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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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em comum, e reciprocamente.
3. Escolha treˆs das proposic¸o˜es do exercı´cio anterior e as reescreva como um teorema, composto por
duas sentenc¸as condicionais.
4. Escolha treˆs das proposic¸a˜o do Exercı´cio 2 e as apresente usando o sı´mbolo “⇔”.
5. Identifique nas asserc¸o˜es do Exercı´cio 2, duas condic¸o˜es que sa˜o necessa´rias, mas na˜o sa˜o sufi-
cientes, e outras duas, que sa˜o suficientes, mas na˜o sa˜o necessa´rias. Reescreva cada uma dessas
asserc¸o˜es usando as frases ‘... e´ condic¸a˜o suficiente, mas na˜o e´ necessa´ria...’ e ‘... e´ condic¸a˜o
necessa´ria, mas na˜o e´ suficiente...’.
6. Considere treˆs proposic¸o˜es P1, P2 e P3 de sorte que
P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ P1.
Verifique que essas proposic¸o˜es sa˜o equivalentes, isto e´,
P1 ⇔ P2 ⇔ P3.
Algumas vezes, para deduzir que treˆs sentenc¸as P1, P2 e P3 sa˜o equivalentes, e´ menos trabalhoso
provar que P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ P1. Por queˆ?
7. Se um teorema e sua recı´proca sa˜o va´lidos, enta˜o e´ verdade que a hipo´tese desse teorema e´ a tese
do teorema recı´proco, e vice-versa?
8. Verifique que o conectivo ‘se, e somente se’ (⇔) satisfaz as propriedades reflexiva, sime´trica e
transitiva.
9. CASOS VERI´DICOS:
Critique as seguintes frases matema´ticas. As frases sa˜o reais e foram extraı´das de provas de alunos.
(a) 35(32)−2 ⇔ 35.3−4 ⇔ 31 = 3
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Capı´tulo 4. Desvendando os teoremas-Parte I
(b) 4ax− 8ax⇔ 4a(x− 2x)
10. CASOS VERI´DICOS:
Em um livro do Ensino Me´dio, no capı´tulo onde trata de polinoˆmios, consta a seguinte frase:
“ Se B(x) e´ divisor de A(x)⇔ R(x) = 0 (Sic).”
Na˜o pense que a frase esta´ transcrita de forma errada! Ela foi escrita dessa forma mesmo. Fac¸a
um comenta´rio sobre a frase e, na˜o poupe crı´ticas.
4.5 Sentenc¸as equivalentes e definic¸o˜es
4.5.1 Como deve ser entendida a conjunc¸a˜o gramatical ‘se’ de
uma definic¸a˜o
Ja´ frisamos no final da Sec¸a˜o 3.1 que toda definic¸a˜o e´, na realidade, uma sentenc¸a da forma ‘se, e somente
se’, mesmo que nela aparec¸a apenas uma u´nica conjunc¸a˜o ‘se’. Usando a terminologia da Sec¸a˜o 4.2, este
fato significa que as condic¸o˜es exigidas numa definic¸a˜o sa˜o sempre necessa´rias e suficientes. Por esse
motivo, alguns autores preferem usar em suas definic¸o˜es os termos ‘se, e somente se’ e, ate´ mesmo, o
sı´mbolo ⇔.
Reveja a Definic¸a˜o 3 da Sec¸a˜o 3.1. Naquela definic¸a˜o, dissemos que ‘um triaˆngulo e´ iso´sceles se
possui dois lados congruentes’. Dissemos tambe´m que para que esta frase seja uma definic¸a˜o, deve
valer a recı´proca: ‘se um triaˆngulo possui dois lados congruentes, enta˜o ele e´ iso´sceles’. Logo, ‘possuir
dois lados congruentes’ e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para um triaˆngulo ser iso´sceles. Por esse
motivo, alguns autores escreveriam a definic¸a˜o de triaˆngulo iso´sceles como: “Um triaˆngulo e´ iso´sceles
se, e somente se, possui dois lados congruentes”. Ja´ outros autores acham que essa forma de redigir
uma definic¸a˜o tem mais jeito de um teorema do que de mesmo de uma definic¸a˜o. Caso de prefereˆncia
pessoal.
Particularmente, ao escrever uma definic¸a˜o, optamos por usar apenas um ‘se’ e, jamais em um texto
formal, usarı´amos o sı´mbolo ⇔ numa definic¸a˜o. Achamos por demais impro´prio. Essa e´ nossa opinia˜o.
4.5.2 Definic¸o˜es equivalentes
Dizemos que duas definic¸o˜es D1 e D2 sa˜o equivalentes quando D1 ⇔ D2. Certos objetos matema´ticos
podem ter va´rias definic¸o˜es equivalentes e, quando for o caso, tanto faz usar qualquer uma delas. E´
importante frisarmos que ao optar por uma das definic¸o˜es, as outras podem ser deduzidas como con-
sequ¨eˆncia da definic¸a˜o escolhida.
Por exemplo, uma maneira alternativa de definir triaˆngulo iso´sceles, diferente daquela que demos na
Definic¸a˜o 3 da Sec¸a˜o 3.1, poderia ser:
Definic¸a˜o 3’: Um triaˆngulo e´ iso´sceles se tem dois de seus aˆngulos internos coˆngruos.
