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Matemática Financeira_Curso completo

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Amilton Dalledone Filho, M.Sc.
JUROS
	A cessão de bens de qualquer natureza para uso temporário por outra pessoa faz-se, normalmente, mediante o pagamento de uma remuneração ou indenização ao cessionário. Os bens cedidos podem ser representados por uma quantia em moeda ou capital circulante como também por imóveis, máquinas, patentes, etc. No primeiro caso a remuneração recebida é chamada de juros e, nos outros casos, de aluguel, arrendamento, royalt.
	Para clareza de linguagem, são usadas diferentes palavras para caracterizar a remuneração de cada uma dessas modalidades de cessão de bens, mas do ponto de vista econômico não há diferença entre o empréstimo de capital circulante ou de capital fixo; em um caso ou no outro, quem toma emprestado o faz para usufruir do bem cedido e auferir lucro, benefício ou vantagens decorrentes de seu uso durante um prazo convencionado.
	Podemos então definir juros como sendo a remuneração do capital emprestado ou de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro, por um determinado período de tempo.
	Um fator importante a se considerar na definição do valor dos juros é a liquidez que a operação terá, isto é, quanto maior a liquidez menor os juros e vice-versa. Vale salientar também, o risco que o investidor pretende correr, isto é, quanto menor o risco menor serão os juros a serem cobrados e vice-versa.
TAXA DE JUROS
	Na formação de uma taxa de juros são considerados pelos operadores de mercado:
1- Custo do dinheiro -	Valor que será pago a quem deixar seus recursos aplicados em determinada instituição. Também chamado de custo de captação.
	Um fator importante que define o custo do dinheiro é o mercado, isto é, quanto maior a oferta menor o custo e vice versa.
2- Spread -	Valor que engloba o lucro pretendido, despesas administrativas, impostos e o risco da operação, que é a possibilidade do tomador não honrar seus compromissos.
Conceito:	Taxa de juros é a razão entre os juros pagos (ou recebidos) no fim de um período de tempo e o capital tomado (ou aplicado) inicialmente.
	Podemos dizer, em outras palavras, que taxa de juros (%) é a forma de representação do valor dos juros ($), de modo que haja uma leitura única da mesma informação.
	A taxa de juros estará sempre relacionada a um período de tempo. (Ex.: dia, mês, semestre, ano, etc...).
OBTENÇÃO DE UMA TAXA DE JUROS
Conforme a definição de que taxa de juros é a razão entre o valor pago como juros e o capital emprestado/aplicado, temos que: 
	
 
	
	Onde: i = taxa de juros
 J = juros
 C = capital
OU
	
	
	Onde: i = taxa de juros
 M = montante
 C = Capital
Ex.:	Uma pessoa emprestou $ 1.000,00 e irá pagar $ 1.350,00 ao final de certo período. Qual a taxa de juros da operação ?
Dados:
Capital = $ 1.000,00 i = 350 = 0,35 x 100 = 35 %
Montante = $ 1.350,00 1000
Juros = $ 350,00 
						ou
 i = 1.350 - 1 = 0,35 x 100 = 35 %
 1.000
Resp.: A taxa de juros da operação é de 35 %.
01.	Uma instituição financeira empresta $ 2.340,00, cobrando um mês após $ 2.772,90. Qual foi a taxa de juros cobrada?
02. Ao aplicarmos $ 48.400,00 recebemos de juros o valor de $ 1.331,00, qual será a taxa de juros ganha na aplicação?
FORMA DE REPRESENTAÇÃO
1. CENTESIMAL %
Representa os juros de cem unidades de capital durante o período de tempo a que a taxa se referir. Esta forma é universalmente conhecida, sendo, portanto, a mais utilizada. Ex.: 10 % a.m., 0,8 % a.d., 169 % a.a.
2. UNITÁRIA
Representa, nas mesmas condições anteriores a taxa de juros de uma unidade de capital. 
Ex.: 10% = 10 = 0,10.
 100
Obs.:	A taxa de juros será sempre indicada na forma centesimal no enunciado ou na resposta dos exercícios quando esta for, respectivamente, um dado ou uma incógnita, é sempre associada a unidade de tempo considerada. Deverá ser utilizada na forma unitária quando inserida nas fórmulas. 
Exemplo:
	Forma Centesimal
	Forma Unitária
	20 %
	0,20
	2 %
	0,02
	0,02 %
	0,0002
	0,2 %
	0,002
	200 %
	2
	2000 %
	20
Obs.:	Para transformarmos uma taxa centesimal em unitária, dividimos a primeira por 100 (cem) e vice-versa.
FORMA DE CÁLCULO PARA TRANSFORMAÇÃO DAS TAXAS
	
