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Estruturas de Concreto Armado I -Apostila de UFBA

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como mostra a Figura 8.33. 
 
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Figura 8.33 – Tensões principais em barra cilíndrica submetida a torção simples (Leonhardt apud GIONGO & 
TOTTI, 1994). 
Observa-se, na Figura 8.33, que as tensões de tração ocorrem na direção da rotação da barra, e 
as de compressão na direção perpendicular à mesma, seguindo uma trajetória helicoidal e com 
tensões máximas ocorrendo nas faces externas da barra. A Figura 8.34 apresenta a variação 
das tensões em alguns tipos de seção. 
 
Figura 8.34 – Variação das tensões em seções retangulares, circulares e vazadas (Leonhardt apud GIONGO & 
TOTTI, 1994). 
A tensão de torção (τT) pode ser calculada pela expressão a seguir, que representa uma tensão 
tangencial, em que WT é o módulo resistente à torção da seção. 
t
T W
T=τ 
A distribuição das tensões de cisalhamento numa seção transversal pode ser visualizada 
usando-se da Analogia de Membrana ou da Analogia do “Monte de Areia”. 
Analogia de membrana 
A analogia de membrana é um procedimento perfeitamente elástico que associa as inclinações 
das tensões de cisalhamento provocadas pela torção às inclinações de uma membrana inflada. 
A tensão máxima em cada ponto da membrana é proporcional à tensão de cisalhamento neste 
 
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ponto, que age perpendicularmente à direção da inclinação máxima. Logo, o momento torçor 
é proporcional ao volume sob a membrana. Pode-se dizer, então, que as equações para as 
inclinações de uma membrana inflada são análogas às tensões de cisalhamento devido à 
torção. A Figura 8.35 apresenta um esquema da analogia de membrana. 
Analogia do monte de areia 
Essa analogia é perfeitamente plástica, e considera que as tensões de cisalhamento são 
constantes em todos os pontos, análogas às figuras que tenham inclinação constante: o cone 
para as seções circulares; e as pirâmides para as seções retangulares. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 8.35 – Analogia de membrana: (a) barra circular; (b) barra quadrada (MACGREGOR, 1984). 
Conclusões sobre as analogias 
Essas analogias, de membrana e do monte de areia, podem ser consideradas em separado para 
o concreto, apesar do mesmo ser um material elasto-plástico. Soluções baseadas nas duas 
analogias têm dado bons resultados em predizer o comportamento das peças sob torção. 
Viga de concreto armado submetida ao esforço cortante e ao momento torçor 
Quando uma peça está submetida a esforços de cortante e torçor, esses podem ser 
dimensionados separadamente e depois somam as duas contribuições, somando-se, também, a 
contribuição do momento fletor. Portanto, pode-se seguir o seguinte procedimento: 
Inclinação da superfície A
Buraco circular feito na placa 
Membrana 
Membrana 
Buraco quadrado feito na placa
 
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1) Dimensiona-se para o momento fletor: verifica-se o concreto na zona comprimida e 
determinam-se as armaduras longitudinais; 
2) Dimensiona-se para o esforço cortante: verifica-se o concreto para as bielas de 
compressão e determinam-se as armaduras transversais (estribos); 
3) Dimensiona-se para o momento torçor: verifica-se o concreto e determinam-se as 
armaduras longitudinais e transversais; 
4) Verifica-se o concreto para a ação conjunta do cortante e do torçor; 
5) Somam-se as armaduras longitudinais (fletor e torçor) e as transversais (cortante e 
torçor); 
6) Detalha-se a peça. 
A Figura 8.36 apresenta um esquema com as direções principais e o padrão de fissuração para 
uma viga submetida à torção pura e à ação combinada do cortante e da torção. 
 
