor ainda pode dar antes da 
engrenagem parar de funcionar? 
 
 Vamos analisar o problema. Quando a roda menor der uma volta, o seu dente 
com defeito novamente entra em contato com um dente da roda maior. O que você acha, 
para este momento, o dente da roda maior também é o dente com defeito? Para a roda 
menor ter dado uma volta, seus 20 dentes entraram em contato na engrenagem. Assim, 
20 dentes da roda grande também trabalharam na engrenagem. Mas, para a roda grande 
dar uma volta, é preciso que seus 36 dentes trabalhem na engrenagem. Ou seja, com 
uma volta da roda menor depois do acidente envolvendo os dois dentes quebrados, estes 
não se encontram e, portanto, a engrenagem vai continuar a funcionar. 
 Continuamos sem saber quando os dois dentes quebrados vão se encontrar. Você 
já sabe o que vai acontecer? Só sabemos que isto não acontece depois da primeira volta 
da roda menor. Precisamos adotar uma estratégia para entender melhor este problema. 
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Vamos adotar uma estratégia. Ela não é única. Caso você imagine outra 
estratégia, nós o incentivamos a desenvolvê-la também. Agora, vamos desenvolver a 
nossa. Imagine a roda menor esticada, isto é, que os seus dentes sejam colocados sobre 
uma reta. Bom imagine que isto seja possível. Assim, teríamos 20 dentes, lado a lado, 
sobre uma reta. Estes 20 dentes representam uma volta da roda menor. Para duas voltas, 
continuando este exercício de imaginação, teríamos 40 dentes, lado a lado, sobre uma 
reta. Agora podemos praticar algo que foi comentado na primeira unidade. Vamos 
representar o problema matematicamente. Vamos associar a grandeza dente a números. 
Para visualizar a situação, vamos considerar a representação geométrica dos números. O 
dente quebrado da primeira roda está associado ao número zero. Assim, o dente 
quebrado também estará associado ao número 20, 40, 60, etc. Ou seja, todo múltiplo de 
20 representa o dente quebrado da roda menor em contato com algum dente da roda 
maior (veja a noção de múltiplo aparecendo no problema). Podemos analisar o 
comportamento do dente quebrado da roda maior da mesma maneira. Associando os 
dentes a números e o dente quebrado ao número zero, temos que os números 36, 72, 
108, etc., representam o dente quebrado da roda maior. 
 A partir desta representação matemática que obtemos, podemos perceber um 
padrão de comportamento. Temos que 20, 40, 60, 80, etc. representam os números 
associados aos dentes quebrados da roda menor após sucessivas voltas da roda menor. 
Temos também que 36, 72, 108, 144, etc. representam os números associados aos 
dentes quebrados da roda maior. Pergunta: Quando os dois dentes vão entrar em contato 
novamente? Resposta (que agora parece natural): Quando tivermos um número que 
pertença às duas listas ao mesmo tempo. O problema agora é encontrar tal número. O 
mais natural é realizar uma contagem, duas, na verdade. Podemos contar de 20 em 20 e 
de 36 em 36 até encontrar o número procurado. A tabela a seguir foi obtida de uma 
planilha eletrônica. Ela contém uma lista de múltiplos de 20 e uma lista de múltiplos de 
36. 
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 
36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 396 432 
 
Veja pela tabela que 180 ocorre nas duas listas. Isto significa que 180 representa 
o dente quebrado, tanto o da roda menor, quanto o da roda maior. Pelo quantidade de 
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números representados da primeira lista, temos que os dentes quebrados vão se 
encontrar novamente após 9 voltas da roda menor (180 ocupa a nona posição na 1ª 
lista). 
 Recapitulando, associamos os dentes das duas rodas a números. Verificamos que 
o contato dos dentes quebrados na engrenagem ocorre por múltiplos, o primeiro por 
múltiplos de 20 e o segundo por múltiplos de 36. Depois, verificamos que a ocorrência 
simultânea dos dois dentes quebrados ocorreria quando tivéssemos dois múltiplos em 
comum. Na verdade, existem vários múltiplos em comum nas duas listas. O que 
encontramos foi o menor múltiplo em comum das duas listas de múltiplos. 
 
