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Estruturas de Concreto Armado I -Apostila de UFBA

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A 
ruína por cisalhamento deve ser evitada a qualquer custo, pois ela é frágil, não dá aviso de que 
há problemas na peça. 
Ao se carregar uma viga de concreto armado já são mobilizados, desde o início, tensões 
normais (flexão - σ) e tangenciais (cisalhamento - τ), cujas direções principais e trajetórias 
são apresentadas na Figura 8.20. 
 
Figura 8.20. Trajetórias das tensões principais de compressão e tração na peça não fissurada (SÜSSEKIND, 
1981). 
A forma como as tensões de cisalhamento se desenvolvem depende do tipo de peça e da 
solicitação. As vigas de concreto armado desenvolvem tensões de cisalhamento como as 
apresentadas na Figura 8.20. As sapatas e as lajes planas desenvolvem tensões de 
cisalhamento nas seções ao redor dos pilares, o que é denominado de punção; já as peças de 
volume, como os consolos, os blocos e as vigas-parede desenvolvem, basicamente, tensões de 
compressão; os pilares podem apresentar tensões de cisalhamento no plano da seção 
transversal quando submetidos a esforços horizontais (vento e terremoto), chegando inclusive 
à ruína devido a essas tensões. 
 
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Analogia de treliça 
Em 1964, Lobo Carneiro, apud SANTOS NETO (1977), escreve o seguinte: ”A chamada 
treliça clássica de Ritter-Mörsch foi uma das concepções mais fecundas na história do 
concreto armado. Há mais de meio século tem sido a base do dimensionamento das armaduras 
transversais – estribos e barras inclinadas – das vigas de concreto armado, e está muito longe 
de ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificações ou 
complementações na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre 
a viga de concreto armado, depois de fissurada, e a treliça”. 
As palavras de Lobo Carneiro continuam válidas até hoje. 
Mas afinal, o que é exatamente a analogia de treliça? 
A Analogia de Treliça, ou Analogia Clássica de Treliça, ou ainda Analogia Clássica de 
Mörsch é, como o texto de Lobo Carneiro diz, o estudo e dimensionamento das vigas de 
concreto armado fissuradas como se fossem treliças isostáticas. 
Segundo FUSCO (1981), “O comportamento de treliça não existe nas vigas fletidas desde o 
início de seu carregamento. No começo, o comportamento das vigas de concreto armado é 
muito semelhante ao das vigas de material homogêneo resistente à tração. À medida que o 
carregamento aumenta, ocorre uma mudança de comportamento, passando de comportamento 
de viga para comportamento de treliça. 
É muito importante salientar que o comportamento de treliça das peças fletidas de concreto 
armado é admitido apenas como simplificação do comportamento real. Na realidade, além do 
comportamento de treliça, existem outros fenômenos que contribuem para a resistência às 
forças cortantes, os quais somente podem ser explicitados por meio de modelos alternativos 
do comportamento resistente”. 
A Figura 8.21 apresenta o desenvolvimento da fissuração no ensaio de uma viga de concreto 
armado submetida à flexão, realizado por Sörensen, apud FUSCO (1981). 
As primeiras fissuras que aparecem são as de flexão, para aproximadamente 25% da carga 
última. São fissuras perpendiculares ao eixo da peça, e que surgem na região de momento 
fletor máximo, nesse caso na região central da viga. 
À medida que se aumenta o carregamento surgem outras fissuras de flexão e vão aumentando 
as já existentes. Depois, com o contínuo aumento das cargas, começam a surgir as fissuras 
diagonais, ou de cisalhamento. Quando se atinge um estado tal de fissuração, como o 
apresentado na Figura 8.21 para a carga última (P=142 kN), diz-se que a viga atingiu um 
estado limite último, ou chegou à ruína. 
Para a peça nesse estágio de fissuração podemos comparar a viga de concreto armado a uma 
treliça isostática, com banzos paralelos de tração e compressão (flexão) e diagonais 
tracionadas e comprimidas (cisalhamento) com inclinação de 135o e 45o, respectivamente, em 
relação ao eixo longitudinal da peça, como mostra a Figura 8.22. 
Por motivo de simplificação do modelo, costuma-se adotar a treliça de banzos paralelos, 
diagonais comprimidas à 45o e diagonais tracionadas à 90o, ou verticais, como indicado na 
Figura 8.23. 
 
