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Estruturas de Concreto Armado I -Apostila de UFBA

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6,32
4,
62
6,32
-3,17 -3,170 0
3,02
1,
31
1,03
5,
26 5,
26
-3
,5
6
 
Figura 7.23 – Momentos fletores e reações nas lajes da 2a opção de fôrma para o pavimento tipo. 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
147
7.6.2. Cálculo dos momentos finais 
Como pode ser observado na Figura 7.23, sobre as vigas de apoio entre duas lajes, tem-se dois 
momentos diferentes, um de cada uma das lajes, pois elas foram calculadas individualmente. 
É necessário, portanto, determinar-se qual o momento negativo final de cálculo (Mef), que é 
baseado no equilíbrio entre os dois momentos existentes. Para tanto, utiliza-se o seguinte 
procedimento: 



>
+
≥
)MM(M8,0
2
MM
M
e
2
e
1
e
1
e
2
e
1
e
f 
A NBR 6118 (2004) permite que se utilize o maior entre os dois momentos em alguns casos. 
Após o equilíbrio dos momentos negativos, é necessário se fazer a correção dos momentos 
positivos nos vão onde ocorreu a redução do valor no engaste. Quando ocorre a diminuição do 
momento fletor no apoio, há um acréscimo do momento fletor no meio do vão. Por outro lado, 
quando há um aumento do momento de engaste, há uma redução do momento no meio do vão 
(∆f), como indica a Figura 7.24. 
m
a c
e
b
d f
1 2m
3m
1f
f2
f3
f4
l1 2l 3l 4l
f∆
 
Figura 7.24 – Correção do momento positivo em função da redução do momento negativo. 
Para o cálculo dos momentos fletores positivos corrigidos, tem-se o seguinte: 
2
)fm(
MM
2
)me(
2
)dm(
MM
2
)mc(
2
)ma(
MM
2
)bm(
MM
34
i
4
F
323
i
3
F
212
i
2
F
11
i
1
F
−−=
−+−−=
−+−+=
−−=
 
A seguir estão apresentadas as correções para os momentos fletores da 2a opção de fôrma do 
pavimento tipo em análise. 
Quando há a redução, 
esta é desprezada a favor 
da segurança. 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
148
Equilíbrio dos momentos negativos Correção dos momentos positivos 
Entre L101 e L103: 



=
=+≥
54,217,3x8,0
59,1
2
17,30
X f 
Entre L101 e L104: 



=
=+≥
11,4314,29x0,8
14,10
2
14,2913,90
Xf 
Entre L103 e L104: 



=
=+≥
12,1190,13x8,0
73,8
2
56,390,13
Xf 
Entre L104 e L106: 



=
=+≥
28,560,6x8,0
30,3
2
60,60
Xf 
Entre L104 e L105: Já estão em equilíbrio 
L101:
4,72
2
10,1429,414,62My =

 −+= 
L103:
66,12x
2
54,217,303,1M y =

 −+= 
L104: 
90,6
2
12,1190,1351,5Mx =

 −+= 
L106: 
94,32x
2
28,560,662,2M y =

 −+= 
A Figura 7.25 apresenta o esquema do pavimento tipo com os momentos que foram 
modificados, e a Figura 7.26 os momentos finais para o pavimento. 
-1
3,
90
-1
3,
90L105
-1
3,
90L104
1,69
L107
-6
,6
0
0
2,
62
-11,96
L106
5,
51
3,38
-6
,6
0
0
-11,96
3,385
,5
1
L103
-3,17
6,32
-1
4,
29
0
4,
62
L101
-1
4,
291,
31
1,03
-3,17 0
L102
6,324
,6
2
L108
-3
,5
6
 
Figura 7.25 – Momentos fletores a serem modificados para o pavimento tipo. 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
149 
-5
,2
8
-5
,2
8
L107 L108
3,
94
1,69
L106
L102L101
3,38
-1
4,
10
6,
90
L104
-11,96
6,
90
3,38
-1
1,
12 L105
-1
4,
10
-2,54
4,
72
6,32
6,32
1,
31
1,66
L103 -2,54
4,
72
 
