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Calculo Numerico - series

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1, resulta:
x x x− < ⇔ − < − < ⇒ < <1 1 1 1 1 0 2
Como o critério da razão não diz nada sobre a convergência ou divergência em x = 2 (para o
qual o limite é igual a 1), vamos analisá-lo em separado. Fazendo x = 2 na série de Taylor,
tem-se que:
� �
n
n
n
n
2 1
1
2
1
3
1
4
1 1
1
= − + − + =
−
−
=
∞∑ ( )
Mas, esta série infinita é a série harmônica alternada, que é convergente. Assim, o raio de
convergência para ln x é 0 < x ≤ 2.
Observação: A convergência de uma série de potências nos assegura que podemos utilizá-la
para o cálculo dos valores corretos de uma função.
Exemplo 7: O cálculo de ln 1,5 e de ln 2, usando a série de Taylor fornece os valores:
n ln (1,5) n ln (2,0)
2 0,37500 10 0,64564
4 0,40104 50 0,68325
5 0,40729 100 0,68817
10 0,40543 500 0,69215
11 0,40548 1.000 0,69265
12 0,40546 10.000 0,69310
13 0,40547 50.000 0,69314
15 0,40547 100.000 0,69314
20 0,40547 200.000 0,69315
Exato: 0,40547 Exato: 0,69315
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-8
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Como a série é convergente para x = 1,5 observa-se que a função fornece o resultado
correto com cinco casas decimais empregando 13 termos da série. Os outros valores, para n <
13, embora não sejam exatos, mostram tendência de convergência para o valor exato. No caso
de ln 2, como x = 2 é o valor de x no limite superior de convergência da série de Taylor da
função ln x, observamos dos dados da tabela que a convergência é lenta. Para obter o resultado
com precisão de cinco casas decimais, necessitamos da ordem de 200.000 termos da série!
Geralmente, quanto maior o valor do argumento de uma função, i.e., quanto maior o valor de
x para o cálculo de f(x), necessitamos de um número cada vez maior de termos da série para
que possamos obter o resultado com uma certa precisão.
Vamos ver agora quando utilizamos um valor de x fora do intervalo de convergência de
uma dada série. Na tabela seguinte estão mostrados os valores calculados de ln 3 usando
diferentes números de termos da série de potências:
n ln (3,0)
5 5,06667
7 12,6857
10 -6,48254
15 1424,42
20 -34359,7
25 882703
∞ ∞
Exato: 1,09861
Neste caso, como a série infinita para ln 3 é divergente, o cálculo pela série de Taylor
fornece valores errados e, em nenhum momento, vai convergir para o valor correto 1,09861
com qualquer número de termos da série.
Exemplo 8: Para calcular ln 3 ou qualquer outro valor de x que esteja fora do intervalo de
convergência, utilizamos a propriedade das funções logarítmicas: ln (a.b) = ln a + ln b. Para
x = 3, fazemos ln 3 = ln (2x1,5) = ln 2 + ln 1,5 = 0,69315 + 0,40547 = 1,09862. A diferença de
0,00001 vem do erro de arredondamento de ln 2 e de ln 1,5.
Exemplo 9: Poderíamos ter adotado o mesmo procedimento do Exemplo 8 para o cálculo de
ln 2, pois assim, com o argumento x menor, o número de termos da série de potência seria bem
menor do que os 200.000 termos necessários para precisão de cinco casas decimais. Assim,
poderíamos fazer: ln 2 = ln ( )2 2 = 2 ln 2 . Para o cálculo de ln 2 com precisão de cinco
casas decimais, seriam necessários apenas 10 termos: ln 2 = 0,34657. ∴ ln 2 = 2(0,34657) =
0,69315.
Séries de Potências com Resto
Seja a série de potências:
f x f x f x x x
f x
x x
f x
n
x x
n
n
n
( ) ( ) ( )( ) ( )
!
( ) ( )
!
( )
( )
= + ′ − +
′′
− + = −
=
∞∑0 0 0 0 0 2 0 0
0
2 �
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-9
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
se desejamos calcular a série com um número finito de termos, podemos reescrever (2.2) na
forma:
f x f x f x x x
f x
x x
f x
n
x x R x
n
n
n( ) ( ) ( )( )
( )
!
( ) ( )
!
( ) ( )
( )
= + ′ − +
′′
− + + − +0 0 0
0
0
2 0
02
� (2.3)
onde Rn(x) representa o resto da série de potências truncada no n-ésimo termo. O resto Rn(x)
pode ser definido de acordo com a fórmula de Leibniz como:
{ }R x max f x x
n
x xn
n
n
( ) ( ) ( )
!
,
( )≤
−
≤ ≤ξ ξ0 0 (2.4)
