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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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tanta frequ¨eˆncia e naturalidade. Desde
os primeiros passos significativos que a Matema´tica deu na Antiga Babiloˆnia, passaram-se quase 3.000
anos ate´ que nos Se´culos XVI e XVII o uso de notac¸o˜es comec¸asse a ser sistematizado e se tornado uma
pra´tica.
Vale a pena conhecer a histo´ria da criac¸a˜o e do uso das notac¸o˜es, por ser uma das mais belas e inte-
ressantes pa´ginas da Histo´ria da Matema´tica. Mais adiante trataremos sobre algumas das notac¸o˜es mais
usadas e de fatos histo´ricos sobre sua criac¸a˜o 1.
Uma notac¸a˜o matema´tica e´ um conjunto de sı´mbolos (que pode ser apenas um u´nico sı´mbolo) que
representa um objeto ou uma ide´ia. Estes sı´mbolos podem ser construı´dos com letras de alfabeto, figuras
conhecidas ou ser de qualquer outra natureza, desde que sirvam para os propo´sitos.
O uso de notac¸o˜es matema´ticas deve ser uma forma de comunicac¸a˜o concisa e precisa, que possa
contribuir para a facilidade e com a economia da linguagem. Por esse motivo, uma notac¸a˜o na˜o deve
expressar ambigu¨idades, deve ter uma forma este´tica simples, que seja fa´cil de manipular, de memorizar
e de nos lembrar o objeto que representa toda vez que a virmos.
Na Matema´tica e´ comum o uso de sı´mbolos para representar conjuntos, elementos de um conjunto,
operac¸o˜es matema´ticas ou qualquer outro objeto. A escolha de uma notac¸a˜o adequada e eficaz e´ um dos
1Os interessados em saber mais sobre a histo´ria das notac¸o˜es matema´ticas podem consultar a monumental obra de Cajori
([Cajori, 1993]).
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Capı´tulo 1. A notac¸a˜o matema´tica
primeiros passos a fim de expressar e manipular com eficieˆncia as ide´ias matema´ticas. Dessa forma, se
facilita a apresentac¸a˜o de teorias e a resoluc¸a˜o de problemas.
As notac¸o˜es sa˜o ta˜o importantes para a compreensa˜o de um texto, que va´rios livros trazem um ı´ndice
com as principais notac¸o˜es que ira˜o ser utilizadas.
Atualmente, apo´s centenas de anos de desenvolvimento e da contribuic¸a˜o de inu´meras pessoas cada
parte da Matema´tica – seja A´lgebra, Trigonometria, Geometria ou outra – possui sua notac¸a˜o pro´pria
que e´ universalmente aceita e utilizada.
CUIDADOS:
1. Em qualquer ocasia˜o, se voceˆ precisar optar por alguma notac¸a˜o, deve escolher a que seja conven-
cional, a mais usada ou aquela que provenha de fontes se´rias, de boa reputac¸a˜o e credibilidade. Em
outros casos e´ bom ficar atento, ja´ que muitas vezes voceˆ vai ter de inventar suas pro´prias notac¸o˜es.
Lembre-se sempre de levar em considerac¸a˜o as caracterı´sticas principais de uma notac¸a˜o que men-
cionamos anteriormente.
2. Alguns autores teˆm o pe´ssimo ha´bito de usar notac¸o˜es que na˜o sa˜o consagradas ou que na˜o foram
previamente definidas. Outros partem para criar notac¸o˜es a` toa, sem necessidade. Esses maus
ha´bitos devem ser combatidos. Daı´, so´ denote um objeto se for realmente necessa´rio e respeite as
notac¸o˜es consagradas; so´ as substitua se tiver razo˜es suficientes para isso.
No que segue, vamos explicar o significado de algumas das notac¸o˜es mais utilizadas na Matema´tica.
Veremos tambe´m como algumas delas foram criadas e como certas notac¸o˜es do passado eram muito
interessantes, bem diferentes das usadas atualmente.
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1.2. Algumas das notac¸o˜es mais utilizadas
1.2 Algumas das notac¸o˜es mais utilizadas
A maioria dos sı´mbolos que apresentaremos nas tabelas a seguir sa˜o bastante conhecidos. Acon-
selhamos apenas checar a maneira correta de ler cada sı´mbolo e certificar-se de que voceˆ sabe realmente
o que cada um deles significa.
Observe que algumas notac¸o˜es foram criadas simplesmente usando as primeiras letras dos nomes
dos objetos que elas representam, a`s vezes, em alguma lı´ngua estrangeira.
Tabela 1.1: Tabela de notac¸o˜es
SI´MBOLO COMO SE LEˆ SI´MBOLO COMO SE LEˆ
∃
Existe; Existe um; Existe pelo
menos um2 ⇒
Implica que; Acarreta
∃!
