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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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as demonstrac¸o˜es utilizando argumentos de
reduc¸a˜o a um absurdo, sera´ necessa´rio saber formular a negac¸a˜o de frases matema´ticas. No aprendizado
da Matema´tica, tambe´m e´ muito importante saber negar definic¸o˜es e sentenc¸as.
A negac¸a˜o de uma sentenc¸a P e´ a sentenc¸a ‘na˜o P ’, cuja notac¸a˜o e´ ˜P . Definimos o valor lo´gico
da sentenc¸a ˜P como o oposto do valor lo´gico da sentenc¸a P .
Observe que, conforme o Princı´pio da Na˜o-contradic¸a˜o apresentado na Sec¸a˜o 2.1, temos:
P e´ verdadeiro ⇒ ˜P e´ falso
˜P e´ verdadeiro ⇒ P e´ falso.
Consequ¨entemente, ou P e´ verdadeiro ou ˜P e´ verdadeiro, excludentemente. Da mesma forma, ou
P e´ falso ou ˜P e´ falso, excludentemente.
Comecemos aprendendo como formular a negac¸a˜o de sentenc¸as conjuntivas e disjuntivas. Para isso
pedimos que preencha com atenc¸a˜o as seguintes tabelas-verdade:
131
Capı´tulo 9. Quando e´ necessa´rio saber negar (aprendendo a negar na Matema´tica)
P Q P ∨Q ˜(P ∨Q) ˜P ˜Q ˜P ∧ ˜Q
V V
V F
F V
F F
P Q P ∧Q ˜(P ∧Q) ˜P ˜Q ˜P ∨ ˜Q
V V
V F
F V
F F
Se voceˆ preencheu corretamente as tabelas-verdade, poˆde constatar que
˜(P ∧Q) ≡ ˜P ∨ ˜Q e ˜(P ∨Q) ≡ ˜P ∧ ˜Q,
ou seja,
‘a negac¸a˜o da disjunc¸a˜o (de duas sentenc¸as) e´ a conjunc¸a˜o das negac¸o˜es (destas sentenc¸as)’
e que
‘a negac¸a˜o da conjunc¸a˜o (de duas sentenc¸as) e´ a disjunc¸a˜o das negac¸o˜es (destas sentenc¸as)’.
As equivaleˆncias anteriores sa˜o chamadas Leis de De Morgan da Lo´gica. Essas leis tambe´m podem
ser provadas usando-se as propriedades de conjuntos complementares (Vide Exercı´cio 3).
Por exemplo, a negac¸a˜o da proposic¸a˜o
P8:
√
3 + 3
√
2 > 3
√
3 + 3
√
2 e
√
3 +
√
2 < 3
√
3 + 3
√
2
apresentada na Sec¸a˜o 2.1 e´
˜P8:
√
3 + 3
√
2 ≤ 3√3 + 3√2 ou 3√3 + 3√2 ≥ √3 +√2.
Ja´ a negac¸a˜o da sentenc¸a disjuntiva
P ∨Q: A soma dos nu´meros e+ pi e´ irracional ou e´ maior do que 5, 86
e´
˜P ∧ ˜Q: A soma dos nu´meros e+ pi e´ racional e e´ menor do que ou igual a 5, 86.
Vamos agora aprender a negac¸a˜o de sentenc¸as envolvendo os quantificadores universal e existencial.
Para esta finalidade vamos fazer uso da Linguagem de Conjuntos.
Dado um conjunto A contido num conjunto universo U, chamamos conjunto complementar de A
(em relac¸a˜o a U) ao conjunto
AC={x ∈ U; x /∈ A}.
Na˜o e´ difı´cil provar que valem as propriedades
1) A = U⇔ AC = ∅
2) A = ∅⇔ AC = U.
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Ora, seja P (x) uma sentenc¸a aberta que depende de uma varia´vel x pertencente a um conjunto
universo U, e, denotemos
P={x ∈ U; P (x) e´ va´lida }.
Logo,
{x ∈ U; P (x) na˜o e´ va´lida }=PC .