Rn(x) representa o erro de truncamento (absoluto) da série de Taylor. Observar que a
expressão para a fórmula de Leibniz depende do máximo valor da derivada n-ésima da função
f(x) e do termo geral da série de potência.
Exemplo 10: Determinar quantos termos são necessários para se calcular e1 através de séries
de Taylor, com erro menor do que 10-6.
O erro absoluto para a série de Taylor da função ex pode ser calculada através da
fórmula de Leibniz:
{ } { }R x M x
n
max f max en
n
n( )
!
, ( ) ,( )≤ = = ≤ ≤ onde M ξ ξξ 0 1
O valor máximo de eξ ocorre quando ξ = 1, ou seja, { }max f en( ) ( )ξ = . Entretanto, o valor do
número de Euler, e1, é o que desejamos calcular, de modo que estimamos o valor de
{ }max f n( ) ( )ξ como sendo igual a 3 (> e). Assim, podemos calcular n da fórmula de Leibniz
como: R x
n n
nn
n
( )
! !
! .= ≤ = < ⇒ >−1 3
1 3
10 3106 6 . Esta desigualdade não tem solução
analítica, de modo que vamos calcular o valor de n substituindo-se numericamente valores de n
até encontrar um que satisfaça a condição de Leibniz. Se fizermos n = 9, teremos que
9! = 362.880 < 3.106. Se n = 10, vem que 10! = 9!x10 = 3.628.800 > 3.106. Portanto, para se
calcular e1 com erro inferior a 10-6 são necessários n = 10 termos na série de potências.
Exemplo 11: Determinar o número de termos necessários para se avaliar o sen 5 por séries de
potências com precisão de cinco casas decimais.
Solução: Precisão de cinco casas decimais é equivalente a calcular sen 5 com erro absoluto de
1 em 10-5, ou seja, Rn(x) ≤ 10-5:
R x M
x
n
M
nn
n n
( ) ( )! ( )!= ≤ + = + ≤
+ +
−5
2 1
5
2 1
10
2 1 2 1
5
, 
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-10
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
onde { }M max f n= =( ) ( )ξ 1, pois embora não saibamos qual será a n-ésima derivada de sen x,
sabemos que no máximo ela será igual a 1. Assim,
1
5
2 1
10
2 1
5
10
2 1
5
2 1
5
n
nn
n+
−
++
≤ ⇒
+
≥( )!
( )!
Novamente, calcularemos o valor de n por substituição numérica. A solução vem para
(2n + 1) = 21, ou n = 10. Observar que a variável contadora n se inicia em 0. Assim, serão
necessários, no máximo, 11 (= n + 1) termos da série de Taylor para o cálculo de sen 5 com
precisão de cinco casas decimais.
Exemplo 12: Vamos verificar se o valor de n calculado no Exemplo 2 fornece o resultado com
cinco casas decimais de precisão. Utilizando o programa de cálculo FORTRAN seno.for ou a
versão em linguagem C, seno.c1, obtemos para n = 11, sen 5 = -0,9589238336 e erro absoluto
= 9,3.10-6. Observar que o resultado obtido por séries de potências está correto até a quinta
casa decimal em comparação ao resultado exato (-0,9589242762) com dez casas decimais.
Derivação de Séries de Potências
Seja y = f(x) uma função expandida em uma série de potências. O operador linear
derivada (ou diferenciação) pode ser aplicado com facilidade a uma série de potências devido à
associatividade da operação de derivação, i.e., a derivada de um somatório é igual ao
somatório das derivadas:
( )dydx ddx a x ddx a x na xn n
n n
n
n
n
n
n
=






= =
=
∞
=
∞
−
=
∞∑ ∑ ∑
0 0
1
1
Observe que o primeiro índice do último somatório vale n = 1 devido à derivação da potência
x
n
 que reduziu em um termo a série.
Exemplo 13: Seja f(x) = sen x, calcular a derivada da série de Taylor desta função.
( )sen ! ! ! ( ) )!x x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
+
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
3 5 7 1 2 1
�
Derivando-se os dois lados da equação,
 
1
 Disponíveis em http://www.demar.faenquil.br/programas
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-11
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
( )
d
dx
x
d
dx
x
x x x d
dx
x
n
x x x x x x
n
n
n
(sen )
! ! !
( ) )!
! ! ! ! ! !
= − + − +



 = − +






= − + − + = − + − +
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
2 4 6 2 4 6
3 5 7
1
2 1
1
3
3
5
5
7
7
1
2 4 6
�
� �
Mas, sabemos que
( )cos ! ! ! ( ) )!x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
=
∞∑1 2 4 6 1 2
2 4 6 2
0
�
de modo que 
d
dx
x x(sen ) cos= , verificado pela identidade