Nos cursos de Geometria Plana, prova-se que todo triaˆngulo com dois aˆngulos internos coˆngruos
possuem os respectivos lados opostos a esses aˆngulos tambe´m coˆngruos, e reciprocamente. Ou seja, as
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4.6. A bicondicional
Definic¸o˜es 3 e 3’ sa˜o equivalentes (D3 ⇔ D3′) e, portanto, tanto faz usar uma ou outra para definir
triaˆngulo iso´sceles.
EXERCI´CIOS:
1. Qual das definic¸o˜es abaixo na˜o e´ equivalente a`s demais:
Um retaˆngulo e´ . . .
(a) . . . um quadrila´tero com quatro aˆngulos internos retos.
(b) . . . um paralelogramo com pelo menos um aˆngulo interno reto.
(c) . . . um quadrila´tero com a me´dia aritme´tica dos aˆngulos internos valendo um aˆngulo reto.
(d) . . . um quadrila´tero com quatro aˆngulos internos congruentes.
2. Deˆ quatro definic¸o˜es equivalentes de quadrado. Fac¸a uma pesquisa, caso necessite.
3. Descubra sobre quais entes matema´ticos as frases abaixo se referem, e utilize essas frases para dar
definic¸o˜es equivalentes desses entes.
(a) ... e´ um nu´mero que dividido por 2 deixa resto 0.
(b) ... e´ um nu´mero da forma 2k + 1, para algum k ∈ Z.
(c) ... e´ um nu´mero que termina em 0, 2, 4, 6, ou 8.
(d) ... e´ um nu´mero da forma 2k, para algum k ∈ Z.
(e) ... e´ um nu´mero cuja soma de seus algarismos e´ divisı´vel por 3.
(f) ... e´ um nu´mero que na˜o e´ par.
(g) ... e´ um nu´mero que na˜o e´ ı´mpar.
(h) ... e´ um nu´mero que dividido por 2 deixa resto 1.
4.6 A bicondicional
Na Lo´gica Formal, dadas duas sentenc¸as P e Q, se tivermos P → Q e Q → P simultaneamente,
escrevemos que Q↔ P , que e´ lido como ‘P se, e somente se Q’.
O sı´mbolo ‘↔’ define uma operac¸a˜o entre sentenc¸as, chamada bicondicional, que leva um par de
sentenc¸as (P,Q) noutra sentenc¸a representada como Q↔ P .
Diante do valor lo´gico de sentenc¸as condicionais, e´ natural que o valor lo´gico da sentenc¸a bicondi-
cional seja definido como
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
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Capı´tulo 4. Desvendando os teoremas-Parte I
Na Lo´gica Simbo´lica Formal, levando em considerac¸a˜o o que ja´ expusemos sobre implicac¸a˜o entre
sentenc¸as, escrevemos P ⇔ Q nos casos em que a u´ltima coluna da tabela-verdade acima contiver
apenas V . Isso ocorre quando ambas as sentenc¸as P e Q sa˜o verdadeiras ou falsas.
Como ja´ foi definido na Sec¸a˜o 2.3, duas sentenc¸as P (R1, R2, . . . , Rk) e Q(R1, R2, . . . Rk) sa˜o equiv-
alentes (P ≡ Q), quando possuem os mesmos valores lo´gicos na u´ltima coluna de suas respectivas
tabelas-verdade. Note que pela definic¸a˜o do para´grafo anterior, o mesmo ocorre quando temos P ⇔ Q.
Dessa forma, vale o seguinte
‘P ≡ Q’ se, e somente se ‘P ⇔ Q’.
E assim, no Ca´lculo Proposicional, tanto faz usar os sı´mbolos “≡” ou “⇔” para sentenc¸as equiva-
lentes.
NOTA: O sı´mbolo ↔ representa uma operac¸a˜o entre sentenc¸as. Ja´ o sı´mbolo ⇔ e´ usado para se
ligar duas sentenc¸as equivalentes.
EXERCI´CIOS:
1. A BICONDICIONAL E LINGUAGEM DE CONJUNTOS:
Sejam duas proposic¸o˜es P e Q referentes a propriedades de um elemento pertencente um conjunto
universo U. Associemos a` proposic¸a˜o P ao conjunto P ⊂ U dos elementos que gozam de P , e a`
proposic¸a˜o Q ao conjunto Q ⊂ U dos elementos que gozam de Q. Se ‘P ⇔ Q’, como expressar a
relac¸a˜o entre os conjuntos P e Q? Comente plenamente sua resposta.
2. Verifique que
(a) (P → (Q→ R))⇔ (Q→ (P → R))
(b) (P ∧Q→ R)⇔ P → (Q→ R)
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CAPI´TULO 5
Desvendando os teoremas-Parte II
5.1 Mais um exemplo de como usar a recı´proca de uma proposic¸a˜o
Analisemos a seguinte tentativa de resolver uma equac¸a˜o do segundo grau:
EXEMPLO 1:
x2 + x− 6 = 0⇒
(x− 2)(x+ 3) = 0⇒
x− 2 = 0 ou x+ 3 = 0⇒
x = 2 ou x = −3⇒
x ∈ {2,−3}.
Note que, se cada uma das linhas do exemplo acima for considerada como uma proposic¸a˜o, deno-
tadas, respectivamente, por P1, P2, P3, P4 e P5, o que se fez foi provar que P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ P4 ⇒ P5.
Essa sequ¨eˆncia de implicac¸o˜es resulta que toda raiz - caso exista alguma! - da equac¸a˜o x2 + x − 6 = 0
deve necessariamente