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Borzani, V. Biotecnologia Industrial Vol. 2  1ª Ed.

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das fronteiras geométricas; 
• difusão através das fronteiras geométricas; 
• transporte através das fronteiras entre fases; 
• consumo dentro do volume de controle (geralmente morte celular ou con-
sumo de substratos). 
Dessa forma, para um processo fermentativo homo§êneo, as equações de ba-
lanço podem ser escritas na seguinte forma generalizada: 5 
1 d (Vy) 
--- = Lrger - Lrcons + Dye - yDy 
v dt 
onde: V ... volume de controle; 
y ... concentração da variável de estado no biorreator; 
(7.1) 
r ger ... velocidades de 9eração do componente representado pela variável de 
estado; 
rcons ... velocidades de consumo do componente representado pela variável 
de estado; 
D ... vazão específica de alimentação; 
Ye ... concentração na alimentação; 
r ... relação entre a vazão de alimentação e de retirada do biorreator. 
Em função dos balanços de conservação de massa, os modelos matemáticos 
fenomenológicos de processos fermentativos podem ser constituídos pelos seguin-
tes tipos de equações: 
• equações algébricas: neste caso, os modelos representam apenas os estados 
estacionários de sistemas homogêneos; 
• equações diferenciais ordinárias: neste caso, os modelos representam o compor-
tamento dinâmico de sistemas homogêneos ou os estados estacionários de 
sistemas heterogêneos numa única direção do espaço; 
• equações diferenciais parciais: neste caso, os modelós representa!TI o compor-
tamento dinâmico de sistemas heterogêneos. 
13 2 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
7.2.2.2 - Identificação do sistema de reações metabólicas 
Inicialmente, para a construção das equações de balanço de massa do pro-
cesso e posteriormente na elaboração das equações cinéticas, que representam a 
influência das variáveis de estado nas suas velocidades de geração e de consumo, 
é fundamental identificar o sistema de reações metabólicas inerente ao processo 
em estudo.16'17 Por sistema de reações metabólicas entende-se o conjunto simplifi-
cado de reações que permite correlacionar os substratos consumidos aos produtos 
gerados (entre os quais está incluída a população microbiana). 
Considere-se, a título de exemplo, um processo fermentativo no qual foram 
identificadas, a partir de um conjunto de experimentos realizados, 6 variáveis de 
estado: a concentração celular (X), as concentrações de 3 substratos (51, 52 e S3) e 
as concentrações de 2 produtos (P1 e P2). Pode-se formular 3 proposições de mo-
delo de reações metabólicas, conforme indicado a seguir. 
Proposta 1 
Nesta proposta assume-se que o substrato 51 é consumido pela população 
microbiana para crescer e, juntamente com o substrato 52, produzir o produto me-
tabólico P1; o substrato 53 é consumido pela população microbiana para produzir o 
produto P2• Os parâmetros k1 a k4 representam os coeficientes estequiométricos 
desse sistema de reações metabólicas, que é ilustrado a seguir: 
k1S1 ~X 
kzSl + k3S2 ~ P1 
k4S3~P2 
Nas propostas 2 e 3, detalhadas a seguir, são apresentadas outras duas alter-
nativas para o sistema de reações metabólicas representativas do processo. 
Proposta 2 
Proposta 3 
k1S1 + k2S2 ~X 
k3S1 + k4 S2 + ksS3 ~ P1 
k6S3~P2 
k1S1 + k2S2 + k3S3 ~X 
k4S1 + k5S2 ~ P1 
k6S3~P2 
• 
Para as 3 propostas de modelo de reações metabólicas elaboram~se. os balan-
ços para os 3 substratos. 