	Para utilizarmos as taxas, às vezes, é necessário transformá-las para um período de tempo que coincida com o prazo considerado ou ainda que transformemos de taxa nominal para efetiva. Para tanto, são utilizadas duas formas: o cálculo proporcional ou o cálculo equivalente, conforme veremos a seguir.
1. CÁLCULO PROPORCIONAL 
	É proporcional o cálculo das taxas que mantém uma relação linear entre os seus respectivos tempos. O cálculo proporcional é utilizado no regime de capitalização simples (juros simples), ou na transformação de taxas nominais em efetivas.
	Assim:
	5% a.m. é proporcional a 120 % a.a., pois:
	
	taxa tempo
 5 %_____1 mês
	 x ____ 12 meses x = 5 x 12 
	 1 x = 60 % a.a. 
03.	Determine as taxas proporcionais:
 	18 % ao mês = _____ % ao trimestre
 	21 % ao trimestre = ____ % ao mês
 	26 % ao ano = ____ % ao semestre
 	12 % ao bimestre = ____ % ao trimestre
 	9 % ao mês = ____ % em 8 dias
2. CÁLCULO EQUIVALENTE
	É equivalente o cálculo das taxas que mantém uma relação exponencial entre os seus respectivos tempos. O cálculo equivalente é utilizado no regime de capitalização composta (juros compostos) e na transformação das taxas efetivas.
	A maioria dos autores e o mercado em geral, ao mencionarem taxas equivalentes referem-se, implicitamente, a capitalização composta.
	Para transformarmos as taxas pelo cálculo equivalente utilizaremos a fórmula abaixo:
	 q/t
iq = [(1 + it) - 1 ] x 100
	
	onde:
iq	= taxa que eu quero
it	= taxa que eu tenho
q 	= prazo que eu quero
t 	= prazo que eu tenho
	Esta fórmula serve tanto para capitalizar como para descapitalizar uma taxa.
04.	Dada a taxa de 5,8 % ao semestre, calcular a sua equivalente:
	a) ao ano.
	b) ao mês.
05.	Determinar a taxa anual equivalente a 9,8 % a.m.(ex. taxa do cheque especial).
06.	Qual a taxa bimestral equivalente a 10,4 % a.s.?
07.	A Loja ABC cobra uma taxa de juros de 2,99% a.m. Qual a taxa anual cobrada?	
08. Qual a taxa em 89 dias, equivalente a 35,6 % em 200 dias?
CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS
	Já vimos o que são juros e como transformar juros em taxa de juros. Aprendemos também como transformarmos taxas pelos cálculos proporcionais e equivalentes. 
Agora, para facilidade de entendimento e de cálculo, iremos classificar as taxas quanto ao período de capitalização da taxa, conforme o mercado opera com grande parte das taxas.
QUANTO AO PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO DA TAXA
Uma das maneiras que o mercado atua é apresentar uma taxa trabalhando com a sua forma de capitalização. Assim, a taxa apresenta-se em determinado período de tempo e a sua capitalização em subdivisões do período da taxa. Desta forma, os juros serão capitalizados mais de uma vez no período a que se refere à taxa; isto é, a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Taxa Efetiva :	A taxa efetiva pressupõe incidência de juros apenas uma única vez em cada período a que se refere a taxa; isto é, capitalizamos a taxa na mesma unidade de tempo de sua capitalização; ou seja a taxa efetiva é a taxa por período decapitalização, sendo que esses prazos coincidem.
Ex.:	80 % a.a., capitalização anual.
	40 % a.t., capitalização trimestral.
Obs.:	Quando o período de capitalização não é mencionado, no regime de juros compostos, subentendemos sempre e esta implícito, que ele é coincidente com o período da taxa.
Taxa Nominal :	A taxa nominal pressupõe incidência de juros mais de uma vez em cada período a que e refere a taxa de juros. Normalmente, a taxa de juros é informada desta forma, no entanto não é utilizada assim. 
Ex.: 60% a.a., capitalização mensal
 24 % a.s., capitalização trimestral
Obs.:	Quando tivermos uma taxa nominal devemos transformá-la em efetiva, sendo que para isto utilizaremos o cálculo proporcional buscando fazer coincidir os períodos da taxa e de sua capitalização.
09.	A caderneta de poupança paga juros anuais de 6 %a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva mensal e anual?
10.	Qual a melhor opção: investir a uma taxa de 240%a.a. capitalizados mensalmente ou 264% a.a. capitalizados bimestralmente?
JUROS SIMPLES
	Juros simples ou capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados.
Para o cálculo dos juros simples utilizamos a seguinte fórmula:
	J = C x i x n
	onde:
	J = Juros.
	C = Capital.
	i = taxa de juros unitária.
	n = período de tempo.
É fundamental que a taxa de juros e o período de tempo sejam coincidentes. Caso não sejam, devemos transformar a taxa utilizando o cálculo proporcional.
MONTANTE
Montante é a soma do capital aplicado ao respectivo juros calculado a uma determinada taxa i por determinado período de tempo n .
Assim:
	M = C + J
	onde:
	M = Montante
	C = Capital
	J = Juros
	Sabemos que J = C x i x n, então:
	M = C + C x i x n, logo:
	
