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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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tiplique o resultado por 50. Se voceˆ ja´ fez aniversa´rio no ano de 2006, some 1756 ao nu´mero que en-
controu1; se ainda na˜o aniversariou, some 1755. Finalmente, para completar nosso intento, subtraia
o ano do seu nascimento do resultado encontrado. Voceˆ esta´ agora com um nu´mero de treˆs dı´gitos2!
E....observe: o primeiro dı´gito e´ o nu´mero de dias da semana que voceˆ gosta de passear, e o nu´mero
formado pelos dois u´ltimos dı´gitos e´ sua idade! Sensacional e surpreendente, na˜o acham???!!!”
(Inspirado no O jogo da idade, RPM, 37, p. 53)
E agora? Por tra´s de toda ma´gica ha´ um truque. Por que a ‘matema´gica’ acima funciona? Como
funciona?
Primeiramente, para responder essas perguntas e´ preciso descobrir o ‘truque’ nos procedimentos
feitos, e depois provar que a ‘matema´gica’ sempre vale quando aplicada para qualquer pessoa. Nada, a
princı´pio, nos garante essa validade.
1Se ja´ fez aniversa´rio no ano 2006+N, deve-se somar 1756+N; caso contra´rio, deve-se somar 1756+N-1 . Por exemplo,
no ano de 2009=2006+3, se ja´ fez aniversa´rio, deve-se somar 1756+3=1759 ou 1756+3-1=1758, caso contra´rio.
2Se o resultado encontrado for um nu´mero de apenas dois dı´gitos, voceˆ escolheu 0 (zero) dias para passear, e portanto,
na˜o esquec¸a de considera´-lo a` esquerda desse nu´mero.
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Capı´tulo 6. Desvendando as demonstrac¸o˜es
Sabemos que na Matema´tica e´ necessa´rio provar va´rias afirmac¸o˜es; essa e´ a natureza e a forma como
a Matema´tica funciona.
Enfim, o que pode garantir que certos resultados sa˜o verdadeiros? Qual a raza˜o que nos leva a
acreditar na validade de certos fatos, principalmente aqueles que na˜o sejam simples ou naturais de serem
aceitos? No caso da Matema´tica, uma resposta a essa pergunta e´: uma demonstrac¸a˜o.
Uma demonstrac¸a˜o garante que determinado resultado e´ va´lido, que um teorema e´ verdadeiro, e, ate´
mesmo, que a ‘matema´gica’ que acabamos de apresentar sempre funciona. Provaremos este u´ltimo fato
no final da sec¸a˜o.
Apesar de ja´ termos falado sobre demonstrac¸o˜es e evocado a ide´ia que os leitores teˆm sobre as
demonstrac¸o˜es, pedindo-lhes em alguns exercı´cios que “esboc¸assem algumas justificativas”, precisamos
tornar essa ide´ia menos informal.
Primeiramente, sem recorrer a detalhes, uma demonstrac¸a˜o de que uma proposic¸a˜o T e´ deduzida de
uma outra proposic¸a˜o H e´ uma cadeia de argumentac¸o˜es lo´gicas que usam H para concluir os resultados
apresentados em T . Neste processo, H e´ chamada de hipo´tese(s) e T de tese.
Numa demonstrac¸a˜o, prova-se que todo objeto matema´tico que satisfaz as condic¸o˜es das hipo´teses,
cumpre necessariamente o que afirma a tese. Como ja´ vimos, esse fato garante a validade de uma
proposic¸a˜o implicativa H ⇒ T .
Ao fazer uma demonstrac¸a˜o, cada passo e´ provado por meio de argumentac¸o˜es, usando-se hipo´teses,
axiomas, definic¸o˜es, outros resultados anteriormente provados e os passos precedentes, formando uma
cadeia dedutiva de raciocı´nio. Ressaltamos que nossos argumentos esta˜o baseados em duas regras
ba´sicas de infereˆncia: a modus pones e a generalizac¸a˜o (vide Sec¸a˜o 2.4).
MENOS INFORMALMENTE:
Dentro de um modelo axioma´tico, dadas duas proposic¸o˜es H e T , uma demonstrac¸a˜o de que a
proposic¸a˜o H acarreta a proposic¸a˜o T e´ uma sequ¨eˆncia finita de sentenc¸as P1, P2, ..., Pk, tais que cada
uma delas e´, ou um axioma, ou uma definic¸a˜o, ou uma hipo´tese, ou uma sentenc¸a que e´ resultante de
sentenc¸as anteriores e que foi deduzida por argumentac¸o˜es 3. A proposic¸a˜o final Pk da sequ¨eˆncia e´ a
proposic¸a˜o T (tese), que e´ o resultado de todo o processo dedutivo.
Feito isso, tem-se assegurada a validade da sentenc¸a H ⇒ T .