Atividade 6: 
Faça uma lista com os 10 primeiros múltiplos positivos de 2 e uma lista com os 10 
primeiros múltiplos positivos de 3. Faça uma terceira lista com números que sejam 
comuns às duas listas. 
a) Esta terceira lista tem um menor número? Tem um maior número? 
b) Se você considerar todos os múltiplos positivos de 2 e de 3, mesmo que não possa 
listá-los, você acha que a lista de múltiplos em comum de 2 e de 3 é finita ou infinita? 
Ela tem um menor elemento? Ela tem um maior elemento? 
 
 A situação-problema analisada aqui é só um exemplo. Existem várias situações 
que podem apresentar um comportamento parecido com o que encontramos na análise, 
e que podem ser estudadas segundo a mesma estratégia. Por exemplo, sabendo que 
houve uma eleição para presidente e senadores num determinado ano, que a eleição para 
presidente ocorre de 4 em 4 anos e que a eleição para senador ocorre de 6 em 6 anos, 
quando teremos uma nova eleição para presidente e senadores ao mesmo tempo. Outro 
exemplo, se dois planetas se encontram alinhados, um deles leva 4 anos terrestres para 
dar uma volta em torno do Sol e o outro leva 7 anos, quando estarão alinhados 
novamente? Sabendo que a estratégia de procurar o menor múltiplo em comum pode ser 
útil em várias situações, devemos ver a importância de se formalizar esta noção. 
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 O menor múltiplo comum positivo de dois ou mais números inteiros, é chamado 
de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação mmc. 
 
Exemplo: 
a) Vamos determinar os conjuntos M(6) e M(7), dos 10 menores múltiplos não 
negativos de 6 e 7, respectivamente. Analisando os dois conjuntos, podemos determinar 
o mmc(6,7). 
• M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54} 
• M(7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}. 
Observe que o primeiro múltiplo comum, que é o menor múltiplo comum, que aparece 
nos dois conjuntos é 42, logo mmc(6,7) = 42. Note que, nesse caso, 42 = 6×7, ou seja, o 
mmc é o produto entre os dois números. 
b) Determine o mmc(60,72). 
 Poderíamos proceder como em a), porém tomaremos um caminhomais simples. 
Vamos usar a decomposição dos dois números: 
60, 72 2 ← menor primo positivo que divide 
60 e/ou 72 
30, 36 2 ← menor primo positivo que divide 
30 e/ou 36 
15, 18 2 ← menor primo positivo que divide 
15 e/ou 18 
15, 9 3 ← menor primo positivo que divide 
15 e/ou 9 
5, 3 
5, 1 
1, 1⏟ 
 3 ← menor primo positivo que divide 
15 e/ou 9 
 5 ← menor primo positivo que divide 5 
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e/ou 1 
 __________ 
23×32×5 = 360 
 Observe que 360 = 6×60 = 5×72 e é o menor múltiplo comum entre 60 e 72. 
Nesse caso, mmc(60,72) ≠ 60×72 = 4320. Compare as decomposições de 60 =
22×3×5 e 72 = 23×32 com o mmc. No mmc aparecem os primos que estão presentes 
em pelo menos uma das decomposições, elevados ao maior expoente com que 
aparecem. 
 
c) Encontre o mmc(24×52×7, 22×3×5). 
Os primos que aparecem em pelo menos uma das decomposições elevados à maior 
potência são 24, 3, 52𝑒 7. Logo, mmc(24×52×7, 22×3×5) = 24× 3×52×7. 
 