FOill1Uiação dos modelos matemáticos de processos fermentativos I 3 3 
Proposta 1: 
dS 1 1 dX 1 dP1 
-=--------- (7.2) 
dt Y x/51 dt Y Pl/51 dt 
dS2 . 1 dP1 
-=----
(7.3) 
dt YPl/52 dt 
dS3 1 dP2 
-=----
(7.4) 
dt YP2/S3 dt 
e integrando as eqs. (7.2) a (7.4) do instante "O" até o instante "i" correspondente a 
um ponto experimental, obtém-se: 
Proposta 2: 
dS 1 1 dX 1 dP1 
-=---------
(7.8) 
dt Y x/51 dt Y P1/51 dt 
dS 2 1 dX 1 dP1 
-=---------
(7.9) 
dt Y x/52 dt Y Pl/52 dt 
dS3 1 dP1 1 dP2 
-=--------
(7.10) 
dt Y Pl/53 dt Y P21S3 dt 
e integrando, novamente, .as eqs. (7.8) a (7.10) do instante "O" até o instante "i" 
correspondente a um ponto experimental, obtém-se: 
·'~ i 
134 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
Proposta 3: 
dS 1 1 dX 1 dP1 
-=---------
dt Y x/ 51 dt Y Pl/ 51 dt 
(7.14) 
dS 2 , 1 dX 1 dP1 
-=---------
dt Y x/ 52 dt Y Pl/52 dt 
(7.15) 
dS3 1 dX 1 dP2 
-=--------
dt Y X/ 53 dt Y P2/ 53 dt 
(7.16) 
e integrando, mais uma vez, as eqs. (7.14) a (7.16) do instante "O" até o instante "i" 
correspondente a um ponto experimental, obtém-se: 
Para cada proposta e para cada uma das 9 eqs . lineares (7.5) a (7.7), (7.11) a 
(7.13) e (7.17) a (7.19), obtidas para as 3 propostas de modelo metabólico formu-
ladas, calcula-se a regressão linear ou multilinear, dependendo do caso, obten-
do-se os coeficientes de correlação para cada ensaio e para o conjunto de ensaios 
disponíveis. Escolhe-se, como a mais apropriada, a proposta que apresenta o me-
lhor conjunto de coeficientes de correlação, analisando as duas situações (por en-
saio e global) . · 
Formulação dos modelos matemáticos de processos fermentativos I 3 5 
EXEMPLO NUMÉRICO 
Será desenvolvido ao longo deste capítulo, como estudo da modelagem ma-
temática de processos fermentativos, a modelagem do processo de produção de 
etanol a partir de hidrolisado de mandioca. 18'19 
Nesse processo foram identificadas 3 variáveis de estado: a concentração de 
leveduras (X), a concentraçã9 de etanol (P) e a concentração de substrato limitan-
te, a glicose de hidrolisado do amido de mandioca (S). São apresentados na Tabela 
7.1 os dados experimentais obtidos em 4 ensaios realizados no laboratório, num 
biorreator operado em batelada, partindo de diferentes concentrações iniciais de 
açúcares redutores.' Observe-se que esses dados experimentais foram ligeiramente 
modificados, em relação aos originais (reportados nos trabalhos referenciados), 
com o intuito de tornar mais didáticos alguns aspectos dos exemplos apresentados 
ao longo deste capítulo. 
EXEMPLO NUMÉRICO-ETAPA 1 
Considerem-se duas propostas de modelo de reações metabólicas para re-
presentar o processo em estudo: 
Proposta 1: k 1S~ X 
k 1S~P 
Nessa primeira proposta, considera-se que a glicose é consumida pela leve-
dura para crescer e para produzir etano!. 
Proposta 2: k3S ~ P 
Nessa segunda proposta, as leveduras não consomem glicose para o seu 
crescimento (crescem a partir de outra fonte de carbono não limitante no processo 
e portanto não incluída como variável de estado caso, por exemplo, do extrato de 
levedura). ·. 
Elaborando os balanços de massa do substrato S para as 2 propostas de mo-
delo metabólico, obtém-se: 
Proposta 1: ó.S = -aflX: - MP 
Proposta 2: ó.S =-eM 
Realizando a regressão multilinear para ó balanço de massa obtido com a 
Proposta 1 e a regressão linear para a Proposta 2 com os dados experimentais 
apresentados (Tab. 7.1), obtém-se o resultado sintetizado na Tabela 7.2. Essas 
regressões são realizadas considerando, em cada instante de tempo "i", o subs-
trato consumido e as células e produto produzidas desde o instante "O" até o 
instante " i" . 
136 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
Tabela 7.1 - Dados experimentais(•) do processo de produção de etano! a partir de hidrolisado de mandioca-
Exemplo numérico. 
Ensaio 1 Ensaio 2 
t (h) X (g/L) p (g\L) S (g/L) t (h) X (g/L) p (g/L) S (g/L) 
0,0 0,378 1,92 20,8 0,0 0,845 2,44 85,1 
1,0 0,652 2,54 17,6 1,0 1,08 2,88 76,8 
2,0 1,17 3,54 14,8 2,0 ' 1,88 3,54 76,3 
3,0 1,54 4,65 10,3 3,0 2,98 5,34 74,8 
4,0 1,84 5,96 5,80 4,0 3,92 7,52 56,9 
5,0 2,36 6,64. 2,34 5,0 5,77 10,5 42,2 
6,0 2,20 7,19 0,512 6,0 7,14 17,6 28,8 
7,0 2,23 6,74 0,088 7,0 10,6 22,8 7,65 
8,0 10,3 24,7 0,198 
9,0 7,70 24,4 0,002 
Ensaio 3 Ensaio 4 
t (h) X (g/L) p (g/L) S (g/L) t (h) X (g/L) p (g/L)