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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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Histo´ria em civilizac¸o˜es e e´pocas distintas, o nosso e´ simplesmente fenomenal. Podemos
representar qualquer nu´mero empregando apenas dez sı´mbolos (que sa˜o os algarismos), sem falar-
se na facilidade de se operar usando essa notac¸a˜o. Sem du´vida, essa foi uma ide´ia que trouxe
grande avanc¸o para a humanidade. Quem ainda na˜o se alertou para esse fato tente, por exem-
plo, sem recorrer ao nosso sistema de numerac¸a˜o indo-ara´bico, multiplicar os seguintes nu´meros
escritos em algarismos romanos: MDCLXI e XXXIII .
4. Muitas vezes, e´ necessa´rio fazer a negac¸a˜o de uma frase matema´tica (dedicamos todo Capı´tulo 9
para esta finalidade) e, consequ¨entemente, denotar essa negac¸a˜o. No caso das notac¸o˜es, usamos
um pequeno trac¸o cortando um sı´mbolo para denotar a negac¸a˜o do que aquele sı´mbolo representa.
Tendo essa convenc¸a˜o em mente, escreva o que cada sı´mbolo a seguir significa:
i) 6∈ iv) ≯ vii) 6⊃
ii) 6⊂ v) � viii) 6=
iii)@ vi) � ix) 6≡
15
Capı´tulo 1. A notac¸a˜o matema´tica
5. Ha´ va´rias formas interessantes de escrever um nu´mero como uma “soma infinita” (se´rie infinita)
ou um “produto infinito” de termos. Use os sı´mbolos de somato´rio (
∑
) ou de produto´rio (
∏
)
apenas uma u´nica vez, para reescrever cada expressa˜o a seguir:
i) e = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+ . . .
ii)
pi2
6
=
1
12
+
1
22
+
1
32
+ . . .
iii) pi = 2
√
3×
[
1−
(
1
3× 3
)
+
(
1
32 × 5
)
−
(
1
33 × 7
)
+ . . .
]
iv)
pi
2
=
2
1
· 2
3
· 4
3
· 4
5
· 6
5
· 6
7
· . . .
Foi o matema´tico ingleˆs John Wallis (vide Nota de Rodape´ 8 da Sec¸a˜o 1.2) quem, no seu famoso
trabalho Arithmetica Infinitorum (1655), deu essa sensacional expressa˜o para pi, que posterior-
mente fascinou o jovem Newton15
v) Ja´ a expressa˜o
2
pi
=
√
2
2
·
√
2 +
√
2
2
·
√
2 +
√
2 +
√
2
2
· . . .
foi desenvolvida pelo matema´tico franceˆs Franc¸ois Vie`te 16 (1540-1603). Em 1593, num estudo
sobre Trigonometria, Vie`te descobriu essa curiosa expressa˜o que envolve um produto infinito de
somas e raı´zes quadradas de 2.
6. CASOS VERI´DICOS:
(a) O autor de um livro do Ensino Me´dio escreveu que o conjunto-soluc¸a˜o de uma certa equac¸a˜o
e´
{x|x ∈ R}.
Sera´ que na˜o ha´ uma maneira mais simples de representar esse conjunto? Deˆ sua opinia˜o.
(b) Ja´ outro conjunto-soluc¸a˜o foi escrito como
{∀x ∈ R}(Sic).
Analise criticamente o descuido ao se escrever este conjunto.
15Sir Isaac Newton (1642-1727), ce´lebre matema´tico, filo´sofo e fı´sico ingleˆs, considerado um dos mais brilhantes cientistas
de todos os tempos. Principal responsa´vel por uma concepc¸a˜o cientı´fica cla´ssica do mundo, fundou a Teoria Gravitacional e
deu enormes contribuic¸o˜es a` O´ptica e a` Mecaˆnica. Muito conhecido no Ensino Me´dio por suas treˆs leis dos movimentos dos
corpos, pelo Teorema Binomial e por uma unidade de medida de forc¸a que levam seu nome, tambe´m foi um dos criadores do
Ca´lculo Diferencial e Integral.
16Deu significativas contribuic¸o˜es a` A´lgebra.
16
1.2. Algumas das notac¸o˜es mais utilizadas
1.2.5 Curiosidades sobre o nu´mero pi
O nu´mero pi e´, sem du´vidas, a constante mais conhecida e badalada de toda Matema´tica. E´ um nu´mero
irracional que vale aproximadamente 3, 1415926 e representa o valor da raza˜o do comprimento de uma
circunfereˆncia pelo comprimento do seu diaˆmetro.
1. Ate´ na Bı´blia ha´ refereˆncias sobre pi, no Velho Testamento: Primeiro Livro dos Reis 7 : 23 e no
Segundo Livro das Croˆnicas 4 : 2.
2. Usando as constantes e os sı´mbolos matema´ticos mais conhecidos, Euler encontrou uma expressa˜o
considerada das mais belas de toda Matema´tica: eipi + 1 = 0.
3. Quanto mais se avanc¸a nos estudos, mais percebe-se como e´ incrı´vel que as constantes e e pi
aparec¸am inesperadamente na descric¸a˜o dos mais diversos fenoˆmenos matema´ticos e da Natureza.
