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Borzani, V. Biotecnologia Industrial Vol. 2  1ª Ed.

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específica de crescimento, utilizando-se um dos 
três métodos descritos a seguir: 
Método de ajuste polinomial. Ajusta-se um polinômio de grau n no tempo aos 
valores de X disponíveis, obtendo-se, desta forma, a função de X com o tem-
po. Análises visuais e quantitativas (através do coeficiente de correlação) de-
finem o grau do polinômio a ser ajustado. Obtido o polinômio, sua derivada 
fornece os valores da velocidade de crescimento, permitindo o cálculo das 
velocidades específicas no instante.23 
Método "spline". Existem diferentes métodos ditos "spline" na literatura téc-
nica. Um dos métodos "spline" que pode ser empregado ajusta um polinô-
mio de grau n a um intervalo de dois pontos de X, incorporando um número 
de pontos "à frente" do intervalo a ser definido; além disto, o método obriga 
a que a derivada do polinômio _ajustado no intervalo anterior seja igual à de-
rivada do polinômio ajustado no novo intervalo, no ponto de intersecção 
(característica dos métodos "spline"). Através de testes visuais define-se o 
grau do polinômio a ser ajustado, bem como o número de pontos "à frente" 
incluídos no ajuste.24 
Método geométrico. Esse método calcula a circunferência que passa por três 
pontos (o valor de X correspondente ao instante de tempo no qual se quer 
calcular a velocidade de crescimento, o anterior e o posterior). A derivada é 
calculada pela tangente à circunferência no ponto25 -vide; neste mesmo vo-
lume, o Adendo ao Capítulo 6: Cinética de Processos Fermentativos . 
Para o cálculo das velocidades específicas de geração de produtos meta-
bólicos, utiliza-se um procedimento semelhante ao descrito para o cálculo da 
velocidade específica de crescimento. É .evidente que, quando a geração do 
produto não é totalmente associada ao crescimento, não é possível realizar as 
etapas (a) e (b) descritas para o crescimento, na m~dida em que não existe 
uma fase de produção exponencial. 
140 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
EXEMPLO NUMÉRICO-ETAPA 2 
Será exemplificado o cálculo da velocidade específica de crescimento para o 
Ensaio 1, cujos dados foram fornecidos na Tabela 7.1. Sendo que 'o Ensaio 1 é, dos 
quatro ensaios fornecidos, aquele em que a quantidade de produto formada é me-
nor, será também o ensaio com possibilidade de apresentar o mais próximo de 
uma fase exponencial de crescimento. A seguir, serão aplicadas as três etapas des-
critas anteriormente para o cálculo da velocidade específica de crescimento. 
(1) Determinação da fase exponencial de crescimento- regressão linear dos 
dados de (ln X) vs. (t)- Figura 7.2. 
Ensaio 1 
• • • • 0,5 • 
o ? 
>< 
.f: t/' 4 6 8 -0,5-
-1 -i y = 0,5649 X- 0,9795 
R2 = 0,9996 
-1,5 
Tempo (h) 
Figura 7.2 - Definição da fase exponencial de crescimento para o Ensaio I (X= concentração celular em g/L) . . 
Para a definição da fase exponencial de crescimento assumiu-se que ela tem 
início no instante t =O h, na medida em que o Ensaio 1 foi realizado com 50 baixo, 
portanto, sem inibição pelo substrato. Assumiu-se também como desprezível a fase 
de adaptação. . 
·A Tabela 7.3 apresenta o resultado da determinação da fase exponencial de 
crescimento. 
• 
Tabela 7.3 - Resultados da determinação da fase exponencial de crescimento para o Ensaio I (Tabela 7. I). 
Duração da fase exponencial llm (h-1) R (h) 
2 0,565 0,9998 
3 0,480 0,989 
4 0,402 0,975 
Pelos resultados apresentados na Tabela 7.3, é evidente que uma possível 
fase exponencial para o Ensaio 1 tem a duração de 2 h e uma estimativa preliminar 
de flm é 0,565 h-1. . 
Formulação dos modelos matemáticos de processos fermentativos 14 I 
(2) Determinação da curva de (X) vs. (t), obtendo-se um melhor detalhamen-
to ao longo da fase exponencial, utilizando sua definição (regressão linear) obtida 
na etapa anterior. O gráfico de (X) vs. (t) é apresentado na Figura 7.3 . 