Atividade 7: 
a) Encontre: i) 𝑚𝑚𝑐(23×32×7, 2×52×17) ii) 𝑚𝑚𝑐(132, 74) 
 iii) 𝑚𝑚𝑐(132, 74, 33) 
b) Um filho visita a mãe a cada 15 dias e o outro filho a cada 18 dias. Se os dois filhos 
visitaram a mãe hoje, daqui a quantos dias coincidirá novamente a visita dos dois? 
c) A soma de dois inteiros positivos é 30 e o mmc dos dois é 36. Determine esses 
números. 
 
 
 
Máximo divisor comum 
Vamos considerar agora outra situação problema, distinta do anterior. Um 
botânico precisa organizar grupos de orquídeas roxas e de orquídeas brancas, de forma 
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que em cada grupo só existam orquídeas da mesma cor. Existem na estufa deste 
botânico: 12 orquídeas roxas e 18 orquídeas brancas. Qual o maior número de orquídeas 
que ele poderá colocar em cada grupo? 
Para resolver este problema, vamos pensar em cada cor de orquídea primeiro. 
Com as 120 orquídeas roxas, podemos formar grupos com 1, 2, 3, 4, 6 ou 12 orquídeas; 
já com as brancas, podemos ter grupos com 1, 2, 3, 6, 9 ou 18 orquídeas. Como 
queremos que os dois grupos tenham a mesma quantidade de orquídeas, então podemos 
organizar em grupos com 1, 2, 3, ou 6 orquídeas em cada. Mas a pergunta do problema 
foca-se em qual o maior número de orquídeas que ele poderá colocar em cada grupo. 
São então 6 orquídeas em cada grupo, concorda? 
 
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Neste problema, usamos os divisores de 12 e de 18 para podermos formar os 
grupos com orquídeas. Precisamos pensar em quais eram os divisores comuns a 12 e a 
18 e depois, qual era o maior dentre eles. 
O maior divisor comum positivo de dois ou mais números inteiros, é chamado 
de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação mdc. Dados a, b ∈ ℤ, 
o 1 é sempre um divisor comum entre eles e será o maior, isto é, mdc(a,b) = 1 quando 
a e b forem primos entre si. 
 
Exemplo: 
a) Vamos determinar os conjuntos D(36) e D(42), dos divisores positivos de 36 e 24, 
respectivamente. Analisando os dois conjuntos, determinamos o mdc(36,24). 
• D(36)={1,2,3,4, 𝟔, 9,12,18,36} 
• D(42)={1,2,3, 𝟔, 7,14,21,42}, 
Os divisores em comum são 1,2,3,6 e o maior deles é o 6, logo mdc(36,42)=6. 
 
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b) Determine o mdc(60,72). 
 Vamos usar a decomposição dos dois números: 
60, 72 2 ← menor primo positivo que divide 
60 e 72 
30, 36 2 ← menor primo positivo que divide 
30 e 36 
15, 18 3 ← menor primo positivo que divide 
15 e 18 
5, 6⏟ 
Primos 
 entre si 
 Não há mais primo positivo 
divisor de 5 e 6, 
 então o processo termina. 
 __________ 
22×3 = 12 
= 𝑚𝑑𝑐(60,72) 
 
Vimos que 60 = 22×3×5 e 72 = 23×32, portanto no mdc(60,72) = 22×3 aparecem 
os primos que estão presentes nas duas decomposições, elevados ao menor expoente 
com que aparecem. 
 
 Relacionando o mdc e o mmc, temos a seguinte igualdade 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏)×
𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑎×𝑏, para quaisquer a e b inteiros positivos. 
 
