A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
198 pág.
Um convite à matemática_Daniel C Filho

Pré-visualização | Página 50 de 50

1.
8
Exerc´ıcio 3: Em particular, essa definic¸a˜o da´ sentido a definic¸a˜o de arranjo para o
caso Ann =
n!
(n− n)! .
Exerc´ıcio 4: (b) Usam-se as palavras raio e diaˆmetro para representar o comprimento
do raio e o comprimento do diaˆmetro, respectivamente. (c) Formalmente sim. As
palavras hipotenusa e catetos sa˜o usadas com o sentido de comprimento da hipotenusa
e comprimento dos catetos, respectivamente.
Exerc´ıcio 5: (a) Por exemplo: 10 = 2.5 e 10 = 1.2.5.(b) Um nu´mero e´ composto se
na˜o e´ primo nem e´ ±1.(c) Seguindo essa definic¸a˜o, os nu´meros ±1 na˜o sa˜o primos nem
compostos.
CAPI´TULO 4
SEC¸A˜O 4.1
Exerc´ıcio 1: (a) Sim; (b) Sim;(c) Verdadeira ou falsa. Verdadeira
Exerc´ıcio 2: Para no´s, todo teorema e´ verdadeiro.
Exerc´ıcio 3: Sim, pois e´ uma sentenc¸a condicional que possui uma demonstrac¸a˜o:
1 = 0⇒ 1 + 2 = 0 + 2⇒ 3 = 2.
Exerc´ıcio 4: Sim, vide o exerc´ıcio anterior.
Exerc´ıcio 5: Basta que a proposic¸a˜o antecedente seja verdadeira e a consequente seja
falsa.
Exerc´ıcio 6: (a) Hipo´tese: A soma dos algarismos de um nu´mero e´ divis´ıvel por 9.
Tese: O nu´mero e´ divis´ıvel por 9; (b) Hipo´tese: Uma matriz quadrada possui uma linha
de elementos nulos ou uma coluna de elementos nulos. Tese: O determinante da matriz
e´ nulo; (c) Hipo´tese: Treˆs pontos sa˜o na˜o-colineares. Tese: Treˆs pontos determinam
um c´ırculo. “Se treˆs pontos sa˜o na˜o-colineares, enta˜o eles determinam um c´ırculo”; (d)
Hipo´tese: Um ponto do espac¸o na˜o pertence a um plano. Tese: Por um ponto pode-se
trac¸ar um e somente um plano paralelo a um outro plano.“Se um ponto do espac¸o na˜o
pertence a um plano, enta˜o por esse ponto pode-se trac¸ar um plano paralelo ao primeiro”.
(e) Hipo´tese: Uma figura geome´trica e´ um triaˆngulo. Tese: O comprimento de um dos
lados da figura geome´trica e´ menor do que a soma dos comprimentos dos outros lados.
“Se uma figura geome´trica e´ um triaˆngulo, enta˜o o comprimento de um dos lados e´
menor do que a soma dos comprimentos dos outros lados”;(f) Hipo´tese: Um so´lido e´
um prisma. Tese: O volume do so´lido e´ o produto da a´rea da base pela altura. “Se
um so´lido e´ um prisma, enta˜o seu volume e´ o produto da a´rea da base pela altura”;(g)
Hipo´tese: a, b ∈ R. Tese: sen(a + b) = senacosb + senbcosa. “Se a, b ∈ R, enta˜o
sen(a + b) = senacosb + senbcosa”; (h) Hipo´tese: Uma figura geome´trica plana e´ um
triaˆngulo. Tese: A medida de um dos lados de uma figura geome´trica plana e´ menor do
que a soma e maior do que o valor absoluto da diferenc¸a das medidas dos outros dois
lados.“Se uma figura geome´trica plana e´ um triaˆngulo, enta˜o a medida de um dos lados
e´ menor do que a soma e maior do que o valor absoluto da diferenc¸a das medidas dos
outros dois lados”;(i) Hipo´teses: n ∈ Z e n = 5. Tese: 22n +1 na˜o e´ um nu´mero primo.
“Se n ∈ Z e n = 5, enta˜o 22n+1 na˜o e´ um nu´mero primo”;(j) Hipo´tese: Duas retas sa˜o
paralelas. Tese: Um so´ plano passa por duas retas. “Se duas retas sa˜o paralelas, enta˜o
por elas passa um so´ plano”;(k) Hipo´tese: Um triaˆngulo e´ retaˆngulo. Tese: O triaˆngulo
9
existe. “Se um triaˆngulo e´ retaˆngulo, enta˜o ele existe”; (l) Hipo´tese: Um nu´mero e´ pi.
Tese: O nu´mero na˜o e´ racional. “Se um nu´mero e´ pi, enta˜o ele e´ irracional”.
Exerc´ıcio 9: (b) Contra-exemplo: p = 6 m = −3 e n = 2; (c) Usaremos a notac¸a˜o p|r
para denotarmos que um nu´mero p divide o nu´mero r. Como p|m2, pela Propriedade
Fundamental dos Nu´meros Primos (PFNP) tem-se p|m ou p|m. Logo p|m. O caso k = 3
recai nesse caso; (d) Suponhamos que a igualdade ocorra. Ora, 3|3p, consequ¨entemente,
3|10p. Como 10p = 2p.5p, pelo PFNP 3|2p ou 3|5p. O item (c) assegura que 3|2 ou 3|5,
o que na˜o e´ verdade. Portanto, nossa suposic¸a˜o inicial de que a igualdade ocorra na˜o
e´ poss´ıvel. Agora, suponha que a outra identidade ocorra. Como 2|4q3, temos 2|p3. O
item (c) implica em 2|p, ou seja, que p e´ mu´ltiplo de 2. Logo p = 2k, para algum k ∈ Z.