3 
2,5 
:::J 2 
::9 1,5 
>< 1 
0,5 
o 
o 2 4 6 8 
Tempo (h) 
Figura 7.3 - Gráfico de X em função do tempo, onde ( •) representa, além dos valores experimentais, os valores 
obtidos da definição da fase exponencial (Fig. 7.2) e(-) representa a curva traçada visualmente. 
(3) A partir dos dados de (X) vs. (t) obtidos com base na curva traçada na Fi-
gura 7.3, é obtido o gráfico de (J..l) vs. (t), utilizando o método geométrico, descrito 
anteriormente, utilizando a planilha apresentada no Adendo ao Capítulo 6 deste 
volume. A Figura 7.4 apresenta o resultado dos valores de Jl calculados, verifi-
cando-se a concordância da fase exponencial previamente definida, com o valor 
de Jl = Jlm (patamar da Fig. 7.4). 
0,7 
0,6 
0,5 
:€ 0,4 
..--
··-:( 0,3 
0,2 
0,1 
o 
o 2 4 6 8 
Tempo (h) 
Figura 7.4 - Gráfico da velocidade específica de crescimento calculada a partir da curva de X (Fig. 7 .3) utilizando o 
Método Geométrico2s. 
Identificação dos fenômenos. 
Nessa etapa busca-se definir os principais fenômenos que interferem no pro-
cesso produtivo em análise: limitações e inibições por substratos, principalmente 
no que se refere à existência e ao número de substratos limitantes e/ ou inibidores, 
tipo de produto gerado- existência ou não de associação com o crescimento, entre 
outros. 
142 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
Uma vez obtidos gráficos que permitem analisar o comportamento das velo-
cidades específicas de crescimento, de geração de produto metabólico e de consu-
mo de substratos, é possível identificar os principais fenômenos él serem incluídos 
na construção de um modelo matemático não estruturado de processos fermenta-
tivos. O Quadro 7.1 sintetiza os modelos cinéticos mais empregados para repre-
sentar os fenômenos comumente identificados em processos fermentativos, alguns 
dos quais já foram abordados em detalhe no Capítulo 6: Cinética de Processos Fer-
mentativos. 
EXEMPLO NUMÉRICO- ETAPA 3 
Com o intuito de exemplificar a identificaçãb dos fenômenos, necessária à 
construção do modelo matemático, será identificado qual tipo de inibição do cres-
cimento celular pelo produto (etanol) ocorre na fermentação alcoólica utilizada 
como caso estudo neste Capítulo. A Tabela 7.4 apresenta os dados de f.lx e P obti-
dos (por interpolação) para os ensaios definidos na Tabela 7.1, no instante em que 
a quantidade de 5 residual no biorreator é igual para todos os 4 ensaios - foram 
consideradas duas situações 5 = 20,0g/L e 10,0 g/L. 
Quadro 7 .I - Modelos cinéticos não estruturados, descritos na literatura, para representação 
de diversos fenômenos identificados em processos fermentativos. 
(1) Crescimento num único substrato limitante: 
(MONOD)26 (7.20) 
(MOSER)27 (7.21) 
• 
(CONTOIS)28 (7.22) 
(2) Morte celular: 
f.lct = -Kd (SINCLAIR; KRISTIANSEN)15 (7.23) 
(3) Crescimento num único substrato limitante e inibidor: 
f-laS 
f-l x = . 2 
5 K +5+-
s K -
• 
(ANDREWS/9 (7.24) 
Formulação dos modelos matemáticos de processos ferrnentativos 143 
Quadro 7 .I - (continuação) 
(WU et al/0 (7.25) 
(4) Crescimento com múltiplo substrato limitante (uso preferencial de 51): 
J.l = J.lm15 1 + J.lm25 2 (DUNNETetal.).31 (7.26) 
X K 5 52 
si + 1 1 
Ks2 +52+-
Ki 
(5) Crescimento com múltiplo substrato limitante (uso simultâneo de 51 e 
(MEGEE et al.)32 (7.27) 
(TSAO; HANSON)33 (7.28) 
(6) Consumo do substrato limitante para manutenção: 
(PIRT)34 (7.29) 
1 5 -5* 
=-- +m +Ll max ----
J.l s Y x/ s J.l X s J.l s K * + 5 - 5 * 
(ZENG; DECKWER)35 (7.30) 
(7) Produção de produto metabólico associado e não associado 
ao crescimento: 
(LUEDEKING; PIRET modificado)36 (7.31) 
144 · Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
Quadro 7.1 -(continuação) 
(8) Produção de produto metabólico inibitório: 
(7.32) 
I s K' 
f.l =~ p 
P K'+SK'+P s p 
(AIBA; SHODA)37 (7.33)