	e
	
11.	Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação de $ 85.600,00, a taxa de 1,4 % a.m. durante três meses.
12.	Calcular os juros de uma aplicação de $ 30.000,00, a taxa de juro simples de 18,6 % a.a. capitalizados mensalmente, por 2,4 meses.
13. 	Se aplicarmos $ 9.600,00 a taxa de juros simples de 1,5% a.m. e resgatarmos $ 10.104,00, qual será o prazo da aplicação?
14. A que taxa de juros simples mensal, um capital quadruplica em 5 anos?
DESCONTO
	Define-se desconto como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o pagamento de um título, ou ainda, como sendo os juros cobrados por um intermediário para antecipar o recebimento de um título, que representa um direito de crédito futuro.
	Podemos representar esta definição assim:
	d = N - Va
	onde:
	d = desconto
	N = Valor Nominal
	Va = Valor atual ou Valor líquido
DESCONTO SIMPLES
	É aquele obtido em função de cálculos lineares (capitalização simples). Distinguem - se dois tipos de descontos simples, o racional e o comercial ou bancário.
DESCONTO RACIONAL SIMPLES
	Também denominado de desconto verdadeiro ou desconto por dentro, é o desconto aplicado sobre o valor atual do título utilizando-se a taxa efetiva (no conceito do valor inicial tomado como base do cálculo).
	Se o desconto racional é devido sobre o valor atual do título, tem-se que:
	d = Va x i x n
	onde:
	d = desconto
	Va = Valor atual
	i = taxa
	n = prazo
	Sabemos que :
	
	 d = N - Va
	, então:
	
	ou
	
Obs. :	Em uma operação de desconto, geralmente o valor a ser procurado é o Va, então a fórmula para o cálculo do desconto racional fica assim:
	
15.	Calcular o desconto racional que sofrerá um título de $ 200.000,00, descontado 24 dias antes do vencimento a uma taxa de 2,8 % a.m..
DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO
	Também denominado desconto por fora, é o desconto aplicado sobre o valor nominal do título, muito utilizado nas instituições financeiras.
	O desconto comercial é uma convenção secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de curto prazo, merecendo, por isto, toda uma atenção especial pois, por esta convenção, se altera o conceito básico e verdadeiro da formação e da acumulação de juros implicando, consequentemente, na determinação de taxas efetivas.
	Se o desconto comercial é devido sobre o valor nominal do título, tem-se que:
	d = N x i x n
 onde : 	d = desconto
		N = valor nominal
		i = taxa de desconto
		n = prazo
	sabemos que 
	d = N - Va
	, então:
	
	ou
	
Obs1 : Note que quando a taxa for igual ao inverso do prazo ou maior que este inverso, a adoção do desconto comercial simples nos conduz a um absurdo financeiro.
Obs2 :	Existindo despesas administrativas, expressa em moeda corrente, estas devem ser subtraídas do Valor Atual (Va), para se achar o Valor Líquido (Vl) da operação. Mas caso estejam na forma percentual (%), a fórmula para o cálculo do desconto passa a ser:
	
