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Borzani, V. Biotecnologia Industrial Vol. 2  1ª Ed.

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função resíduo 
apresenta · diversos valores mínimos, que atraem a solução do método 
de regressão empregado, dificultando a convergência para o mínimo 
absoluto; 
• a própria escolha da função objetivo mais adequada (mínimos quadrados, 
máxima verossimilhança, etc.); 
• interação entre parâmetros, o que pode levar a grandes intervalos de con-
fiança dos parâmetros. 
Este último problema é ainda mais acentuado quando o modelo contém ex-
pressões hiperbólicas, e este é freqüentemente o caso em processos fermentativos 
-por exemplo, modelos derivados da expressão de MONOD.49 
Entre os métodos disponíveis para resolver problemas de ajuste de parâme-
tros por regressão não-linear podem ser citados:50'51 
• Métodos de ordem "0". Métodos que não exigem o cálculo das derivadas 
das EDO em relação aos parâmetros do modelo. O método de ordem "O" 
mais utilizado é o de Nelder & Mead ou método dos poliedros flexíveis. 
• Métodos de 1." ordem. Métodos que necessitam do cálculo das derivadas das 
EDO em relação aos parâmetros do modelo. Os métodos de 1.• ordem 
mais conhecidos são os de Gauss-Seidel, Gradiente e Marquardt,52 sendo 
este último o mais empregado no ajuste de parâmetros de modelos mate-
máticos pela sua alta eficiência computacional. 
Entretanto, o método de Nelder & Mead tem se mostrado mais efetivo em 
comparação ao método de Marquardt, quando o número de parâmetros a serem 
estimados é muito grande, casó c:,ios modelos matemáticos de processosfermenta-
tivos. Por es~e motivo, será detalhado apenas o método de Nelder & Mead de oti-
mização para estimativa de parâmetros por regressão não linear. • 
7.3.3.1 - Métodos dos poliedros flexíveis (NELDER & MEAD?' 
Há muito tempo sabe-se que determinar o mínimo de funções de n variáveis 
pelo conceito mais simples- caso do estabelecimento de uma rede de pontos em 
e e valorando-se a função em cada ponto desta rede, ou a busca de um mínimo 
através de movimentos randômicos - é extremamente ineficiente. O método de 
Nelder & Mead é um método simplex geométrico flexível, conhecido como o mé-
todo dos poliedros flexíveis. O método dos poliedros flexíveis minimiza uma fun-
ção de n variáveis independentes, usando (n+l) vértices de um poliedro no espaço 
En ~ Cada vértice é definido por um vetor x (neste caso, por um conjunto de parâ-
metros). O vértice em e que fornece o maior valor da função objetivo (neste caso 
o maior resíduo entre as variáveis calculadas e as variáveis experimentais) é proje-
tado através do centro de gravidade dos vértices remanescentes. Melhores (meno-
res) valores da função objetivo são obtidos, substituindo, sucessivamente, o ponto 
com maior valor de f(x) por pontos melhores, até se obter o mínimo de f(x). 
Ajuste de parâmetros do modelo formulado I 59 · 
Sejam: 
i=1, ... ,n+1 
i-ésimo vértice em e no k-ésimo estágio da busca 
f [!~k) ] valor da função objetivo no vértice <k) 
!~~)2 centro de gravidade de todos os vértices excluído !hk) 
x<k) . =_!_~(~x~k))-x<~>] j = 1, ... 'n 
-n+2,] n L. IJ hJ 
i=l 
(7.68) 
onde o índice "j" designa cada coordenada do vértice. 
O procedimento para obter um vértice em En no qualf(x) tem um valor "me-
lhor", envolve 4 operações descritas a seguir. 
(1) Reflexão: Refletir !hk) através do centro de gravidade !~~)2 
x<k) = x<k) +a(x(k) - x<k)) 
-n+3 - n+2 -n+2 -h 
(7.69) 
onde a > O ... é o coeficiente de reflexão. 
x<k) =x(k) +y(x(k) -x(k)) 
-n+4 - n+2 -n+3 -n+2 
(7.70) 
onde y > 1 ... é o coeficiente de expansão. 
Se f [!~:_>4 ]<f [!\k) 1 substituir!~) por !~l4 e continuar do passo (1) com k = 
k+l. Caso contrário, substituir!~) por !~l3 e continuar do passo (1) com k = k+l. 