(a) (b) 
Figura 8.36 – Tensões principais de tração e padrão de fissuração: (a) viga sob torção pura; (b) viga sob ação 
combinada do cortante e da torção (MACGREGOR, 1984). 
Tensões de cisalhamento 
Tensões de cisalhamento devido 
à torção 
Tensões principais 
Tensões de cisalhamento devido 
ao cortante 
Fissuração Fissuração
 
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Verificação da segurança 
A verificação da segurança de vigas de concreto armado submetidas a tensões tangenciais 
oriundas da torção é feita baseada no princípio de que a resistência do concreto à tração é 
desprezada. O momento torçor deve ser majorado do coeficiente de majoração das 
solicitações, que é adotado igual a 1,4, conforme indicação de norma. As condições de 
segurança devem atender: 
a) As tensões nas armaduras, calculadas supondo o concreto fissurado (Estádio II), não 
devem ultrapassar a resistência de cálculo das barras da armadura; 
b) As tensões de compressão no concreto, no Estádio II, devem ser limitadas a valores 
baixos, restringindo-se a uma parcela da resistência à compressão do concreto, pois nas 
diagonais surgem tensões secundárias elevadas. 
Dimensionamento à torção 
Existem duas teorias que são usadas no dimensionamento de peças de concreto armado: 
a) “Skew Bending Theory” (Teoria do Parafuso): Lening – ACI 
· Concreto resiste à parte do cortante e da torção; 
· Seções vazadas ou cheias são tratadas como cheias. 
b) Analogia de Treliça Plástica Espacial: Lampert et al – CANMET, CEB, NBR 
· Similar a Analogia de treliça de Mörsch; 
· Concreto resiste à parte do cortante, apenas; 
· Seções vazadas ou cheias são tratadas como vazadas. 
Para a analogia de treliça plástica espacial, o mecanismo resistente da peça é tal que os 
esforços de tração são absorvidos pela armadura transversal, pois, as treliças, que se formam 
nas faces da viga (Figura 8.37), não possuem banzos comprimidos inclinados e também não 
possuem diagonais comprimidas com inclinação menor do que 45º, a exemplo do que se fez 
para o mecanismo resistente para a força cortante. 
 
Figura 8.37 – Torção simples – modelo de uma seção cheia fissurada (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI, 
1994). 
 
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Para o modelo de cálculo, pode-se trabalhar com duas treliças espaciais: (a) com armadura 
inclinada de 45º (Figura 8.38); (b) ou com armaduras perpendiculares e paralelas ao eixo da 
peça (Figura 8.39). 
 
Figura 8.38 – Treliça com armadura inclinada de 45º (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI, 1994). 
Na Figura 8.38, na seção transversal representada pelo corte transversal passando pelo plano 
I-I, se for feita a análise do equilíbrio do esforço externo (T) e do esforço interno, tem-se: 
2.b
T
RR
2
R
2
R
bT
w
cwsw
cwsw
w
==
ú
û
ù
ê
ë
é
+=
 
E a tensão no concreto é calculada pela expressão: 
t.A.2
T
t
R
c
cw
c ==s 
Em que t é a espessura da parede da seção vazada associada à seção real da viga. 
 
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Figura 8.39 – Torção simples – armadura perpendicular e paralela ao eixo (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI, 
1994). 
O arranjo de armadura constituído por barras dispostas longitudinalmente e distribuídas ao 
longo do perímetro dos estribos, e por estribos perpendiculares ao eixo da viga, é o mais 
indicado. Pois, as barras longitudinais têm a sua área da seção transversal calculadas para 
absorver também as tensões normais oriundas da flexão e os estribos, também, têm sua área 
definida em função das tensões tangenciais devido à flexão. Além disso, esse arranjo facilita a 
execução da viga na obra, em contraposição às armaduras helicoidais que exigem maior 
dispêndio de mão-de-obra. 
A análise dos esforços internos e tensões é feita considerando como modelo resistente a 
treliça da Figura 8.39, que é constituída por barras longitudinais tracionadas, barras 
perpendiculares também tracionadas e diagonais comprimidas. A Figura 8.40 apresenta o 
arranjo das armaduras. 
Determinação da seção vazada equivalente 
O valor da tensão tangencial de torção (tT), admitindo uma