Resolução do Livro Álgebra moderna Hygino Domingues
183 pág.

Resolução do Livro Álgebra moderna Hygino Domingues


DisciplinaEstruturas Algébricas369 materiais2.457 seguidores
Pré-visualização23 páginas
A´lgebra Moderna Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Livro: A´lgebra Moderna - Editora Atual
(Higino H. Domingues e Gelson Iezzi)
nibblediego@gmail.com
Atualizado dia 06/08/2017
Soluciona´rio da 4a edic¸a\u2dco do livro de A´lgebra Moderna dos
autores Higino H. Domingues e Gelson Iezzi. Um dos melhores
livros de a´lgebra moderna em portugue\u2c6s. Ate´ porque existem
poucos t´\u131tulos semelhantes em nossa l´\u131ngua, ja´ que a produc¸a\u2dco
de livros dida´ticos (principalmente para n´\u131vel de graduac¸a\u2dco e
po´s), e´ um mercado pouco lucrativo.
Para quem desejar; uma co´pia do livro do Higino pode ser baix-
ada em https://pt.scribd.com/doc/74399512/Algebra-
Moderna-Domingues-Iezzi.
A expectativa e´ que seja respondido um cap´\u131tulo do livro
por me\u2c6s. Contudo, pode haver atrasos, uma vez que dig-
itar todo o texto consome mais tempo do que resolver os
exerc´\u131cios. De todo, modo na\u2dco deixe de acompanhar este
documento no link a seguir para obter todas as atualizac¸o\u2dces.
www.number.890m.com
1
Suma´rio
1 Noc¸o\u2dces Sobre Conjuntos e Demonstrac¸o\u2dces 3
1.1 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 13 A` 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 25 A` 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Introduc¸a\u2dco a Aritme´tica dos Nu´meros Inteiros 34
2.1 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 38 A` 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 44 A` 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 48 A` 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 61 A` 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Relac¸o\u2dces, Operac¸o\u2dces, Aplicac¸o\u2dces 85
3.1 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 70 A` 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 75 A` 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 81 A` 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.7 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.8 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4 Grupos e Subgrupos 145
4.1 EXERC´ICIOS DA PA´GINA 155 A` 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5 Agradecimentos 183
A´lgebra Moderna Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
1 Noc¸o\u2dces Sobre Conjuntos e Demonstrac¸o\u2dces
1.1 EXERCI´CIOS DA PA´GINA 13 A` 16
1. Considere os seguintes subconjuntos de R (aqui considerado como conjunto universo):
A = {x \u2208 R|x2 < 4},
B = {x \u2208 R|x2 \u2212 x \u2265 2},
C = {1/2, 1/31/4, ...} e
D = {x \u2208 R| \u2212 2 < x < \u22121}.
Classifique cada relac¸a\u2dco seguinte como verdadeira ou falsa e justifique.
a) Ac \u2282B
b) A\u2229B = D
c) C\u2282Bc
d) B\u222aA\u2283C
e) C\u2229D 6= Ø
Soluc¸a\u2dco de a:
Observe que exceto pelo conjunto C, todos os conjuntos esta\u2dco sendo caracterizados por
meio de uma inequac¸a\u2dco.
B = {x \u2208 R | x inequac¸a\u2dco}
Normalmente a resoluc¸a\u2dco de problemas que envolvem operac¸o\u2dces entre conjuntos, em que
os conjuntos sa\u2dco caracterizados por uma inequac¸a\u2dco, depende da passagem do conjunto de
sua notac¸a\u2dco entre chaves para a sua representac¸a\u2dco como intervalo. Veja:
Para expressar o conjunto A como intervalo primeiro resolvemos a inequac¸a\u2dco que carac-
teriza o conjunto.
x2 < 4
x < 2 ou x > \u22122
Logo A e´ o intervalo (\u22122, 2).
-2 2
Conjunto A
Por meio da imagem acima fica fa´cil definir o complementar A.
3
A´lgebra Moderna Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
-2 2
Conjunto Ac
Ac = {x \u2208 R | x > 2 ou x < \u22122}.
Vamos agora determinar o conjunto B em termos de intervalo.
Assim como feito anteriormente primeiro resolvemos a inequac¸a\u2dco que caracteriza o con-
junto.
x2 \u2212 x \u2265 2
\u21d2 x \u2265 2 ou x \u2264 \u22121
Logo B e´ a unia\u2dco dos intervalos (\u2212\u221e,\u22121] \u222a [2,\u221e).
-1 2
Conjunto B
Comparando agora o intervalo que representa o conjunto Ac e o intervalo que representa
o conjunto B, verificamos que Ac \u2282 B.
-2 2
Conjunto Ac sobre o conjunto B
Portanto a afirmac¸a\u2dco e´ VERDADEIRA.
Soluc¸a\u2dco de b:
Como ja´ foi demonstrado os conjuntos A e B podem ser representado por intervalos.
B = [2,\u221e) \u222a (\u2212\u221e,\u22121]
A = (-2, 2)
Como A \u2229 B e´ a intercessa\u2dco entre A e B enta\u2dco:
4
A´lgebra Moderna Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
A \u2229 B = (\u22122,\u22121]
Note que \u22121 \u2208 A \u2229 B, contudo \u22121 /\u2208 D. Assim, a afirmativa e´ FALSA.
Soluc¸a\u2dco de c:
Se B = [2,\u221e) \u222a (\u2212\u221e,\u22121] enta\u2dco Bc = (\u22121, 2).