Existe um u´nico; Existe um e ape-
nas um; Existe so´ um3 ⇔
Se, e somente se; Equivalente (no
caso de proposic¸o˜es)
≤ Menor do que ou igual a4 > Maior do que
≥ Maior do que ou igual a < Menor do que
∼= ≈
Aproximadamente igual a
∀
Para todo; Qualquer que seja; Para
cada5
n∑
i=1
P (i) Somato´rio de P (i), em que i varia
de 1 a n
≡ Equivalente a; Coˆngruo a
R Conjunto dos nu´meros reais N Conjunto dos nu´meros naturais
Q Conjunto dos nu´meros racionais6 Z Conjunto dos nu´meros inteiros7
C Conjunto dos nu´meros complexos QC , R−Q Conjunto dos nu´meros irracionais8
n∏
i=1
Q(i) Produto´rio de Q(i), em que i varia
de 1 a n
; | Tal que; Tais que
∞ Infinito9 ∴ Enta˜o; Portanto; Logo; Donde
⊂ Esta´ contido ⊃ Conte´m
∈ Pertence ∪ Unia˜o
∩ Intersec¸a˜o ∓ ± Menos ou mais; Mais ou menos
:=
Def
= Por definic¸a˜o 10e e´ ou eˆ
Continua na pro´xima pa´gina
2O sı´mbolo ∃ e´ chamado quantificador existencial. A ele retornaremos na Sec¸a˜o 2.1
3Vale a pena nesse ponto conferir a Subsec¸a˜o 5.3.1
4Aconselhamos ler esse sı´mbolo da maneira como esta´ escrito: “menor do que”. O mesmo vale quando for ler os outros
sı´mbolos de ordem.
5O sı´mbolo ∀ e´ chamado de quantificador universal. Este sı´mbolo decorre da letra ‘A’ invertida, inicial das palavras “all”
do Ingleˆs e de “allgemein” do Alema˜o, que significam “todo”. A ele retornaremos na Sec¸a˜o 2.1
6Essa notac¸a˜o e´ devido ao fato de um nu´mero racional ser a raza˜o (o quociente) de um nu´mero inteiro por outro nu´mero
inteiro na˜o-nulo.
7O “Z” vem da palavra alema˜ “Zahl”, que significa nu´mero.
8Por mais que alguns autores tentem insistir, na˜o ha´ uma notac¸a˜o universalmente aceita para o conjunto dos nu´meros
irracionais, ale´m da que registramos: o conjunto dos nu´meros reais menos o conjunto dos nu´meros racionais.
9Esse sı´mbolo foi introduzido pelo matema´tico ingleˆs John Wallis (1616-1703). Wallis produziu trabalhos pioneiros que
contribuı´ram para o desenvolvimento do Ca´lculo Infinitesimal.
10O nu´mero e representa a base dos logaritmos neperianos ou naturais. Essa constante e´ um nu´mero irracional, i.e., na˜o
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Capı´tulo 1. A notac¸a˜o matema´tica
SI´MBOLO COMO SE LEˆ SI´MBOLO COMO SE LEˆ
11 i i pi Pi
NOTA: Ainda sobre notac¸o˜es, comumente se usam:
1. x, y, z, w, t para denotar inco´gnitas ou nu´meros reais;
2. a, b, c para representar constantes reais;
3. i, j, k, l,m, n, r, s, p, q para representar nu´meros inteiros
1.2.1 O cuidado com o uso de certas notac¸o˜es
1. Um erro que se veˆ frequ¨entemente: atente para a diferenc¸a entre as notac¸o˜es f(x2) e f 2(x). En-
quanto f(x2) denota a func¸a˜o f aplicada no valor x2 = x.x, o sı´mbolo f 2(x) representa o produto
f(x).f(x). Por exemplo, senx2 = sen(x2), ja´ sen2(x) = (senx).(senx). A mesma coisa vale
para outros expoentes positivos e para as outras func¸o˜es.
Em outras ocasio˜es, a notac¸a˜o f 2(x) tambe´m pode representar a composic¸a˜o da func¸a˜o f com ela
mesma, isto e´,
f 2(x) = (f ◦ f)(x) = f(f(x)).
Conve´m ressaltar que os dois significados dessa notac¸a˜o dependem do contexto no qual ela esta´
sendo usada. Portanto, e´ aconselha´vel sempre de inı´cio, deixar bem definido seu uso para que na˜o
haja ambigu¨idades.
2. Em geral, as calculadoras importadas usam uma notac¸a˜o diferente da nossa para escrever nu´meros,
que e´ aquela adotada nos EUA e em outros paı´ses. Nessa notac¸a˜o, usa-se uma vı´rgula para separar
os milhares e um ponto para separar a parte decimal de um nu´mero, justamente o contra´rio do que
e´ utilizado em nosso paı´s. Com a difusa˜o dessas calculadoras e de outros instrumentos de ca´lculo,
acaba-se adotando essas convenc¸o˜es.
No entanto, cabe-nos registrar que no Brasil, a notac¸a˜o usada para nu´meros e´ regulamentada por
lei. Por curiosidade, a Lei e´ do Conselho Nacional de Metrologia, Normalizac¸a˜o e Qualidade
Industrial: Resoluc¸a˜o n.o 12, de 12 de Outubro de 1988.
Por exemplo: 3.129, 89 representa para no´s, o nu´mero treˆs