Figura 7.26 – Momentos fletores finais, já equilibrados e corrigidos, para o pavimento tipo. 
7.6.3. Dimensionamento e detalhamento das armaduras 
Após a determinação dos esforços solicitantes nas lajes, parte-se para o seu dimensionamento. 
A partir dos momentos fletores encontrados, verifica-se a seção de concreto e determina-se a 
área de aço necessária para atendê- lo. 
Para o dimensionamento para o E.L.U., primeiro, precisa-se determinar qual é a altura útil (d) 
da laje. Vale notar que, de maneira geral, as lajes possuem armaduras nas duas direções 
principais, formando uma malha de duas camadas. Isso quer dizer que se tem duas alturas 
úteis diferentes: uma para a 1a camada e outra para a 2a camada. Esse fato está apresentado na 
Figura 7.27. Para evitar erros na execução, admite-se uma altura útil referente às barras da 2a 
camada. 
Além disso, é necessário calcular qual é a área de aço mínima que deverá ser colocada nas 
lajes. Segundo a NBR 6118 (2003), para as lajes armadas em duas direções, tem-se: 
· Para as armaduras negativas: rs ³ rmín; 
· Para as armaduras positivas: rs ³ 0,67 rmín, 
onde os valores de rmín dependem do valor do fck, e se encontram na Tabela XII do Anexo A. 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
150
d' =cob.+( /2) d =h-d'
h
cob.
φ
d'
d
φ
1
1
d'2
d2 φ
1 cam.a
a2 cam.
1 cam.a1 1 1
φd' =cob.+( + /2) d =h-d'2 1 cam.a 22aφ2 cam.
 
Figura 7.27 – Corte na laje, indicando as duas camadas de armaduras. 
Outro aspecto fundamental no dimensionamento das lajes, é saber qual o diâmetro máximo da 
armadura que pode ser usado. Segundo a NBR 6118 (2004), ele não pode ultrapassar o valor 
de 1/8 da altura da laje, ou seja: φmáx ≤ h/8. A prática recomenda que o diâmetro mínimo a ser 
usado nas armaduras para os momentos negativos seja de φmín≥6,3mm. 
Para o nosso projeto, serão adotados os seguintes dados: fck = 25MPa; aço CA 50 A; 
cobrimento = 20mm; φmáx = 10mm (para as lajes com h > 7cm); e φmáx = 8mm (para as lajes 
com h = 7cm). Logo, admitindo a altura útil referente à segunda camada, tem-se que: 
d’ = 2,0 + 1 + 0,5 = 3,5cm ⇒ d = h – 3,5 (para lajes com h > 7cm) 
d’ = 2,0 + 0,8 + 0,4 = 3,2cm ⇒ d = h – 3,2 (para lajes com h = 7cm) 
Para a verificação da seção de concreto e a determinação da área de aço necessária, será 
utilizada a tabela para flexão simples em seção retangular apresentada em PINHEIRO (1993), 
que se encontra como Tabela XIII no Anexo A. A Tabela 7.5 apresenta os resultados do 
dimensionamento para o E.L.U. das lajes da 2a opção de fôrma do projeto em estudo. 
Tabela 7.5 – Dimensionamento para o E.L.U. das lajes em estudo. 
Mk (kN.m) hinicial (cm) dinicial (cm) As,mín (cm2) Kc Ks As (cm2) 
-14,10 11 7,5 1,65 2,85 0,027 7,11
-11,96 11 7,5 1,65 3,36 0,026 5,80
-11,12 7 3,8 1,05 0,93 (0,031) (12,70)
6,90 11 7,5 1,11 5,82 0,025 3,22
6,32 13 9,5 1,31 10,20 0,024 2,24
-5,28 10 6,5 1,50 5,72 0,025 2,84
4,72 13 9,5 1,31 13,66 0,024 1,67
3,94 10 6,5 1,01 7,66 0,024 2,04
3,38 11 7,5 1,11 11,89 0,024 1,51
-2,54 7 3,8 1,05 4,06 0,025 2,34
1,69 10 6,5 1,01 17,86 0,024 0,87
1,66 7 3,8 0,70 6,21 0,024 1,53
1,31 7 3,8 0,70 7,87 0,024 1,16
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
151
Percebe-se que para o momento negativo de Mk = -11,12kN.m, não foi encontrado um valor 
satisfatório na Tabela XIII, que posicionasse a peça no domínio 3 ou no 2, logo temos que 
aumentar a altura dessa laje. Note também que a única área de aço que ficou abaixo da 
mínima foi a calculada para o momento de Mk = 1,69kN.m (As,mín=1,01cm2>As,calc=0,87cm2), 
portanto, para esse esforço solicitante será utilizada a área de aço mínima. 
Inicialmente, será determinada a armadura para todas as lajes, e depois serão feitas as 
correções necessárias, inclusive para as lajes L103 e L110. 
Partindo-se das áreas de aço calculadas, temos que determinar qual o melhor arranjo de 
armadura a ser utilizado na laje. Para isso a NBR 6118 (2004) define alguns critérios básicos 
de detalhamento. São eles: 
• As armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento 
durante a concretagem; 
• Para as armaduras principais: smáx ≤ 2 h; 
 20cm; 
• Para as armaduras secundárias: smáx ≤ 33cm; 
• As,secundária ≥ 20% As,principal. 
Além dessas,