Figura 1.1: A data de nascimento do autor na expressa˜o decimal de pi. Certamente e´ possı´vel encontrar
tambe´m a sua. Vide http://www.atractor.pt
4. Ha´ va´rias formas de escrever pi usando expresso˜es que envolvem somas ou produtos infinitos de
termos. Dentre elas, algumas sa˜o bastante extravagantes, chegando a ser “arrogantes” (o que na˜o
tira seu fascı´nio), como a que segue:
pi =
(
12×
∞∑
n=0
(−1)n × (6n)!
(n!)3(3n)!
× 13591409 + 545140134n
6403203n+
3
2
)−1
([Blatner, 1997], p.71)
17
Capı´tulo 1. A notac¸a˜o matema´tica
Dependendo do nu´mero n de termos que se fac¸a variar, e da capacidade de fazer ca´lculos, ex-
presso˜es como as anteriores podem ser usadas para encontrar boas aproximac¸o˜es para o valor de
pi.
Algumas expresso˜es, usando menos termos, podem fornecer excelentes aproximac¸o˜es de pi, bem
mais rapidamente que outras. As que apresentamos, apesar de sua importaˆncia histo´rica, esta˜o
longe de serem as melhores para este fim.
5. Veja um me´todo mnemoˆnico para gravar uma excelente aproximac¸a˜o de pi usando frac¸a˜o e apenas
os treˆs primeiros nu´meros ı´mpares: escreva 113355 e separe esse nu´mero em dois outros de treˆs
dı´gitos, contanto da esquerda para a direita. Agora e´ so´ escrever o quociente
355
113
≈ 3, 1415929.
6. Os pitago´ricos, seguidores das ide´ias de Pita´goras (Vide Nota de rodape´ 1 da Sec¸a˜o 4.1), cul-
tuavam e “viam” nu´meros em toda parte. Hoje, talvez como um ressurgimento moderno e incon-
sciente do que concebiam os antigos pitago´ricos, e´ possı´vel encontrar certas pa´ginas eletroˆnicas
de verdadeiros adoradores do nu´mero pi. Ha´ uma delas na qual os candidatos apenas sa˜o admiti-
dos caso consigam recitar, de cor, e em lugares ou situac¸o˜es exceˆntricas, as 100 primeiras casas
decimais de pi.
E´ possı´vel encontrar um conjunto de diversas pa´ginas eletroˆnicas sobre o nu´mero pi, reunidas no
chamado
“The Pi Web Ring”: http://members.aol.com/Pimath314/webring.html.
1.3 O alfabeto grego
Para escrever um texto matema´tico, na˜o e´ preciso fazer nenhum curso de Grego, mas e´ aconselha´vel
saber o nome das letras do alfabeto grego que frequ¨entemente sa˜o usadas para batizar objetos mate-
ma´ticos. Em muitos casos, as letras do nosso alfabeto na˜o seriam suficientes para este propo´sito e,
assim, conservamos ainda hoje essa tradic¸a˜o, como uma homenagem aos antigos gregos que tanto de-
senvolveram a Matema´tica. As letras gregas tambe´m aparecem na Fı´sica, na Quı´mica e em outras partes
da cieˆncia. Daı´, a importaˆncia de conhecer esse alfabeto e saber o nome de suas letras.
Tabela 1.4: O Alfabeto Grego
Minu´sc. Maiu´sc. Escreve Minu´sc. Maiu´sc. Escreve
/leˆ/ /leˆ/
α A
Alfa
ν N
Nu
/alfa/ /ni∗/ ou /nu∗/
β B
Beta
ξ Ξ
Ksi
/beta/ /kic¸i/
γ Γ
Gama
o O
Omicron
/ga´ma/ /o´micron/
δ ∆
Delta pi
Π
Pi
/de´lta/ Variante: $ /pi/
Continua na pro´xima pa´gina
18
1.4. Uma viagem pelas notac¸o˜es do passado
Minu´sc. Maiu´sc. Escreve Minu´sc. Maiu´sc. Escreve
/leˆ/ /leˆ/
²
E
E´psilon ρ
P
Roˆ
Variante: ε /e´pcilon/ Variante: % /roˆ/
ζ Z
Zeta σ
Σ
Sigma
/dze´ta/ Variante: ς /sı´gma/
η H
Eˆta
τ T
Tau
/eˆta/ /ta´u/
θ
Θ
Teta
υ Υ
Upsilon
Variante: ϑ /te´ta/ /ı´psilon/
ι I
Iota φ
Φ
Fi
/io´ta/ Variante: ϕ /fi/
κ K
Kapa
χ X
Khi
/ca´pa/ /ki/
λ Λ
Lambda
ψ Ψ
Psi
/laˆmbda/ /psı´/
µ M
Mu
ω Ω
Oˆmega
/mi∗/ ou /mu∗/ /oˆmega/
∗Pronu´ncia aproximada. O “u” deve ser lido como o “u¨” do Alema˜o ou como o “u” do Franceˆs.
1.4 Uma viagem pelas notac¸o˜es do passado
Olhe para as expresso˜es abaixo:
R.c.b72.m.R.q.1088c
e
R.c.bR.q.4352.p.16c
O que voceˆ acha que significam?
Pois era dessa forma que na Europa do se´culo XV I algumas pessoas escreviam, respectivamente, as
raı´zes
3
√
72−√1088 e 3
√√
4352 + 16.
Naquela e´poca, usava-se R representando