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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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ha´ va´rios outros exem-
plos conhecidos ale´m da Geometria Plana, que tambe´m podem ser formulados usando-se modelos axio-
ma´ticos. Citamos o caso da construc¸a˜o dos nu´meros naturais e das operac¸o˜es com nu´meros reais.
No processo de aprendizagem, sabemos que a Geometria Euclidiana e´, por exceleˆncia, onde o modelo
axioma´tico e´ (geralmente) utilizado pela primeira vez. Como muitos de nossos leitores ja´ devem ter
passado - ou ira˜o passar - por essa experieˆncia, e por concisa˜o do texto, optamos por exibir modelos
axioma´ticos fora da Geometria Euclidiana.
dos Nu´meros. A obra destacou-se por seu ineditismo ao tratar a Matema´tica por meio de um modelo axioma´tico utilizando
postulados e demonstrac¸o˜es lo´gico-dedutivas. Com esse estilo, Euclides fundou o me´todo axioma´tico, que influenciou defi-
nitivamente o paradigma da certeza racional e o modo de fazer Cieˆncia. Apo´s 23 se´culos, sua maneira de tratar a Geometria
ainda e´ ensinada nas escolas de todo mundo.
Pouco ficou registrado sobre a vida de Euclides, mas sabe-se que ele tambe´m escreveu outras obras sobre Matema´tica,
Astronomia, O´ptica e Mu´sica.
Quem quiser refereˆncias sobre as traduc¸o˜es dos Elementos para o Ingleˆs e o Portugueˆs, pode consultar os comenta´rios
feitos por Joa˜o Pitombeira Carvalho, tradutor de [Aaboe, 1984], a`s pa´ginas 90-93 da citada refereˆncia.
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Capı´tulo 3. Definic¸a˜o, modelo axioma´tico e convenc¸a˜o
3.2.1 Axiomatizac¸a˜o da adic¸a˜o de nu´meros reais
Vamos definir a operac¸a˜o de soma de nu´meros reais por meio de axiomas e depois deduzir as principais
propriedades dessa operac¸a˜o. Estes axiomas que apresentaremos fazem parte de um conjunto maior de
axiomas que sa˜o usados para estabelecer toda a estrutura alge´brica dos nu´meros reais. Completaremos
este estudo no Capı´tulo 6, quando apresentaremos formalmente as demonstrac¸o˜es, e provaremos as
principais propriedades de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros reais.
AXIOMAS DE ADIC¸A˜O DE NU´MEROS REAIS
Para cada par de nu´meros reais x e y associamos um nu´mero real, denotado por x + y, chamado
soma de x com y. A operac¸a˜o que leva cada par (x, y) no nu´mero x + y chama-se adic¸a˜o e satisfaz as
seguintes propriedades:
S1) Associatividade da adic¸a˜o:
Para todos x, y e z ∈ R, tem-se
(x+ y) + z = x+ (y + z).
S2) Existeˆncia do elemento neutro da adic¸a˜o:
Existe um nu´mero real ξ ∈ R tal que, para todo x ∈ R valem as igualdades
x+ ξ = ξ + x = x.
(Posteriormente denotaremos ξ por 0. Na˜o refute essa notac¸a˜o do elemento neutro, ela serve como
treinamento para algumas ide´ias abstratas que um estudante ou professor de Matema´tica deve ter).
S3) Existeˆncia do elemento inverso ou elemento sime´trico da adic¸a˜o:
Para todo x ∈ R, existe y ∈ R tal que
x+ y = y + x = ξ.
(Posteriormente denotaremos y por −x. Aqui vale o mesmo comenta´rio do item anterior).
S4) Comutatividade da adic¸a˜o:
Para todos x, y ∈ R, tem-se
x+ y = y + x.
1. Pare um pouco, observe e confronte o uso dos quantificadores universal e existencial em (S2) e
(S3).
2. Oportunamente, tambe´m observe que as letras x e y, que representam nu´meros reais, teˆm func¸o˜es
diferentes em (S3), daquelas que desempenham nos demais axiomas.
3. E´ possı´vel que existam mais de um modelo axioma´tico para apresentar determinada teoria mate-
ma´tica. Quando isso ocorre, o que e´ formulado como um axioma num modelo, pode tornar-se um
teorema noutro, e vice-versa. Tudo depende de uma possı´vel opc¸a˜o de quem apresente a teoria.
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3.2. O que e´ um Modelo Axioma´tico?
EXERCI´CIOS:
1. Responda a`s perguntas a seguir, justificando cada resposta.
(a) Axiomas sa˜o sentenc¸as?
(b) Axiomas possuem valor lo´gico?
2. Vamos agora definir conjuntamente, tambe´m por meio de axiomas, a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o
de nu´meros reais e suas propriedades ba´sicas.