Onde: h = refere-se a taxa (%) de despesas administrativas na sua forma unitária.
	Observe que somamos as despesas administrativas ao resultado do produto da taxa com o prazo, pois a relação desta é com o valor nominal somente, não dependendo do prazo da operação.
	
	ou
	
 
16.	Determinar o valor do desconto que sofrerá um título de $ 50.000,00, descontado 39 dias antes do seu vencimento, à taxa de 4,5 % a.m.
17.	Um título sofreu um desconto simples de $ 25.000,00, face sua liquidação antecipada em 24 dias. Determinar o valor nominal do título sabendo-se que a taxa utilizada foi de 51,6 % a.a.
18.	Em operações com títulos descontados, os bancos cobram juros de 15% a.m. Proceder uma análise de GANHO EFETIVO (taxa efetiva), para os bancos em 30, 60, 90 e 120 dias respectivamente.
19.	Certo cliente deseja fazer um papagaio cujo valor líquido a ser creditado em sua conta corrente seja impreterivelmente $ 50.000,00. Sabendo-se que os encargos cobrados pelo banco somam 4,5 % a.m., além de despesas administrativas de 0,5%. Determinar o valor nominal do título a ser descontado sabendo-se que o prazo da operação foi de 36 dias.
 
JUROS COMPOSTOS
	Juros compostos ou capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior, é o que se conhece como juros sobre juros. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. 
	Constata-se que o cálculo do montante pode ser feito facilmente passo a passo, utilizando-se o conceito acima.
Assim: J = C X i
	 M = C + J 
	 M = C + C x i 
	 M = C x (1 + i )
	Repetindo-se esta operação n vezes chegaremos ao montante final, que pode ser feito através de um único cálculo utilizando-se a fórmula abaixo:
	
onde:
	M = montante
	C = capital
 	i = taxa
 	n = prazo
Obs.:	O prazo e a taxa devem estar na mesma unidade de tempo, caso não estejam devemos ajustá-los, através do cálculo proporcional ou equivalente, dependendo do tipo de taxa, antes de iniciar qualquer cálculo.
	Podemos também calcular somente os juros através da fórmula:
	
	O Montante à juros compostos pode ser calculado de três maneiras:
logaritmos,
tabelas financeiras ou
calculadoras financeiras 
 
	Para nossa facilidade utilizaremos as calculadoras financeiras, onde:
a tecla PV, representa o Valor Presente ou Capital Inicial (C);
a tecla FV, representa o Valor Futuro ou Montante (M);
a tecla n, representa o prazo da operação;
a tecla i, representa a taxa de juros (efetiva)
 
20.	Determinar o montante de uma aplicação de $ 50.000,00, a juros compostos de 4,2 % a.m., durante 03 meses.
21.	Determinar a taxa mensal de uma aplicação de $ 20.000,00 durante 1,5 mês, que rendeu juros de $542,42.
22.	Qual o montante de uma aplicação de $ 25.000,00, à taxa de 24 % a.a., capitalizados anualmente, durante 36 meses? E se a taxa fosse 24% a.a., capitalizados mensalmente haveria diferença no montante?
23.	Um capital de $ 12.500,00, aplicado à taxa de 18% a.a., capitalizados semestralmente rendeu juros de $ 1.792,37. Qual é o prazo da aplicação?
CUSTO FINANCEIRO EFETIVO
	