Substituindo esse valor de p na igualdade e simplificando, obtemos q3 = 2k3. Racioc´ınio
ana´logo nos leva a concluir que q e´ tambe´m mu´ltiplo de 2.
Exerc´ıcio 10: (b) Os resultados sa˜o teoremas, na˜o sa˜o definic¸o˜es, da´ı precisam ser
demonstrados.
SEC¸A˜O 4.2
Exerc´ıcio 1: (a) Dois nu´meros terminarem em 76 e´ condic¸a˜o suficiente para que
o produto desses nu´meros termine em 76. O produto de dois nu´meros terminar em
76 e´ condic¸a˜o necessa´ria para que esses nu´meros terminem em 76;(b) O conjunto
{a, b, c, d, e} ser uma sequ¨eˆncia de cinco nu´meros inteiros consecutivos na˜o-nulos que
satisfac¸am a identidade a2 + b2 + c2 = d2 + e2 e´ uma condic¸a˜o suficiente para que
{a, b, c, d, e} = {10, 11, 12, 13, 14}. O conjunto {a, b, c, d, e} ser igual a {10, 11, 12, 13, 14}
e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para que {a, b, c, d, e} seja uma sequ¨eˆncia de cinco nu´meros
inteiros consecutivos na˜o-nulos que satisfac¸am a identidade a2 + b2 + c2 = d2 + e2;(c)
Uma matriz quadrada de ordem 3 possuir duas colunas proporcionais e´ uma condic¸a˜o
suficiente para que seu determinante seja nulo. O determinante de uma matriz quadrada
de ordem 3 ser nulo e´ condic¸a˜o necessa´ria para que essa matriz possua duas colunas
proporcionais;(d) Uma condic¸a˜o suficiente para que os pontos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3)
sejam colineares e´ que
y2 − y1
x2 − x1 =
y3 − y2
x3 − x2 .
Uma condic¸a˜o necessa´ria para que a igualdade
y2 − y1
x2 − x1 =
y3 − y2
x3 − x2
ocorra e´ que os pontos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) sejam colineares;(e) Uma condic¸a˜o
suficiente para que um polinoˆmio tenha n raizes complexas e´ que tenha grau n. Uma
condic¸a˜o necessa´ria para que um polinoˆmio tenha grau n e´ que esse polinoˆmio tenha
n ra´ızes complexas;(f) Uma condic¸a˜o suficiente para que o nu´mero formado pelos dois
u´ltimos algarismos de um nu´mero seja divis´ıvel por 4 e´ que esse nu´mero seja divis´ıvel
por 4. Uma condic¸a˜o necessa´ria para que um nu´mero seja divis´ıvel por 4 e´ que o
nu´mero formado pelos seus dois u´ltimos algarismos seja divis´ıvel por 4;(g) Uma condic¸a˜o
suficiente para que um pol´ıgono possa ser inscrito em um c´ırculo e´ que esse pol´ıgono seja
regular. Uma condic¸a˜o necessa´ria para que um pol´ıgono seja regular e´ que ele possa ser
inscrito em um c´ırculo.
10
Exerc´ıcio 2: (a) Se um nu´mero e´ divis´ıvel por 3, enta˜o ele e´ divis´ıvel por 2 e por
3 simultaneamente; (b) Se um triaˆngulo e´ retaˆngulo, enta˜o a altura correspondente
ao ve´rtice do aˆngulo reto e´ a me´dia proporcional ou geome´trica das projec¸o˜es dos
catetos sobre a hipotenusa; (c) Se um triaˆngulo tem dois aˆngulos congruentes enta˜o ele e´
iso´sceles; (d) Se uma matriz quadrada tem duas colunas iguais, enta˜o seu determinante
e´ nulo;(e) Se um nu´mero e´ da forma n4 + 4, para n ≥ 2, enta˜o ele na˜o e´ primo;(f) Se
dois nu´meros terminam em 1, enta˜o o produto deles tambe´m termina em 1.
Exerc´ıcio 3: O nu´mero n4 + 4 e´ primo para algum n ∈ N ⇒ n = 1; Uma condic¸a˜o
suficiente para que n = 1 e´ que o nu´mero n4+4 seja primo para algum n ∈ N; O nu´mero
n ser 1 e´ condic¸a˜o necessa´ria para que o nu´mero n4 + 4 seja primo para algum n ∈ N;
Um nu´mero da forma n4 + 4, n ∈ N e´ primo, apenas para n = 1; O u´nico caso em que
n4 + 4, n ∈ N e´ primo e´ quando n = 1.
SEC¸A˜O 4.3
Exerc´ıcio 1: Na˜o. O teorema rec´ıproco pode na˜o ser va´lido.
Exerc´ıcio 2: (a) Se duas retas sa˜o paralelas, enta˜o a medida dos aˆngulos
correspondentes gerados por uma reta transversal sa˜o iguais; (b) Todo nu´mero ı´mpar e´
da forma 4n + 3; (c) Uma condic¸a˜o necessa´ria para que os nu´meros a, b e c satisfac¸am
a = b 6= 0 e c = 0 e´ que uma equac¸a˜o do tipo ax2 + by2 + cxy + dx+ ey + f represente
uma circunfereˆncia no plano cartesiano; (d)Um nu´mero formado pelos treˆs algarismos
de um nu´mero inteiro e´ divis´ıvel por 8 se o nu´mero inteiro for divis´ıvel por 8; (e) Uma
condic¸a˜o suficiente para que um nu´mero