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Figura 8.21. Ensaios de Sörensen. Evolução da fissuração (FUSCO, 1981). 
 
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Figura 8.22. Treliça clássica de Mörsch com diagonais de tração à 135o. 
 
Figura 8.23. Treliça clássica de Mörsch com diagonais de tração à 90o. 
Para a treliça da Figura 8.23, admite-se que o concreto resista às tensões de compressão do 
banzo comprimido e da diagonal comprimida, que é denominada de biela de compressão. As 
armaduras longitudinais serão dimensionadas para os esforços de tração do banzo tracionado 
e as armaduras transversais (estribos) serão dimensionadas para resistir aos esforços diagonais 
de tração, e serão posicionados na vertical, com inclinação de 90o com o eixo longitudinal da 
peça. As armaduras transversais devem ser sempre posicionadas com a mesma inclinação das 
diagonais tracionadas. 
Hipóteses básicas 
A treliça de Mörsch admite as seguintes hipóteses (Figura 8.24): 
• A treliça é isostática. Não há engastamento nos nós, ou seja, na ligação entre os 
banzos e as diagonais; 
• Os banzos tracionado e comprimido são paralelos; 
• A biela de compressão de concreto tem uma inclinação de 45o em relação ao eixo da 
peça. 
 
Figura 8.24 - Hipóteses da treliça clássica (FUSCO, 1981). 
 
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Imperfeições do modelo de treliça 
As investigações experimentais já realizadas mostraram que os efeitos das forças cortantes 
nas vigas de concreto armado não podem ser adequadamente avaliados por meio da analogia 
clássica da treliça. Isso se deve principalmente a três fatores: 
• A inclinação das fissuras é menor que a admitida por Mörsch; 
• Os banzos comprimido e tracionado não são paralelos. Existe o arqueamento do banzo 
comprimido, principalmente em direção aos apoios; 
• A treliça é altamente hiperestática. Existe o engastamento das diagonais de tração no 
banzo comprimido, já que este, assim como as bielas de compressão, possuem uma 
rigidez bem maior que as barras tracionadas. 
Para que essa avaliação seja possível, torna-se necessário adotar um modelo de cálculo que 
melhor interprete a realidade dos fenômenos. Os modelos de cálculo presentemente adotados, 
decorrentes de analogias generalizadas de treliça, atendem às necessidades práticas do 
dimensionamento das peças correntes de concreto estrutural. 
Em princípio, várias tentativas foram feitas no sentido de se estabelecer treliças hiperestáticas, 
com bielas diagonais de diferentes inclinações. Essas tentativas foram abandonadas face à 
complexidade de cálculo desses modelos. 
Por esta razão, como modelo teórico padrão de cálculo adota-se a treliça isostática, com 
banzos comprimido e tracionado paralelos, bielas inclinadas de 45o com o eixo da peça e 
diagonais tracionadas com inclinação entre 90o e 135o com o eixo da peça (Figuras 8.22 e 
8.23). Na prática, de maneira geral, adota-se a treliça com diagonais à 90o, ou seja, com 
armaduras transversais verticais. Sobre esses modelos são introduzidas algumas modificações 
para levar em conta as imperfeições. Essas modificações são descritas a seguir. 
Hipóteses modificadas para o cálculo 
Para o dimensionamento das peças ao esforço cortante serão admitidas as seguintes hipóteses: 
• Utilização da treliça isostática para a concepção do problema; 
• Decalagem do diagrama de esforços de valor al, com al variando entre 0,5d e d; 
• Banzos comprimido e tracionado paralelos, distantes entre si de um braço z, com 
d=1,15.z; 
• Consideração da contribuição do concreto na resistência à tração,