	No mercado financeiro muitas são as variáveis que influenciam no custo do dinheiro e que devem ser consideradas na administração de uma organização. Sendo assim iremos apresentar uma forma de cálculo com o objetivo de facilitar o entendimento do assunto, tendo em vista a sua importância.
a) Custo efetivo:	Quando utilizamos, para efeito de cálculo da taxa, o valor efetivamente recebido ou desembolsado. Neste caso podemos dizer que é o custo efetivo do dinheiro, isto é, o que realmente aconteceu na operação financeira.
b) Custo Nominal:	Quando o valor do capital inicial tomado como base de cálculo, não representa o valor efetivamente recebido ou desembolsado. Neste caso se faz necessário o cálculo da taxa efetiva para a correta interpretação do resultado obtido.
24.	Se emprestarmos $ 2.500,00 e pagarmos ao final de determinado período de tempo $ 2.700,00, qual terá sido a taxa de juros cobrada nesta operação? Ela é efetiva ou nominal?
25.	Uma pessoa resolve descontar uma promissória em uma instituição que cobra juros antecipados (papagaio) de 10 % a.m., calculados sobre o valor a ser pago. Qual é a taxa nominal e efetiva para a operação, sabendo-se que o prazo de antecipação é de um mês e o valor da promissória (valor final) é de $ 25.000,00.
26.	Para emprestar $ 10.000,00 e pagar ao final de 01 mês $ 12.800,00, um banco exige a título de reciprocidade que 10 % do valor emprestado fique depositado em uma conta vinculada. Determine:
a)	a taxa efetiva do período considerando que o valor depositado na conta vinculada será remunerado em 5%.
b)	a taxa efetiva do período considerando que o valor depositado na conta vinculada será remunerado em 5% e que o gerente cobrou uma TAC de 0,5% sobre o valor do empréstimo, além de ter feito um seguro com premio de $ 30,00.
 27.	Um agiota empresta $ 2.500,00 para receber $ 3.000,00 ao final de 01 mês. Pergunta-se:
a) Qual a taxa efetiva para o tomador do empréstimo?
b) Sabendo-se que o agiota tem despesas de $ 10,00, para controle da operação, determinar a taxa efetiva do agiota.
28.	Um cliente aplicou $ 12.500,00 em CDB e obtendo uma renda de $ 115,00. Supondo-se que o cliente pagou, no vencimento da aplicação, $ 20,00 de imposto de renda, pergunta-se:
a)	Qual a taxa oferecida pelo Banco? Ela é efetiva ou nominal para o cliente?
b)	Qual a taxa efetivamente recebida pelo cliente?
DESCONTO COMPOSTO
	O conceito de desconto em juro composto é idêntico ao visto no regime de juros simples: corresponde ao abatimento por saldar-se um compromisso antes do seu vencimento. A diferença é devida apenas ao regime de juros, sendo o raciocínio financeiro o mesmo. 
	O que fazemos é calcular a diferença entre o valor nominal e o atual do compromisso na data em que se propõe que seja feito o desconto. O desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal e o valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
	Conceitualmente existe apenas o desconto racional sendo o desconto comercial ou bancário uma convenção prática do mercado em geral.
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
	É o desconto obtido pela diferença entre o Valor Nominal (N) e o Valor Atual (Va) de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento.
	Para uma melhor compreensão, podemos dizer que o desconto racional composto passa a ser sinônimo de juro composto. Haverá modificação somente, na notação utilizada que se apresentará da seguinte forma:
Capital Inicial (C) = Valor Atual (Va) ou Valor Líquido (Vl)
Montante (M) = Valor Nominal (N)
	Desta forma a fórmula para cálculo do Valor Atual, com base nos juros compostos, ficará:
	
29.	Um título de $ 50.000,00 será descontado três meses antes de seu vencimento a taxa de 4,5 % a.m. Qual o valor atual do título utilizando-se o desconto composto?
30.	Um título de crédito no valor nominal de $ 12.000,00 foi resgatado quatro meses antes de seu vencimento. Qual o valor de resgate, se a taxa de juros corrente for 2,5% a.m.?
31. Um investidor aplicou $ 9.440,00 em CDB pelo prazo de 360 dias, contratando uma taxa de 25% a.a. Após certo período, vende o CDB por $ 10.791,60, quando então a taxa de desconto racional era de 19,56% a.a. Quanto tempo antes do vencimento a transferência foi feita?
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
	Como visto no desconto comercial simples, o desconto comercial composto é uma prática adotada pelo mercado financeiro e não tem fundamentação teórica. É o desconto aplicado sobre o valor nominal do título, assim:
	
