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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Questa˜o 1 (2.5 pt) Determine o conjunto soluc¸a˜o de: a) (1.3 pt) |2x+ 1| = x b) (1.2 pt) x(4 − x)− 8 < ( −1 2 )2 . Soluc¸a˜o: a) Sabemos que para y e a reais, |y| = a ⇔ (y = a ou y = −a) e a ≥ 0 (Teorema 1 do EP9). Desta forma, tomando y = 2x+ 1 e a = x, temos que |2x+ 1| = x ⇐⇒ (2x+ 1 = −x ou 2x+ 1 = x) e x ≥ 0 ⇐⇒ (3x = −1 ou x = −1) e x ≥ 0 ⇐⇒ ( x = −1 3 ou x = −1 ) e x ≥ 0. Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o S, da equac¸a˜o |2x+ 1| = x, e´ o conjunto vazio. Isto e´, S = ∅. b) Temos que x(4− x)− 8 < ( −1 2 )2 ⇐⇒ 4x− x2 − 8 < 1 4 ⇐⇒ −x2 + 4x− 8− 1 4 < 0 ⇐⇒ −x2 + 4x− 32 4 − 1 4 < 0 ⇐⇒ −x2 + 4x− 33 4 < 0 Vamos chamar y de −x2 + 4x− 33 4 , isto e´, y = −x2 + 4x− 33 4 . Me´todos Determin´ısticos I AP2 2 Lembremos que o gra´fico de y = −x2 + 4x− 33 4 e´ uma para´bola. Vamos, enta˜o, estudar o sinal da ordenada y da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela tem a concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo. Ale´m disso, quando y = 0, isto e´, quando −x2+4x− 33 4 = 0, usando Bhaskara, temos que ∆ = (4)2−4(−1) ( −33 4 ) = −17 < 0, o que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo x. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola e´ ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( − 4 2(−1) ,− (−17) 4(−1) ) = ( 2,−17 4 ) . A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na Figura 1. Nele, observamos que para qualquer x real, o ponto (x, y) da para´bola, tem o y negativo. Dessa forma, y = −x2 + 4x− 33 4 < 0, para todo x ∈ R. E consequentemente, x(4− x)− 8 < ( −1 2 )2 , para todo x ∈ R. - - - 2 x - 17 4 y Figura 1: Questa˜o 1-b) Questa˜o 2 (1.5 pt) Determine o(s) valor(es) de x de modo que a distaˆncia entre o ponto A = (x, 2) e ponto B = (1,−1) seja igual a 5. Soluc¸a˜o: Sabendo que a distaˆncia entre dois pontos P = (x1, x2) e Q = (y1, y2), denotada por d(P,Q), e´ dada por d(P,Q) = √ (y1 − x1)2 + ( y2 − y1)2 e que nesta questa˜o a distaˆncia entre os pontos A = (x, 2) e B = (1,−1) e´ igual a 5, temos que d(A,B) = 5 ⇐⇒ √ (x− 1)2 + (2− (−1))2 = 5 ⇐⇒ √ (x− 1)2 + (2 + 1)2 = 5 ⇐⇒ (√ (x− 1)2 + (3)2 ) 2 = (5)2 ⇐⇒ (x− 1)2 + (3)2 = 25 ⇐⇒ x2 − 2x+ 1 + 9 = 25 ⇐⇒ x2 − 2x− 15 = 0 ⇐⇒ x = 2± √ 4 + 60 2 ⇐⇒ x = 5 ou x = −3. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 3 Portanto, a distaˆncia entre A e B e´ igual a 5, quando x = 5 ou x = −3. Questa˜o 3 (1.5pt) Considere a func¸a˜o f(x) = √ x+ 5 + 1 2− x . a) (0.7 pt) Determine o dom´ınio de f na forma de um intervalo ou de uma unia˜o de intervalos. b) (0.8 pt) Calcule o valor de f(4)− f(−1). Soluc¸a˜o: a) Observe que f e´ a soma de uma raiz quadrada com um quociente. Desta forma, precisamos que tanto a raiz quadrada, quanto o quociente, estejam bem definidos. Sabemos que uma raiz quadrada esta´ bem definida quando o radicando (o que esta´ dentro do s´ımbolo de raiz) e´ maior ou igual a zero. Por outro lado, um quociente esta´ bem definido quando o denominador do quociente e´ diferente de zero. Desta forma, dom´ınio D de f e´ formado pelos valores de x ∈ R que satisfazem x+ 5 ≥ 0 e 2− x 6= 0. Como x+ 5 ≥ 0⇐⇒ x ≥ −5 e 2− x 6= 0⇐⇒ x 6= 2, segue que D = [−5, 2) ∪ (2,∞). b) f(4)− f(−1) = √4 + 5 + 1 2− 4 − (√−1 + 5 + 1 2− (−1) ) = √ 9− 1 2 − (√ 4 + 1 3 ) = 3− 1 2 − 2− 1 3 = 1− 1 2 − 1 3 = 6− 3− 2 6 = 1 6 Questa˜o 4 (2.5 pts) : Considere a func¸a˜o de demanda D(P ) = −P 2 + 16 e a func¸a˜o de oferta Q(P ) = 5P − 8 de um determinado produto, em que 8 5 ≤ P ≤ 4. a) (1.5 pt) Num mesmo sistema de eixos coordenados, esboce os gra´ficos das curvas de demanda e de oferta, especificando claramente cada uma delas. b) (1.0 pt) Determine o prec¸o de equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 4 Soluc¸a˜o: a) D e´ uma func¸a˜o quadra´tica e Q e´ uma func¸a˜o linear afim. Desta forma, o gra´fico de D e´ representado por uma para´bola e o gra´fico de de Q por uma reta. Para D: a para´bola tem concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de P 2 e´ negativo. Lembremos ainda que e´ necessa´rio, no m´ınimo, treˆs pontos, para que uma para´bola esteja bem determinada. Neste caso, vamos determinar os pontos de intersec¸o˜es da para´bola como os eixos coordenados e seu ve´rtice. Temos assim, que • P = 0⇐⇒ D(0) = −(0)2 + 16 = 16. Portanto, a para´bola intercepta o eixo y = D no ponto (0, 16). • D = 0⇐⇒ −P 2 − 16 = 0⇐⇒ P 2 = 16⇐⇒ P = ±√16⇐⇒ P = ±4. Portanto, a para´bola intercepta o eixo x = P nos pontos (−4, 0) e (4, 0). • O ve´rtice (Pv,Dv) da para´bola tem coordenadas Pv = −4 + 4 2 = 0 e Dv = −(0)2 + 16 = 16. Para Q: Para determinar o gra´fico da func¸a˜oQ que e´ uma reta, basta determinarmos dois pontos da reta. Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta como os eixos y e x. Neste caso, temos que • P = 0⇐⇒ Q(0) = 5(0)− 8 = −8. Ou seja, (0,−8) e´ um ponto da reta. • Q = 0⇐⇒ 5P − 8 = 0⇐⇒ P = 8 5 . Ou seja, ( 8 5 , 0 ) e´ um ponto da reta. Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de D e de Q. b) Pela definic¸a˜o de prec¸o de equil´ıbrio, precisamos determinar o prec¸o P em que D = Q, ou seja, −P 2 + 16 = 5P − 8⇐⇒ −P 2 − 5P + 24 = 0. Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −1, b = −5 e c = 24, temos que ∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4(−1)(24) = 25 + 96 = 121. Logo, P = −b±√∆ 2a = −(−5)±√121 2(−1) = 5± 11 −2 . Ou seja, as soluc¸o˜es de −P 2 − 5p+ 24 = 0 sa˜o P1 = 5 + 11−2 = −8, P2 = 5− 11 −2 = 3. Como, o prec¸o de equil´ıbrio P deve satisfazer 8 5 ≤ P ≤ 4 segue que o prec¸o de equil´ıbrio e´ P = 3. A quantidade de equil´ıbrio D = Q correspondente ao prec¸o de equil´ıbrio P = 3 e´ obtida por D(3) = −(3)2 + 16 = 7. Logo, o ponto de equil´ıbrio tem coordenadas (3, 7). Este ponto esta´ marcado na Figura 2 na cor vermelha. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 5 D Q -4 8 5 3 4 P -8 7 12 336 25 16 Figura 2: Questa˜o 4, item a) Questa˜o 5 (2.0 pt) : A demanda D de um produto e´ uma func¸a˜o linear afim do prec¸o P , isto e´, demanda e prec¸o relacionam-se a partir de D = aP + b. Sabendo que quando o prec¸o e´ igual a 3, a quantidade demandada e´ igual a 43 e que quando o prec¸o e´ 7, a quantidade demandada e´ 37, determine o valores de a e b. Escreva a func¸a˜o encontrada. Soluc¸a˜o: De acordo com o enunciado, a func¸a˜o que relaciona demanda e prec¸o e´ da forma D = aP + b, em que a e b devem ser determinados. Para encontra´-los usamos a informac¸a˜o que quando o prec¸o e´ igual a 3, a quantidade demandada e´ igual a 43, ou seja, a e b satisfazem a equac¸a˜o 43 = a · 3+ b. Usamos tambe´m que quando o prec¸o e´ 7, a quantidade demandada e´ 37, e neste caso, temos a equac¸a˜o 37 = a · 7 + b. Portanto, a e b devem satisfazer o sistema de equac¸o˜es { 3a+ b = 43 (i) 7a+ b = 37 (ii) Vamos, enta˜o, resolver esse sistema. Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depoissomando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i) − (ii), Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 6 temos 3a+ b = 43 −7a− b = −37 + (3− 7) a = 43− 37 Encontramos enta˜o que −4a = 6⇐⇒ a = −6 4 ⇐⇒ a = −3 2 . Substituindo agora a = −3 2 em (i), chegamos a 3a+ b = 43 ⇐⇒ 3 · ( −3 2 ) + b = 43 ⇐⇒ b = 43 + 9 2 ⇐⇒ b = 86 2 + 9 2 ⇐⇒ b = 95 2 . Portanto, a a func¸a˜o que relaciona demanda e prec¸o e´: D = −3 2 P + 95 2 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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