Calculo Numerico - series

Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-1
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Cálculo de Funções por Séries de Potências
O objetivo do cálculo de funções por séries de potências é o de se obter expressões
simples para a avaliação de funções com grau de complexidade maior. Além disso, veremos
que o desenvolvimento de funções por séries de Taylor forma o núcleo básico de um curso de
Cálculo Numérico, de modo que o entendimento desse assunto é indispensável para o
entendimento dos diversos métodos numéricos a serem abordados nos próximos capítulos.
Definição
Uma Série de Potências em x - x0 é uma série da forma
a a x x a x x a x x a x xn
n
n
0 1 0 2 0
2
3 0
3
0
0
+ − + − + − + = −
=
∞∑( ) ( ) ( ) ( )�
O problema do cálculo de uma função por meio de séries de potência consiste em se encontrar
os coeficientes an de uma série infinita, tal que:
f x a x xn
n
n
( ) ( )= −
=
∞∑ 0
0
Séries de Taylor
Definição: Uma função y = f(x) é analítica num ponto x0, se f(x) for a soma de uma série de
potências para todo x tal que |x - x0| < r, r > 0:
f x a x xn
n
n
( ) ( )= −
=
∞∑ 0
0
(2.1)
Toda a função analítica em x0, também o é na vizinhança de x0. Lembrando: uma função f(x) é
analítica num ponto x0 se ela satisfizer as seguintes condições: (1) a função existe em x0 e vale
f(x0); (2) a função é contínua em x0 e (3) a função é diferenciável em x0 e suas derivadas f’(x),
f”(x), ..., f(n)(x) existem nesse ponto.
Cálculo dos coeficientes an:
Se f(x) é analítica em x0, então a função vale f(x0) nesse ponto e também as suas derivadas
existem e valem f
 
'(x0), f "(x0), ... , f (n)(x0). Deste modo, podemos calcular o valor da função e
de suas derivadas fazendo:
f x a x xn
n
n
( ) ( )= −
=
∞∑ 0
0
′ = −
−
=
∞∑f x na x xn n
n
( ) ( )0 1
1
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-2
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
′′ = − −
−
=
∞∑f x n n a x xn n
n
( ) ( ) ( )1 0 2
2
′′′ = − − −
−
=
∞∑f x n n n a x xn n
n
( ) ( )( _ ( )1 2 0 3
3
�
f x n n n m a x xn n
n m
n m
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − + − −
=
∞∑ 1 1 0�
Substituindo x = x0, obtemos: f(x0) = a0, f '(x0) = a1, f "(x0) = 2!a2, ′′′f (x0) = 3!a3, ... ,
f (m)(x0) = m!am, de onde vem que: 
a f x a f x a
f x
a
f x
a
f x
mm
m
0 0 1 0 2
0
3
0 0
2 3
= = ′ =
′′
=
′′′
=( ), ( ), ( )
!
,
( )
!
, ,
( )
!
( )
�
que, substituindo na equação (2.1), resulta em:
f x f x f x x x
f x
x x
f x
x x
f x
n
x x
n
n
n
( ) ( ) ( )( ) ( )
!
( ) ( )
!
( )
( )
!
( )
( )
= + ′ − +
′′
− +
′′′
− +
= −
=
∞∑
0 0 0
0
0
2 0
0
3
0
0
0
2 3
�
(2.2)
A expressão (2.2) fornece o método para o cálculo dos coeficientes de uma série de potências
denominada séries de Taylor.
Exemplo 1: Expansão da função f(x) = ex em séries de Taylor em torno de x0 = 0.
Cálculo da função e suas derivadas em x0 = 0:
f(x) = ex, f(0) = e0 = 1
f
 
'(x) = ex f
 
'(0) = 1
f
 
"(x) = ex f
 
"(0) = 1
� �
f
 
(n)(x) = ex, f
 
(n)(0) = 1
Substituindo na equação geral da série de Taylor, resulta:
e x
x x x
n
x
n
n
= + + + + =
=
∞∑1 2 3
2 3
0
! ! !
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-3
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-20
0
20
40
60
80
Função exponencial
 
 
 e
x
 2 termos
 3 termos
 4 termos
 5 termos
y 
=
 
f(x
)
x
Fig. 2.1 - Gráfico comparativo entre a função ex exata e a série de Taylor aproximada com
diferentes números de termos da série.
Exemplo 2: Expansão em séries de Taylor para a função sen x em torno de x0 = 0.
Cálculo da função e suas derivadas em x0 = 0:
f(x) = sen x f(0) = sen 0 = 0
f
 