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Atividade 8: 
a) Encontre: i) mdc(124,328) ii) mdc(124,328,1200) 
 iii) mdc(32×53×11,2×33×5×101). 
b) Um terreno retangular mede 300m por 135m e será dividido em lotes quadrados 
iguais com a maior área possível. Qual é o comprimento de cada lote? Quantos lotes 
formaremos? 
c) Senhora Delícia, dona de uma fábrica caseira de bolos, recebeu a seguinte 
encomenda: 24 bolos de chocolate, 36 de laranja e 48 de maracujá. Porém, no pedido 
havia a seguinte exigência: os bolos devem ser postos em embalagens contendo o 
mesmo número de bolos de cada tipo e a menor quantidade possível de bolos em cada 
embalagem. Como podemos ajudar a nossa confeiteira a não perder a encomenda? 
Quantas embalagens serão usadas? Quantos bolos de cada tipo serão postos em cada 
uma? 
d) Um terreno retangular tem 144m de comprimento e 112m de largura. Esse terreno foi 
cercado com coqueiros mantendo-se a mesma distância entre dois coqueiros 
consecutivos. Sabendo que plantamos um coqueiro em cada canto do terreno e que a 
distância entre dois coqueiros consecutivos é a maior possível, determine quantos 
coqueiros foram plantados no terreno. 
 
Divisão Euclidiana 
 Antes de apresentarmos o algoritmo da divisão, vamos trabalhar um exemplo 
para que a noção fique clara. 
Exemplo: Existem várias maneiras de escrever o número 35 usando multiplicações por 
4, observe: 
35 = 2 × 4 + 27, 35 = 3 × 4 + 23, 35 = 4 × 4 + 19, 35 = 5 × 4 + 15, 35 = 6 × 4 
+ 11, 35 = 7 × 4 + 7, 35 = 8 × 4 + 3, 35 = 9 × 4  1, 35 = 10 × 4  5, (temos 
também multiplicações por negativos) 35 = 2 × 4 + 43, 35 = 3 × 4 + 47, ... 
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Porém, há uma única forma de escrever 35 como um produto entre 4 e um número 
inteiro mais um outro inteiro r ( o resto) não negativo e menor do que 4 (0  r < 4). É 
conforme a expressão acima grifada de amarelo. Esse fato é verdadeiro no caso geral, e 
é o que nos atesta o Teorema a seguir. 
Divisão Euclidiana 
Exemplo: Veja uma forma de representação geométrica da divisão euclidiana para 
números inteiros não negativos. Veja se ela ajuda a entender melhor este tipo de divisão. 
Sabemos que 20 = 4  5. Geometricamente, isto é equivalente à construção de um 
retângulo formado por 20 peças, sendo que um lado é formado por 4 peças e outro por 
5. Veja o desenho. 
 
Será que 22 pode ser transformado num retângulo com um dos lados formado por 5 
peças? É imediato verificar que ao colocarmos mais uma fila de cinco peças no 
retângulo acima teremos um retângulo com 25 peças, número que ultrapassa o valor 22. 
Veja a tentativa de montar um retângulo com 22 peças e com filas de 5 peças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A única coisa que podemos concluir é que com 22 peças só podemos montar um 
retângulo com fileiras de 5 peças e mais um resto de 2 peças, ou seja, 22 = 45 + 2. 
Seguindo este padrão de construção de retângulos, deve ser fácil perceber que, dado 
qualquer número a ℕ, temos a divisão euclidiana, a = q  5 + r, onde r é tal que 0  r 
< 5. Nesta divisão, q representa o número de filas de 5 peças e r é a quantidade de peças 
que sobraram sem preencher uma fila, e que só pode ser menor do que 5. Bom, o valor 5 
aqui só foi usado para exemplificar, é claro que vale a representação geométrica para 
qualquer divisor b > 0. 
 
 
 
Comentários finais 
 A princípio, o conjunto dos números inteiros é simplesmente uma ideia 
matemática que ajuda com a noção estendida de contagem, permitindo a contagem 
regressiva, para trás, e sem limites, pois este conjunto não contém um menor elemento. 
Esta é uma visão mais prática da questão. Do ponto de vista matemático, adotar o 
conjunto dos números inteiros significar operar a subtração sem restrições, o que 
implica na garantia de solução para equações do tipo x + a = b, com x representando a 
incógnita. 
 O assunto de estudo da próxima unidade é uma nova extensão numérica, o 
conjunto dos números racionais. Do ponto de vista matemático, este conjunto permite 
operar a divisão sem restrições, o que acarreta na garantia de solução para equações do 
tipo ax + b = c, com a  0 e x representando a incógnita. Contudo, este novo conjunto 
matemático tem influência direta em questões práticas, como, por exemplo, a questão de 
comparação de medidas obtidas de unidades de medidas diferentes. 
 Mas, antes de passar para a próxima unidade, é importante que o aluno tenha 
domínio na fatoração de números inteiros, além de saber calcular mmc e mdc. É 
interessante também que se entenda bem a divisão euclidiana. 
 