	
	A simbologia utilizada é a mesma do desconto racional composto, mudando somente a base do cálculo.
32.	Um título com valor nominal de $ 12.000,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento em um estabelecimento que se utiliza do desconto comercial composto. Sabendo-se que sua taxa de juros é de 2,5% a.m., qual foi o valor atual comercial recebido?
33.	Uma Nota promissória de $ 16.000,00 foi resgatada antecipadamente por $ 15.369,54. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial aplicada foi de 1% a.m., pergunta-se qual foi o período da antecipação?
SÉRIES DE PAGAMENTOS
	Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. 
	Quando o objetivo é constituir um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização, caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização.
	Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento somente pelo uso, sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis.
	Desta forma caracterizamos a existência de séries que podem ser certas ou aleatórias.
	São certas aquelas em que o número, prazos e valores dos pagamentos/recebimentos são conhecidos.
	Dentro da Matemática Financeira, as rendas têm classificação ampla e complexa. Para atender as nossas necessidades, vamos desenvolvê-las com as seguintes características:
1. Número de termos finito;
2. A diferença entre o prazo de cada termo é constante;
3. Os valores dos termos que compõem as séries podem ser:
	3.1. Constantes;
	3.2. Variáveis.
4. Os vencimentos dos termos de cada série de pagamentos, podem ocorrer no final ou no início de cada período.
	Para facilitar os nossos estudos dividiremos o assunto em:
SÉRIE DE PAGAMENTOS DE CAPITAL
		É a série que mostra o retorno de determinado capital através de pagamentos periódicos e iguais. Este retorno pode ser de um empréstimo ou da aquisição de um bem de capital. Para facilidade iremos dividir o estudo da seguinte maneira:
a) Série de Pagamentos Postecipados
 PV		
 PMT = C 
x
 
( 1 + i )
n
 
x
 i
 (1 + i )
n
 - 1		
 0 1 2 3
 
 PMT
b) Série de Pagamentos Antecipados
 PV
		
 PMT = C 
x
 
( 1 + i )
n -1
 
x
 i
 (1 + i )
n 
 - 1		
 0 1 2 3
 
 PMT
c) Série de Pagamentos Diferida
 PV
 PMT = C 
x
 
( 1 + i )
n +m
 
x
 i
 (1 + i )
n 
 - 1		
		
 0 1 2 3 4 5
 m
 
 PMT
OBS:	“m” representa operíodo de carência e será contado até um período antes do início das amortizações.
SÉRIE DE FORMAÇÃO DE CAPITAL
	
É a série que mostra a acumulação de determinado capital através de depósitos periódicos e iguais. Este montante poderá servir como poupança ou para a aquisição de um bem de capital. Para facilidade iremos dividir o estudo da seguinte maneira:
a) Série de Acumulação de Capital Antecipada
 FV
		
 FV = PMT 
x
 (1 + i) 
x
 
( 1 + i )
n
 - 1
 i		
 0 1 2 3
 
 PMT
b) Série de Acumulação de Capital Postecipada
 FV
		
 FV = PMT 
x
 
( 1 + i )
n
 - 1
 i		
 0 1 2 3
 
 PMT
34.	Um automóvel no valor de $ 24.000,00 pode ser pago em 36 prestações mensais. Sabendo-se que a financeira cobra juros de 2,46 % a.m., qual o valor das prestações mensais considerando: a) com entrada e b) sem entrada.
35.	Um empréstimo será pago em 24 parcelas mensais de $ 200,00. Considerando uma taxa de 4,6% a.m., qual o valor do empréstimo? (postecipado)
36.	Determinar o preço a vista de um telefone, financiado em 6 prestações mensais e iguais a $ 50,00, a taxa de 3,5 % a.m., sendo que foi dada um prazo de carência de três meses para início dos pagamentos?
37.	Ao vendermos um imóvel receberemos $ 15.000,00 por mês, durante 8 meses. Se, paralelamente, aplicarmos a taxa média de 1,18 % a.m., determinar o saldo acumulado, imediatamente após o último depósito.
38.	Determinar o montante no final de 01 ano, resultante da aplicação de 12 parcelas mensais e iguais a $ 2.000,00, com o primeiro depósito sendo efetuado em data coincidente com o da assinatura do contrato, a taxa de 1,16 % a.m. (antecipada).
39.	Determinar o saldo ao final de um ano, resultante de 12 aplicações mensais, à taxa de 1,6 % a.m., sendo as 5 primeiras de $ 3.500,00 e as restantes de $ 7.000,00 cada, sabendo-se que o primeiro depósito foi efetuado na assinatura do contrato.
NOÇÕES SOBRE FLUXO DE CAIXA
	Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de pagamentos e/ou recebimentos, previstos, para determinados períodos de tempo.
Representação gráfica:
 