Portanto, numa demonstrac¸a˜o, para deduzir a tese, voceˆ tem a` disposic¸a˜o e pode usar nas argumen-
tac¸o˜es, quantas vezes forem necessa´rias, os seguintes elementos:
1. Hipo´tese(s);
2. Axiomas;
3. Definic¸o˜es;
4. Teoremas ja´ demonstrados;
5. Os passos da demonstrac¸a˜o que ja´ foram previamente provados;
6. As regras de infereˆncia e as te´cnicas de demonstrac¸a˜o que apresentaremos nos pro´ximos capı´tulos.
Chamamos premissa a qualquer dos quatro primeiros ı´tens. Em uma demonstrac¸a˜o, caso seja con-
veniente, tanto a tese, quanto qualquer dos quatro primeiros ı´tens podem ser substituı´dos por outras
sentenc¸as que lhes sejam equivalentes.
3Quem desejar recordar o que e´ um argumento, sugerimos que (re)leia a Subsec¸a˜o 2.4.1.
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6.1. O que e´ uma demonstrac¸a˜o?
(O raciocı´nio dedutivo)
Devido a qualidade dos exemplos de demonstrac¸a˜o que desejamos exibir, na˜o exemplificaremos
agora a definic¸a˜o de demonstrac¸a˜o que demos. Pedimos os leitores para aguardarem um pouco esses
exemplos ate´ a pro´xima sec¸a˜o.
Voltemos a falar sobre as demonstrac¸o˜es. Demonstrar e´ uma ato de persuasa˜o. As demonstrac¸o˜es sa˜o
como rituais indispensa´veis usados para provar resultados, o que garante que estes sa˜o va´lidos, mesmo
os que, a princı´pio, possamos na˜o acreditar ou sequer aceitar, como:
“A equac¸a˜o x4 + y4 = z4 na˜o possui soluc¸o˜es inteiras x, y, z na˜o-nulas”.
(Este resultado e´ um caso particular do famoso Teorema de Fermat, sobre o qual falaremos no
pro´ximo capı´tulo).
Por outro lado, mesmo considerando muito relativo o adjetivo ‘o´bvio’, ha´ tambe´m resultados ma-
tema´ticos ta˜o naturais de serem aceitos e, de fato, extremamente “o´bvios”, mas que, da mesma forma,
necessitam ser demonstrados. Por exemplo:
“Na˜o ha´ um nu´mero natural que seja maior que todos os outros (nu´meros naturais)”.
(A demonstrac¸a˜o desse resultado pode ser vista em um primeiro curso de Ana´lise Real. Vide, por
exemplo, [Lima, 2002], p.36).
Na˜o seria demais afirmar que na˜o ha´ Matema´tica sem demonstrac¸o˜es; elas compo˜em parte da estru-
tura lo´gica essencial do que e´ constituı´da a Matema´tica e da maneira como funciona.
Lamentamos, entretanto, a atitude de certos professores e autores de livros dida´ticos que parecem
desejar abolir definitivamente a palavra ‘demonstrac¸a˜o’ das salas de aula e dos livros, como se esse
deservic¸o pudesse contribuir de alguma maneira para a melhoria do ensino. Para estes, quando os re-
sultados enunciados na˜o sa˜o impostos como decretos, as demonstrac¸o˜es sa˜o, quase sempre, substituı´das
por frases do tipo ‘podemos observar’, ‘temos’, ‘e´ possı´vel verificar’, etc. Comparativamente, e´ como
se, de repente, professores de Portugueˆs deixassem de falar em verbos, ou professores de Quı´mica em
elementos quı´micos!
Ja´ outros, falam apenas de demonstrac¸o˜es quando ensinam Geometria Plana, o que pode transmitir
aos alunos a falsa impressa˜o que so´ na Geometria e´ possı´vel usar o me´todo dedutivo.
Na pro´xima sec¸a˜o daremos exemplos de demonstrac¸o˜es dentro de um sistema axioma´tico.
Agora, como prometido, finalizamos esta sec¸a˜o provando que a ‘matema´gica’ apresentada realmente
funciona, e porqueˆ funciona.
Vamos por passos:
1) Suponha que a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} seja o nu´mero de dias da semana que voceˆ gosta de passear;
2) Multiplique esse nu´mero por 2: 2× a;
3) Adicione 5: (2× a) + 5;
4) Multiplique o resultado por 50: [(2× a) + 5]× 50 = (100× a) + 250 = a00 + 250;
5) Se voceˆ ja´ fez aniversa´rio nesse ano de 2006, some 1756 (o outro caso prova-se da mesma
maneira):
(a00 + 250) + 1756 = a00 + (250 + 1756) = a00 + 2006;
6) Finalmente, para completarmos nossa demonstrac¸a˜o, subtraia o ano do seu nascimento do
resultado final:
Se N for o ano do seu nascimento e sua idade for representada pelo nu´mero de dois dı´gitos bc, temos
(a00 + 2006)−N = a00 + (2006−N) = a00 + bc = abc.
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Capı´tulo 6. Desvendando as demonstrac¸o˜es
Portanto, o primeiro dı´gito do resultado final, a, e´ a quantidade de dias da semana que voceˆ gosta de
passear, e o nu´mero bc, formado pelos outros dois dı´gitos, e´ a sua idade. Pronto! Ale´m de descobrirmos