 
 
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Exercícios complementares 
 
1) Qual o menor número inteiro positivo que devemos somar a 4786 para obtermos um 
múltiplo de 13? 
2) Encontre as soluções inteiras da equação a2.b = 1575. 
3) Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7 e 11 e 
que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1. 
4) Prove que todo inteiro que deixa resto 5 na divisão por 6, deixa resto 2 na divisão por 
3. 
5) Prove que o quadrado de um inteiro é da forma 3k ou 3k + 1, ou seja, o resto da 
divisão do quadrado por 3 só pode ser 0 ou 1. 
6) Qual é o resto da divisão de (1001)1001 por 2? 
7) Qual é o resto da divisão de (1002)144 por 5? 
 
Respostas das atividades 
 
Atividade 1: 
Usando a representação pensada por Bombelli para expressar e resolver as situações 
propostas abaixo, podemos afirmar: 
a) Como Paolo tinha p23 moedas m30 de dívidas. Paolo ficou com m7. 
b) Luigi tinha m46 moedas, com p50. Portanto, Luigi ficou com p4. 
c) m345 com m23. A situação de Anna em relação aos seus impostos é de m368. 
d) Considerando p98 com p34, temos que Pietro apurou p132 moedas pelas vendas 
dos bolos agora. 
 
Atividade 2: 
Reescrevendo estas representações, em linguagem matemática atual, temos: 
a) +23 − 30 = −7. 
b) −46 + 50 = +4. 
c) −345 − 23 = −368. 
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d) +98 − 34 = 64. 
 
Atividade 3: 
a) Se você tiver dúvidas, basta encontrar estes números na reta numérica. 
 
Assim, 13 < 1 e 13 < 2. 
b) Passaram-se 3500 anos antes do nascimento de Cristo e mais 2012 anos (completos), 
aproximadamente, na nossa era. No total, o homem faz uso de numerais escritos há 
aproximadamente 5512 anos. 
c) 340 a.C. 
 
Atividade 4: 
a) Temos, 5 = 1.5, 10 = 2.5, 15 = 3.5, 20 = 4.5, 25 = 5.5, 30 = 6.5, 35 = 7.5, 40 = 8.5, 45 
= 9.5, 50 = 10.5. Assim, encontrar os 10 primeiros múltiplos positivos de 10 é 
equivalente a contar de 5 em 5, a partir de 5. 
b) O número é 4. 
c) Temos 35 = 5.7, 42 = 6.7, 49 = 7.7, 56 = 8.7 e 63 = 9.7. A resposta em termos de 
conjuntos é {35, 42, 49, 58}. Na reta graduada, temos. 
 
(Este problema é simples e pode ser resolvido só por contagem, isto é, enumerando 
todos os múltiplos de 7 que estão entre 30 e 65, basta contar de 7 em 7. Mas, esta 
estratégia já não é muito interessante para números como o da próxima questão.) 
d) São os números inteiros do tipo 11k, onde 99 < 11k < 12504. Logo, 
 9 = 
11
99
 < k < 
99
12504
  1136,7 (é para usar a calculadora mesmo) 
 e, portanto, k representa um inteiro que varia entre 10 e 1136, o que corresponde a 1127 
múltiplos. 
e) Como 392 = 56.7, passaram-se 56 semanas. 
 