'(x) = cos x f
 
'(0) = cos 0 =1
f "(x) = − sen x f"(0) = 0
f
 
'''(x) = − cos x f
 
'''(0) = − 1
f(4) (x) = sen x f(4) (0) = 0
� �
As derivadas da função sen x são cíclicas, de modo que f(4) (x) = f(x), f(5) (x) = f’(x), e assim
por diante. Substituindo na expressão geral para a série de Taylor, resulta:
sen
! ! !
( ) ( )!x x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
+
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
3 5 7 1 2 1
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-4
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Função seno
 
 
 sen x
 2 termos
 3 termos
 4 termos
 5 termos
y 
=
 
f(x
)
x
Fig. 2.2 - Gráfico comparativo entre a função sen x exata e a série de Taylor aproximada com
diferentes números de termos da série.
Exemplo 3: Expansão da função cos x em séries de Taylor em torno de x0 = 0.
Cálculo da função e suas derivadas em x0 = 0:
f(x) = cos x f(0) = cos 0 = 1
f
 
'(x) = − sen x f
 
'(0) = − sen 0 = 0
f "(x) = − cos x f"(0) = − 1
f
 
'''(x) = sen x f
 
'''(0) = 0
f(4) (x) = cos x f(4) (0) = 1
� �
Observar que, como no caso da função sen x, as derivadas da função cos x são repetitivas a
partir da 4a derivada. Substituindo na expressão geral para a série de Taylor, resulta:
cos
! ! !
( ) ( )!x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
=
∞
∑1 2 4 6 1 2
2 4 6 2
0
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-5
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
Função cosseno
 
 
 cos x 
 2 termos
 3 termos
 4 termos
 5 termos
y 
=
 
f(x
)
x
Fig. 2.3 - Gráfico comparativo entre a função cos x exata e a série de Taylor aproximada com
diferentes números de termos da série.
Exemplo 4: Seja f(x) = ln x.
Expandir em séries de Taylor em torno de x0 = 0.
Cálculo de f(0) e suas derivadas:
f(x) = ln x, ′ = ′′ = − ′′′ =f x
x
f x
x
f x
x
( ) , ( ) , ( ) , ,1 1 22 3 �
f x
n
x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( )!= − −−1 11 (n = 1, 2, 3, ...),
de modo que f(1) = 0, f
 
'(1) = 1, f
 
"(0) = -1, f
 
'''(1) = 2, ..., f
 
(n)(1) = (-1)n-1(n-1)!.
Substituindo em (2.2), vem que:
ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x
n
n
n
n
= − −
−
+
−
−
−
+ = −
−
−
=
∞∑1 12 13 14 1 1
2 3 4
1
1
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-6
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Função logaritmo
 
 
 ln x
 2 termos
 3 termos
 4 termos
 5 termos
y 
=
 
f(x
)
x
Fig. 2.4 - Gráfico comparativo entre a função ln x exata e a série de Taylor aproximada com
diferentes números de termos da série.
Teorema da convergência para séries de potências: Seja a x xn n
n
( )−
=
∞∑ 0
0
 uma série de
potências dada. Uma das seguintes condições é válida:
(i)
 
a série converge somente quando x = x0;
(ii)
 
a série é absolutamente convergente para todos os valores de x;
(iii)
 
existe um número R > 0, tal que a série seja absolutamente convergente para todos os
valores de x, para os quais |x-x0| < R, e seja divergente para todos os valores de x, para os
quais |x-x0| > R. A grandeza R é denominada raio de convergência da série de potências
dada.
Exemplo 5: Determinar o raio de convergência da série de Taylor para a função ex.
Para determinarmos o raio de convergência da função ex, vamos aplicar o teste da razão:
lim lim ( )!
!
lim
n
n
n n
n
n
n
a
a
x
n
x
n
x
n→∞
+
→∞
+
→∞
=
+
=
+
=
1
1
1
1
0, para qualquer valor de x
Como o critério da razão estabelece que a série é convergente quando o limite acima é menor
do que 1, conclui-se que o raio de convergência da série de Taylor da função exponencial são
todos os valores de x, tal que x ∈ℜ, ou seja, |x| < ∞.
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-7
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Exemplo 6: Determinar o raio de convergência da série de Taylor para a função ln x,
expandida em torno de x0 = 1.
A série de Taylor da função ln x é expressa como:
ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x
n
n
n
n
= − −
−
+
−
−
−
+ = −
−
−
=
∞∑1 12 13 14 1 1
2 3 4
1
1
�
Aplicando o teste da razão ao termo geral da série:
lim lim
( )
( ) lim ( ) limn
n
n n
n
n
n n
a
a
x
n
x
n
x
n
n
x
n
n
x
→∞
+
→∞
+
→∞ →∞
=
−
+
−
= −
+
= −
+
= −
1
11
1
1
1
1
1
1
1
Como o critério da razão estabelece que a série é convergente quando o limite é menor do
que