2.000 
 
 4.500 2.750
 
 1.200 3.000 4.000
	No eixo horizontal representamos o tempo, subdividido em períodos unitários, orientados da esquerda para a direita, de tal forma que são considerados como momentos futuros em relação ao ponto zero.
	Representamos os recebimentos (entrada de caixa) e os pagamentos (saídas de caixa) com setas em sentidos opostos.
	No exemplo dado, no dia 18, as duas setas orientadas em sentidos opostos, poderiam ser substituídas por uma única diferença entre elas orientada para baixo (maior valor). Portanto os recebimentos estão associados ao sinal positivo ( + ) e os pagamentos ao sinal negativo ( - ) .
	A representação gráfica de um fluxo de caixa é feita de acordo com os dados de cada caso, sendo orientação das setas de acordo com a interpretação.
ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA
	Para analisarmos um fluxo de caixa utilizamos, comumente, dois métodos práticos. Os mais conhecidos são o do valor presente líquido (NPV) e o da taxa interna de retorno (TIR), estes métodos são largamente utilizados nas análises de aplicações financeiras e de projetos de investimentos.
	Calcularemos através de máquinas calculadoras a TIR (taxa interna de retorno) e o NPV (valor presente líquido) dos fluxos de caixa apresentados.
	Para tanto é necessário sabermos que:
PV = Valor presente, capital inicial;
PMT = prestações periódicas;
FV = valor futuro, montante;
n = prazo, número de parcela;
i = taxa de juros;
IRR = taxa interna de retorno
Npv = valor presente líquido;
CFo = fluxo de caixa inicial;
CFj = fluxo de caixa de ordem " n ";
Nj = número de repetições de cada fluxo.
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA
	Entre os métodos mais conhecidos destacam-se o do valor presente líquido (VPL ou NPV) e o da Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR). Esses métodos consistem basicamente em se comparar a soma algébrica dos valores presentes de cada um dos fluxos futuros de caixa (pagamentos ou recebimentos) ocorridos "hoje", onde esses valores presentes são calculados de acordo com o regime de capitalização composta e com base em dada taxa de juros.
VALOR PRESENTE LÍQUIDO
	
	O Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) é uma técnica de análise de fluxo de caixa que consiste em calcular o valor presente de um fluxo de caixa a uma taxa conhecida e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou investimento), ou seja:
			
	
Em que FCj representa os valores dos fluxos de caixa de ordem "j", sendo j = 1,2,3,...,n; FCo representa o fluxo de caixa inicial e "i" a taxa de juros da operação financeira ou a taxa interna de retorno do projeto de investimentos.
	Essa técnica, criada inicialmente para análise de projetos de investimentos, foi bastante difundida numa época em que os instrumentos disponíveis para cálculos eram extremamente precários. Assim um empresário, ao analisar a conveniência da compra de um equipamento, fixava a taxa mínima de retorno desejada, e com base nesta, calculava o valor presente das receitas líquidas estimadas para os próximos meses e anos, que seriam geradas pela utilização do novo equipamento. Conforme o valor obtido como resultado fazia-se a opção pelo investimento ou não.
TAXA INTERNA DE RETORNO
	A Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) é a taxa que equaliza (iguala) o valor de um investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Como normalmente se tem um fluxo inicial que representa o valor do investimento, ou do empréstimo ou do financiamento e diversos fluxos futuros de caixa representando os valores das receitas, ou das prestações, a equação que nos dará a taxa interna de retorno (TIR ou IIRR) pode ser escrita assim:
			
OBS.:	A solução dessa equação somente pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja "tentativa e erro".
40.	Uma empresa quer comprar um caminhão por $ 103.000,00. A utilização desse caminhão nos próximos 5 anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em $ 30.000,00, $ 35.000,00, $ 32.000,00, $ 28.000,00 e $ 20.000,00 respectivamente. Sabendo-se que no final do 5º ano se espera vender o caminhão por $ 17.000,00, verificar qual a decisão da empresa para taxas de retorno de 15 % a.a. e 18 % a.a.
41.	Um veículo é financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas de $ 3.250,00 e mais três prestações semestrais (balões) de $ 7.750,00, $ 8.750,00 e $ 9.750,00. Calcular o valor do financiamento sabendo-se que a taxa cobrada é de 8,7 % a.m.
42.	Determinar a taxa efetiva anual, do fluxo abaixo:
 833.310 942.924 774.714 890.390 
 
 
 0 1 2 3 4 
 
 
 3.000.000	
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemáticafinanceira objetiva e aplicada. SãoPaulo: Saraiva, 2000.
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Amilton Dalledone Filho

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