Atividade 5: 
a) i)792 ii)2625 iii) 5005 
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b) i) 234 = 2×32×13 ii)512 = 29 iii)303 = 3×101 
c) 35 = 5×7 e 162 = 2×34, portanto não há primos em comum nas duas 
decomposições. Logo, são primos entre si. 
d) Como 175 = 52×7, temos as seguintes soluções inteiras: a = 5 e b = 7; a = 5 e b = 
7; a = 1 e b = 175; a = 1 e b = 175. 
 
Atividade 6: 
Lista 1: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 
Lista 2: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
Lista 3: {6, 12, 18} 
a) 6 é o menor número da 3ª lista e 18 é o maior número. 
b) Veja uma representação parcial de todos os múltiplos positivos de 2 e 3, 
respectivamente: 
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, ...}, 
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, ...}. 
Uma lista parcial dos múltiplos em comum entre os múltiplos de 2 e de 3 é a seguinte: 
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 75, 78, ...}. 
Note que podemos montar a terceira lista seguindo um padrão, mesmo sem ter as listas 
1 e 2 completas. Por exemplo, basta notar que os múltiplos em comum aumentam de 6 
em 6. Bom, é fácil perceber que esta lista tem um menor elemento, o 6, mas não terá um 
maior elemento. Sempre conseguimos um múltiplo em comum maior. Em particular, a 
terceira lista é infinita. 
 
Atividade 7: 
a) i) 𝑚𝑚𝑐(23×32×7, 2×52×17) = 23×32×7×52×17 
ii) Fatorando os dois números , obtemos: 
 𝑚𝑚𝑐(132, 74) = 𝑚𝑚𝑐(22×3×11,2×37) = 22×3×11×37. 
iii) Fatorando os três números , obtemos 𝑚𝑚𝑐(132, 74, 33) = 22×3×11×37. 
b) A visita dos filhos coincidirá quando tiverem se passado um número de dias que é 
um múltiplo comum entre 15 e 18. Para sabermos quando será o próximo encontro, 
devemos calcular mmc(15,18) = 2×32×5 = 90. Logo, a visita dos dois coincidirá 
daqui a 90 dias. 
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c) Sejam m e n esses inteiros positivos, então 𝑚 + 𝑛 = 30 𝑒 𝑚𝑚𝑐(𝑚, 𝑛) = 36 =
22×32. Assim, m e n são divisores positivos de 36, isto é, pertencem ao conjunto 
{1,2,4,6,9,12,18,36}. O único par de divisores cuja soma é 30 é dado por 12 e 18, e 
ainda de fato mmc(12,18) = 30. Logo, os números são 12 e 18. 
 
Atividade 8: 
a) i)mdc(124, 328) = mdc(22×31,23×41) = 22 = 4 
ii) mdc(124, 328, 1200) = mdc(22×31,23×41, 24×3×52) = 22 = 4 
iii)mdc(32×53×11,2×33×5×101) = 32×5 = 45. 
b) Para que tenhamos a maior área possível, a medida de cada lado dos lotes será dada 
pelo mdc(300,135) = 15. Assim, o comprimento de cada lote é igual a 15m e 
formaremos 20 ×9 = 180 lotes. 
c) Para que cada embalagem contenha os 3 tipos de bolos, o número de embalagens 
deve ser divisor comum de 24, 36 e 48. E para termos em cada embalagem a menor 
quantidade de cada tipo de bolo, o número de embalagens deve ser igual ao 
mdc(24,36,48)=12. Em cada embalagem, teremos 2 bolos de chocolate, 3 bolos de 
laranja e 4 de maracujá. 
d) A distância entre cada coqueiro é dada pelo 𝑚𝑑𝑐(144,112) = 𝑚𝑑𝑐(24×32, 24×
7) = 24 = 16 𝑚. Logo, foram plantados (2×144 + 2×112): 16 = 32 coqueiros. 
 