Note que o maior termo de C e´ maior que zero e todos os seus termos sa\u2dco na\u2dco nulos, ou
seja esta\u2dco entre 0 e 1. Como (0, 1) \u2208 Bc enta\u2dco a afirmativa e´ VERDADEIRA.
Soluc¸a\u2dco de d:
B\u222aA = R. Assim a afirmativa e´ VERDADEIRA.
Soluc¸a\u2dco de e:
Todos os elementos de D sa\u2dco negativos, ao passo que todo elemento de C sa\u2dco positivos.
Assim, na\u2dco existe intersec¸a\u2dco entre eles, isto e´ C\u2229D = Ø.
Assim, a afirmativa e´ FALSA.
2. Construa um exemplo envolvendo dois conjuntos, B e C, para os quais se verifiquem
as seguintes relac¸o\u2dces: Ø \u2208 C, B \u2208 C, B \u2282 C.
Soluc¸a\u2dco:
C = {Ø, 1, {1}, {1, 2} } e B = {1}.
3A. Descubra conjuntos A, B e C, tais que B 6= C e A \u222a B = A \u222a C.
Soluc¸a\u2dco de a:
Se A = B = {1} e C = Ø (o que cumpre a condic¸a\u2dco de C 6= B), enta\u2dco:
{1} \u222a {1} = {1} \u222a Ø
{1} = {1}
Outra soluc¸a\u2dco seria A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5} e C ={3, 4, 5}
3B. Com um exemplo, mostre que pode ocorrer o seguinte: B 6= C e A \u2229 B = A \u2229 C
5
A´lgebra Moderna Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Soluc¸a\u2dco de b:
Neste caso se A = Ø, C = {2} e B = {1} enta\u2dco:
A \u2229 B = A \u2229 C
Ø \u2229 {1} = Ø \u2229{2}
Ø = Ø
Outra soluc¸a\u2dco seria A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} e C ={4, 5, 6, 7, 8}
4. Se A, B e C sa\u2dco conjuntos tais que A \u222a B = A \u222a C e A \u2229 B = A \u2229 C, prove que B
= C.
Soluc¸a\u2dco:
A prova da igualdade entre conjuntos na maioria das vezes consiste em:
1\u25e6 Passo: Tomar um elemento gene´rico do lado direito da igualdade e mostrar que ele
pertence tambe´m ao lado esquerdo;
2\u25e6 Passo: Tomar um elemento gene´rico do lado esquerdo da igualdade e mostrar que ele
pertence tambe´m ao lado direito;
3\u25e6 Passo: Evocar a propriedade anti-sime´trica.
A conclusa\u2dco do primeiro passo implica na inclusa\u2dco do conjunto a direita da igualdade
no conjunto a esquerda. Enquanto a conclusa\u2dco do segundo passo implica na inclusa\u2dco do
conjunto a esquerda da igualdade no conjunto a direita.
O terceiro passo usa as duas implicac¸o\u2dces dos passos anteriores para garantir a igualdade.
(1\u25e6 Passo) Se b \u2208 B enta\u2dco b \u2208 A \u222a B. Como por hipo´tese A \u222a B = A \u222a C enta\u2dco b \u2208
A ou b \u2208 C ou b pertence a ambos.
Se b \u2208 A, enta\u2dco b \u2208 A \u2229 B. Como por hipo´tese A \u2229 B = A \u2229 C enta\u2dco b \u2208 C. Assim,
todo elemento de B e´ tambe´m elemento de C.
Se b \u2208 C ou a ambos (A e C) a mesma conclusa\u2dco e´ imediata.
(2\u25e6 Passo) Se c \u2208 C enta\u2dco c \u2208 A \u222a C. Como por hipo´tese A \u222a C = A \u222a B enta\u2dco c \u2208
A ou c \u2208 B ou c pertence a ambos.
Se c \u2208 A, enta\u2dco c \u2208 A \u2229 C. Como por hipo´tese A \u222a C = A \u222a B enta\u2dco c \u2208 B. Assim,
todo elemento de C e´ tambe´m elemento de B.
Se c \u2208 B ou a ambos (A e B) a mesma conclusa\u2dco e´ imediata.
6
A´lgebra Moderna Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
(3\u25e6 Passo) Como todo elemento de B pertence a C (passo 1) e vice-versa (passo 2)
enta\u2dco pela propriedade anti-sime´trica fica provado que B = C.
5. Sejam A e B conjuntos tais que A \u222a B = A \u2229 B. Prove que A = B.
Soluc¸a\u2dco por absurdo:
Na questa\u2dco anterior foi mostrada uma te´cnica para a demonstrac¸a\u2dco de igualdade entre
conjuntos. Nessa
Simony
Simony fez um comentário
OLÁ VC PODERIA ME AJUDAR COM AS QUESTÕES DA PAGINA 170 A 182?
0 aprovações
JOSE
JOSE fez um comentário
Poderiam postar os exercicios do capitulo 3?
1 aprovações
maney
maney fez um comentário
olá vocês poderiam postar a resolução da seção de operações no capitulo 3 seção 3?
2 aprovações
Suzana
Suzana fez um comentário
Olá , você poderia postar a resolução dos exercícios referentes a grupos cíclicos ?
2 aprovações
Carlos
Carlos fez um comentário
Olá! Parabéns pelo material, muito obrigado! Acho que houve um equivoco ao digitar a resposta do exercício 2 do capítulo 3 na página 87. Não seria R^(-1) = {(b, a), (c, b), (d, c), (e, d)}? Grato!
2 aprovações
Carregar mais