Os leitores esta˜o agora convidados a preencher o texto a seguir, utilizando passos ana´logos aos que
foram dados nesta sec¸a˜o, quando definimos a operac¸a˜o de adic¸a˜o de nu´meros reais.
AXIOMATIZAC¸A˜O DA MULTIPLICAC¸A˜O DE NU´MEROS REAIS:
Para cada par de nu´meros reais associaremos um nu´mero real, denotado por x.y,
chamado de de x por y. A operac¸a˜o que leva cada par (x, y) em e´ chamada
de multiplicac¸a˜o, e satisfaz as seguintes propriedades:
P1) da multiplicac¸a˜o
Para todos e z ∈ R, temos
= x.(y.z).
P2) Existeˆncia do da multiplicac¸a˜o
Existe um nu´mero real θ ∈ R, θ 6= ξ, tal que, para todo x ∈ R valem as igualdades
= = x.
(Posteriormente, denotaremos θ por 1)
P3) Existeˆncia do elemento inverso )
x 6= ξ, existe um y ∈ R tal que
x.y = = .
(Posteriormente, denotaremos y por x−1 ou
1
x
)
P4) ( do )
Para todos x, y ∈ R,
x.y = .
3. Defina os objetos abaixo e, em cada definic¸a˜o, identifique os conceitos usados que sa˜o previamente
necessa´rios; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos:
(a) Segmento (de reta) e extremos de um segmento;
(b) Planos perpendiculares;
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Capı´tulo 3. Definic¸a˜o, modelo axioma´tico e convenc¸a˜o
(c) Paralelepı´pedo;
(d) Nu´meros primos;
(e) Nu´meros compostos.
4. Usando os quatro axiomas de Euclides que apresentamos nesta sec¸a˜o, esboce uma justificativa de
que toda reta conte´m pelo menos um ponto.
5. Pense nisso:
(a) Qual sua concepc¸a˜o pessoal de ponto, reta e plano? Na˜o estamos pedindo uma definic¸a˜o!
Talvez este simples exercı´cio lhe convenc¸a que, a`s vezes, mesmo certos conceitos ba´sicos
que usamos diariamente, podem na˜o ser ta˜o simples de serem formulados. Esta e´ mais uma
indicac¸a˜o de que e´ pertinente considerar estes entes matema´ticos como noc¸o˜es primitivas.
(b) Responda convincentemente: considerando os quatro postulados da Geometria Plana dados
por Euclides, algue´m poderia conceber uma reta como um arco de circunfereˆncia?
6. Ainda sobre a concepc¸a˜o de objetos admitidos como noc¸o˜es primitivas e a compatibilidade dessa
concepc¸a˜o com os axiomas adotados:
Quais dentre os axiomas de Euclides continuariam va´lidos, caso admitı´ssemos as seguintes
noc¸o˜es (nada convencionais!) de pontos e retas:
(a) Pontos: ve´rtices de triaˆngulos;
Retas: lados de triaˆngulos.
(b) Pontos: pontos sobre esferas ocas;
Retas: cı´rculos ma´ximos sobre esferas.
7. Fac¸a uma pesquisa em livros de Geometria Plana e, em cada um deles, analise qual o conjunto de
axiomas que adotam. Ha´ diferenc¸a entre axiomas adotados?
8. Nossa Constituic¸a˜o Federal e os modelos axioma´ticos.
Nossa constituic¸a˜o, com todas leis e artigos pode ser encarada como um modelo axioma´tico.
De fato, ha´ va´rias definic¸o˜es nos artigos da Constituic¸a˜o, e as leis podem ser vistas como axiomas.
Perceba que o trabalho de advogados e juristas e´ inferir logicamente suas concluso˜es a partir dessas
definic¸o˜es e leis.
O Artigo 10 da nossa Constituic¸a˜o, na parte dos Princı´pios Fundamentais, reza que:
A Repu´blica Federativa do Brasil, formada pela unia˜o indissolu´vel dos Estados e Municı´pios e
do Distrito Federal, constitui-se em Estado Democra´tico de Direito e tem como fundamentos:
I− a soberania; II− a cidadania; III−a dignidade da pessoa humana; IV− os valores sociais
do trabalho e da livre iniciativa; V−o pluralismo polı´tico.
No para´grafo acima, identifique uma definic¸a˜o e o que poderı´amos encarar como um axioma.
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3.3. Convenc¸o˜es matema´ticas
3.2.2 Curiosidade: O modelo axioma´tico em outras a´reas
O modelo axioma´tico tambe´m foi usado por Newton para escrever sua obra magna, O Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica 3, onde apresenta as ide´ias da “sua Fı´sica”.
Outro fato que merece registro e´ que um modelo axioma´tico tambe´m foi usado pelo filo´sofo holandeˆs
Baruch de Espinosa (ou Spinoza) (1632-1677) em seu livro E´tica Demonstrada a` Maneira dos Geoˆ-
metras. So´ que no caso de Espinosa, os teoremas que ele