 
Respostas dos Exercícios Complementares 
 
1) Podemos escrever 4786 = 36813 + 2, donde 4797 = 4786 + 11 = 36813 + 2 + 11 = 
36913. Logo o menor inteiro positivo que somamos para obter um múltiplo de 13 é 11. 
2) Como 1575 = 32×52×7, temos as seguintes soluções inteiras: a = 3 e b = 175; a = 
3 e b = 175; a = 5 e b = 63; a = 5 e b = 63; a = 15 e b = 7; a = 15 e b = 7; a = 1 e b 
= 1575; a = 1 e b = 1575. 
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3) Um inteiro 𝑝 que só possui 7 e 11 como divisores primos é do tipo 𝑝 = 7𝑛×
11𝑚, 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ e o número de divisores positivos desse número é (𝑛 + 1)×(𝑚 + 1), já 
que para cada expoente de 7 de 0 a n, temos m + 1 divisores (𝑠𝑒 𝑘 =
0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 70×110, 70×111, 70×112, 70×113, … , 70×11𝑚, e 
analogamente para 𝑘 = 1, 𝑘 = 2, … , 𝑘 = 𝑛). Assim, o número de divisores de 𝑝 
positivos e diferentes de 1 é dado por (𝑛 + 1)×(𝑚 + 1) − 1. Logo, (𝑛 + 1)×(𝑚 +
1) − 1 = 15 ⟺ (𝑛 + 1)×(𝑚 + 1) = 16. Observe que as soluções inteiras dessa 
equação são : 𝑛 = 0 𝑒 𝑚 = 15 , 𝑛 = 1 𝑒 𝑚 = 7; 𝑛 = 3 𝑒 𝑚 = 3; 𝑛 = 7 𝑒 𝑚 = 1; 𝑛 =
15 𝑒 𝑚 = 0. Assim, os inteiros possíveis são 𝑝 = 70×1115 = 1115; 𝑝 = 71×117; 𝑝 =
73×113; 𝑝 = 77×111; 𝑝 = 715×110 = 715. 
4) Seja n um inteiro qualquer que deixa resto 5 na divisão por 6, então 𝑛 = 6×𝑞 + 5 =
3×𝑞`+5=3×(𝑞` + 1) + 2, onde 𝑞` + 1 ∈ ℤ e 0<r=2<3. Logo, o resto é 2. 
5) Usando o Algoritmo da Divisão, um inteiro n é escrito como 𝑛 = 3×𝑞 + 𝑟, onde 0 ≤
𝑟 ≤ 2. Então, 𝑛2 = (3×𝑞 + 𝑟)2 = 9×𝑞2 + 6×𝑞×𝑟 + 𝑟2 = 3×(3×𝑞2 + 2×𝑞×𝑟) +
𝑟2 = 3×𝑞` + 𝑟2, onde 𝑟2 pode ser igual a 0,1 ou 4. Se 𝑟2 for 0, então o resto de 𝑛2 na 
divisão por 3 será 0. Se 𝑟2 for 1 ou 4 o resto de 𝑛2 na divisão por 3 será 1. 
6) Observe que o algarismo das unidades de qualquer potência de 1001 é 1, formando 
um número ímpar, portanto o resto será 1. 
7) O algarismo das unidades de 1002 é 2, quando multiplicamos 1002×1002 o 
algarismo das unidades é 4 e portanto o algarismo das unidades de (1002)3=(1002) 2×
1002 é resultante da multiplicação de 4 por 2, o que dá 8. Daí, (1002)4 =
(1002)3×1002 possui algarismo das unidades 6, pois 2×8 = 16 . Observe que 
(1002)5 possui algarismo das unidades 2, pois resulta da multiplicação de 6 por 2 . 
Assim, retornamos ao algarismo das unidades da base .Pelo visto acima, os algarismos 
das unidades das potências (1002)𝑛 formam um ciclo de quatro algarismos que se 
repetem: 2,4,8,6,2,4,8,6,2,.... .Portanto, para sabermos qual será o algarismo das 
unidades de (1002)144, basta encontrarmos o resto da divisão de 144 por 4, então 
144 = 36×4 e 36 ciclos são completos. Logo, o algarismo das unidades de 
(1002)144 é o 6 o que nos dá resto 1 na divisão por 5.