I 60 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
(3) Contração: Se f [!~:)3 ]>f [!~k) 1 para todo i =t h, contrair o vetor (!hk) - !~:)2 ), cal-
culando: 
x(k) = x(k) + A(x(k) _ x(k) ) 
-n+S -n+2 1-' -h -n+2 
(7.71) 
onde O < p < 1 ... é o coeficiente de contração. 
Substituir !hk) por !~:ls e continuar do passo (1) com k = k+l. 
( 4) Redução: Se /[!~:!3 ]> /[!hk)] reduzir todos os vetores (!~k) - !\k) ), i = 1, 2, ... , 
n+1, por um fator de meio, a partir de !\k), calculando: 
x\k) =x(k) +0 S(x\kl -x(k)) i= 1, ... , n+1 
-1 -1 I -1 -1 
(7.72) 
e continuar do passo (1) com k = k+l. 
O critério usado por Nelder & Mead para término da busca, consiste em ve-
rificar se: 
(7.73) 
isto é, a convergência ocorre se a raiz quadrada da média dos quadrados das dife-
renças entre a função objetivo calculada em cada vértice e a função objetivo calcula-
da no centro de gravidade for menor que um determinado valor s. A Figura 7.14 
apresenta um fluxograma que ilustra a aplicação do método dos poliedros flexíveis 
para a solução de um problema de otimização. 
Os valores de a, p e y recomendados por Nelder & Mead são: a = 1, p = 0,5 e 
y = 2. Na prática observa-se, entretanto, que seria necessário ajustá-los caso a caso. 
PICCOLI et al. 53 estabeleceram os seguintes valores ao ajustar modelos com 9, 13 e 
24 parâmetros: a= 1,0, p = 0,8 e y = 1,5. 
Trabalho recente de AUGUSTO et al.47 buscou comparar a aplicação do méto-
do de regressão não-linear sem cálculo de derivadas (poliedros flexíveis de Nelder 
& Mead), e com cálculo de derivadas (Marquardt), ao ajuste dos parâmetros de 
dois modelos de processos fermentativos. Para um processo descontínuo de cres-
cimento microbiano com um único substrato limitante e inibitório (modelo com 4 
parâmetros), a metodologia de Marquardt levou a um ajuste satisfatório para um 
maior número de casos (por "caso" entendem-se diferentes formas de cálculo do 
resíduo e diferentes estimativas iniciais dos parâmetros) em relação ao método 
dos poliedros flexíveis; no que se refere ao tempo de processamento, o método de 
Marquardt, como era de se esperar, mostrou ser muito mais eficiente na grande 
maioria dos casos testados. Para um processo que, além dos fenômenos descritos 
no caso anterior, apresenta também a formação de um produto metabólico asso-
ciado e não associado ao crescimento, e que inibe o processo (modelo com 8 parâ-
Ajuste de parâmetros do modelo formulado I 6 I 
metros), quando a mesma forma de cálculo dos resíduos for empregada, o método 
dos poliedros flexíveis produziu um maior número de ajustes satisfatórios em re-
lação ao método de Marquardt. Como os modelos matemáticos de processos fer-
mentativos têm, geralmente, um número de parâmetros maior do que 8, a metodo-
logia apresentada para ajuste, por regressão não linear, dos parâmetros (poliedros 
flexíveis), está de acordo com este resultado. 
Substituir o pior vértice 
pelo vértice da reflexão 
N 
maior F.O. = Pior vértice 
menor F. O. = Melhor vértice 
Parâmetro 
0,1 <Beta< 0,9 
Figura 7.14 - Fluxograma ilustrativo do método dos poliedros flexíveis 
Um aspecto que se tem mostrado crucial no ajuste de parâmetros por dife-
rentes métodos de regressão não linear é o da definição da função objetivo, isto é, 
16 2 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
a forma de calcular o resíduo entre os valores calculados pelo modelo e os valores 
experimentais.54 A Tabela 7.6 apresenta várias formas possíveis para o cálculo dos 
resíduos entre os valores calculados e os valores experimentais indicando, quando 
for o caso, os problemas observados quando da sua utilização. Na Tabela 7.6 são 
indicadas as fórmulas para cálculo dos resíduos que apresentaram melhores resul-
tados. Sabe-se, entretanto, que a melhor fórmula para cálculo do resíduo depende 
do método de ajuste e também da estimativa inicial dos parâmetros empregada. 
Tabela 7.6 - Diferentes fórmulas para cálculo dos resíduos . 
Número Fórmula de cálculo Problemas na utilização 
1 R= LÜli -yY Variáveis com elevado valor ab-i soluto privilegiadas no ajuste. 
( - r Tendência a ajustar melhor as va-R = L __jfj__