Como ja´ vimos na Sec¸a˜o 2.1,
‘∃x ∈ U;P (x) vale’ ⇔ ‘P 6= ∅’
e negar a sentenc¸a acima e´ afirmar que P = ∅, ou seja, que PC = U. Esta u´ltima igualdade equivale
afirmar que ‘∀x ∈ U, P (x)′ na˜o vale. Diante do exposto, temos a seguinte negac¸a˜o
˜(∃x ∈ U;P (x) vale) e´ (∀x ∈ U, P (x) na˜o vale).
Semelhantemente, e´ fa´cil verificar que
˜(∀x ∈ U, P (x) vale) e´ (∃x ∈ U; P (x) na˜o vale).
Por exemplo, as negac¸o˜es das proposic¸o˜es que aparecem na Sec¸a˜o 2.1:
P3: Existe x ∈ R positivo tal que x < 0, 1 e x2 > 10.
e
P6: Para todo x ∈ R, temos 2x2 + 8x− 10 < 0 ou x ≥ 1 ou x ≤ −5.
sa˜o, respectivamente,
˜P3: Para todo x ∈ R positivo temos x ≥ 0, 1 ou x2 ≤ 10.
e
˜P6: Existe x ∈ R, tal que 2x2 + 8x− 10 ≥ 0 e x < 1 e x > −5.
RESUMO:
1. A negac¸a˜o de uma disjunc¸a˜o ‘P ou Q’ e´ a conjunc¸a˜o ‘na˜o P e na˜o Q’;
2. A negac¸a˜o de uma conjunc¸a˜o ‘P e Q’ e´ a disjunc¸a˜o ‘na˜o P ou na˜o Q’;
3. A negac¸a˜o de ‘existe x que goza da propriedade P ’ e´ ‘dado x, ele na˜o goza da propriedade P ’,
‘para todo x, ele na˜o goza da propriedade P ’, ‘qualquer que seja o x, ele na˜o goza da propriedade
P ’;
4. A negac¸a˜o de ‘dado x que goza da propriedade P ’, ‘para todo x que goza da propriedade P ’,
‘qualquer que seja x que goza da propriedade P ’ e´ ‘existe x que na˜o goza da propriedade P ’.
5. RESUMO DE (3) e (4) :
‘A negac¸a˜o transforma o quantificador universal em quantificador existencial, e vice-versa’.
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Capı´tulo 9. Quando e´ necessa´rio saber negar (aprendendo a negar na Matema´tica)
6. A negac¸a˜o dupla, isto e´, a negac¸a˜o da negac¸a˜o de uma sentenc¸a e´ a pro´pria sentenc¸a: ˜˜P = P .
Finalizemos esta sec¸a˜o, encontrando a negac¸a˜o de uma sentenc¸a implicativa.
Vimos que uma sentenc¸a condicional “Se H , enta˜o T” e´ va´lida, se todo elemento que satisfizer a
hipo´tese H , cumpre necessariamente a tese T e, reciprocamente, se todo elemento que satisfizer a
hipo´tese H cumprir a tese T , enta˜o a sentenc¸a H ⇒ T e´ verdadeira. A negac¸a˜o da sentenc¸a “Se
H , enta˜o T” e´ ‘existe um elemento que satisfaz a hipo´tese H e na˜o cumpre a tese T ’.
Na Lo´gica Formal, este fato e´ afirmado da seguinte maneira
˜(H → T ) ≡ H ∧ ˜T .
Por exemplo, a negac¸a˜o do Teorema de Pita´goras e´:
Existe um triaˆngulo que e´ retaˆngulo, mas que o quadrado da medida da hipotenusa e´ diferente da
soma dos quadrados das medidas de seus catetos.
Mais uma vez ressaltamos, que o processo de escrever a negac¸a˜o de uma frase matema´tica na˜o e´ um
processo automa´tico. A`s vezes e´ necessa´rio reescrever toda frase de maneira diferente da forma original,
para tornar mais fa´cil a formulac¸a˜o de sua negac¸a˜o. Voceˆ vai perceber este fato fazendo os exercı´cios a
seguir.
EXERCI´CIOS:
1. Na Linguagem Matema´tica, como seria a negac¸a˜o da frase
“Todo gato e´ pardo”?
2. Seja P uma sentenc¸a. O que pode-se afirmar sobre o valor lo´gico de P quando:
(a) A negac¸a˜o de P for verdadeira?
(b) A negac¸a˜o da negac¸a˜o de P for verdadeira?
3. (a) Usando as seguintes propriedades do complementar de conjuntos
(A ∪B)C=AC ∩BC e (A ∩B)C=AC ∪BC ,
tambe´m conhecidas como Leis de DeMorgan da Teoria de Conjuntos, mostre as Leis de
DeMorgan da Lo´gica que apresentamos neste capı´tulo.
(b) Usando que (AC)C=A, mostre que a negac¸a˜o dupla de uma sentenc¸a e´ a pro´pria sentenc¸a.
4. Prove que:
(a) ˜(H → T ) ≡ H ∧ ˜T .
(b) (P → (Q ∧R))⇒ (˜(Q ∧R)→ ˜P )
(c) ˜(P ↔ Q)⇔ (˜(P ∧Q) ∨ (P ∧ ˜Q)).
5. Deˆ exemplos de sentenc¸as matema´ticas equivalentes em que aparec¸am negac¸o˜es de sentenc¸as.
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6. Escreva a negac¸a˜o das seguintes sentenc¸as lo´gicas:
(a) ˜(P ∧Q) ∨ (P ∨ ˜Q)).
(b) ˜(P ∧Q)→ P (Sugesta˜o: Exercı´cio 4-a).
(c) (˜P → ˜Q) ∧ (P → Q) (Sugesta˜o: Exercı´cio 4-a).
7. Escreva a negac¸a˜o matema´tica de cada sentenc¸a a seguir, sem utilizar a palavra ‘na˜o’.
(a) Existe n ∈ N tal que n < 87.
(b) Todo nu´mero da forma 22n + 1 e´ primo para n ∈ N.
(c) Existem sete nu´meros naturais cujos quadrados esta˜o no intervalo (5, 26).
(d) Existem nu´meros naturais cujos quadrados esta˜o no intervalo (5, 26).
(e) Seja x ∈ R. Tem-se x2 < 3⇒ −√3 < x < √3.
(f) Todo nu´mero racional e´ maior do que ou igual a
2
9
.
(g) Dado x ∈ R, existe n ∈ N tal que n > x. (Propriedade Arquimediana dos Nu´meros Reais)
(h) Existe x ∈ R tal que x > 89 ou x2 ≤ 34.
(i) Se Q e´ um quadrila´tero enta˜o Q tem perı´metro maior do que cinco.
(j) O conjunto C na˜o possui elementos.
(k) Se x4 − 56x+ x7 ≤ −9x3, enta˜o x ≥ 7 ou x < 984.
(l) O conjunto C possui exatamente sete elementos.
(m) O conjunto C possui pelo menos sete elementos.
(n) (x > 0 e y < 0) ou (z < 0 e w > 0)
(o) Existe um nu´mero real K > 0 tal que |un| ≤ K para todo nu´mero natural n. Aqui,
{u1, u2, u3, ...} e´ uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais.
(p) O produto de duas matrizes Am×2 e B2×n e´ uma matriz de ordem m× n.
(q) ∀y ∈ Z, ∃x ∈ N tal que y2 = x.
(r) ∀x ∈ R e ∀ε > 0, ∃r 6∈ Q tal que |x− r| < ε.
(s) (No exercı´cio a seguir, {a, a1, a2, a3, . . . } e´ uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais.)
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ |an − a| < ε.
(t) ∀ε > 0, ∃δ > 0; |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε, para todo x, y ∈ D(f) ⊂ R. (Neste
caso, f e´ uma func¸a˜o real e os nu´meros x e y esta˜o no domı´nio D(f)