Matemática Comercial e Financeira - Notas de Aula

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UNIVERSIDADE ESTADUAL VAEL DO ACARAÚ – UVA
Licenciatura em Matemática
Matemática Comercial e Financeira
Prof. Nilton José Neves Cordeiro
Sobral – 2017.1
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Desenvolvimento da disciplina
• Frequência dos estudantes: mínimo de 75%;
• Serão feitas 3 avaliações individuais (3 provas escritas ou 2 provas escritas e 1 apresentação);
• As provas são marcadas com pelo menos uma semana de antecedência;
• Não serão passados trabalhos valendo ponto;
• Segunda chamada: direito do aluno se devidamente justificada e avalizada formalmente (prova de
segunda chamada não é em horário e dia de aula);
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É cortês que o estudante:
• Respeite o horário de início de aula, bem como o horário de intervalo;
• Não fique com conversas paralelas que atrapalhem a condução da aula;
• Não use celular em sala de aula (caso haja grande necessidade de atender um telefonema, que coloque
o aparelho no silencioso e o atenda fora da sala);
1. Um pouco de história
1.1 Generalidades
1.2 Escambo: o primeiro tipo de troca comercial
1.3 Surgimento dos Juros e Impostos
1.4 Desenvolvimento do Comércio
1.5 Surgimento da Moeda
1.6 Surgimento dos Bancos
1.7 O Comércio na atualidade
2. Progressões Aritmética e Geométrica
2.1 Progressão Aritmética
2.1.1 Definição 
2.1.2 Propriedades
2.1.3 Fórmula do Termo Geral
2.1.4 Soma dos Termos
2.1.5 Progressão Geométrica
2.1.6 Definição
2.1.7 Propriedades
2.1.8 Fórmula do Termo Geral
2.1.9 Soma dos Termos
3
Conteúdo Programático
3. Definições e Termos Importantes
3.1 Juro
3.2 Capital
3.3 Montante
3.4 Desconto
3.5 Renda
3.6 Anuidade
4. Juros e Descontos
4.1 Regimes de Capitalização Simples e Composta
4.2 Juros em Regime de Capitalização Simples
4.3 Desconto em Regime de Capitalização Simples
4.4 Juros em Regime de Capitalização Composta
4.5 Desconto em Regime de Capitalização Composta
4.6 Juros, Descontos, Progressões e Funções: 
aplicações no Ensino Básico
4
Conteúdo Programático
5. Taxa de Juros e Desconto
5.1 Introdução
5.2 Taxa Nominal
5.3 Taxa Efetiva
5.4 Taxas Proporcionais
5.5 Taxas Equivalentes
6. Equivalências de Capitais
6.1 Definições
6.2 Capitas Equivalentes
6.3 Valor atual de um Conjunto de Capitais
6.4 Conjuntos Equivalentes de Capitais
6.5 Uso de planilha eletrônica e Software
5
Conteúdo Programático
7. Rendas
7.1 Constantes
7.2 Variáveis
7.3 Imediatas
7.4 Antecipadas
7.5 Diferidas
8. Noções de Sistemas de Amortização
8.1 Generalidades
8.2 Plano de Pagamento no Final
8.3 Plano de Pagamento Periódico de Juros
8.4 Sistema de Prestações Iguais (PRICE)
8.5 Sistema de Amortização Constante (SAC)
8.6 Sistema de Amortização Mista (SAM)
8.7 Aplicação no Ensino Básico: um exemplo de 
financiamento de um bem
8.8 Uso de planilha eletrônica e Software
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Conteúdo Programático
Básica 
[1] SÁ, I. P. – Matemática Financeira para Educadores e Críticos – Ciência Moderna 2011
[2] WAGNER, E. ; MORGADO, A.C.O. – Progressões e Matemática Financeira – SBM
[3] LIMA, E. L.; CARVALHO, P.C.P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A matemática no Ensino Médio, vol. 2, 6ª 
ed. SBM. Rio de Janeiro, 2000. 
Complementar 
[4] PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. – Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada – Campus – 2ª. Ed. – 2011
[5] PINHEIRO, C.A.O. – Matemática Financeira sem o Uso de Calculadoras Financeiras. 2ª. ed. Ciência 
Moderna – 2009.
[6] IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 11. 1ª Ed. Atual. São Paulo, 2004
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Bibliografia
Necessidades Humanas
Para sobreviver, o homem precisa satisfazer uma série de necessidades que lhe são impostas pela própria vida:
• Alimentação;
• Vestuário;
• Habitação.
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As necessidades humanas:
• São infinitas;
• Dependem do nível de desenvolvimento que se encontra a pessoa;
Necessidades Humanas
9
Necessidades Humanas
Para satisfazer nossas necessidades, nós utilizamos recursos (coisas) que existem na natureza ou recursos que 
cultivamos, criamos ou transformamos.
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As necessidades humanas se subdividem em:
• Necessidades primárias ou básicas: relacionadas à sobrevivência humana e dizem respeito às exigências do 
corpo, tais como alimentação, habitação, vestuário, saúde, etc.;
• Necessidades secundárias ou complementares: não estão relacionadas à sobrevivência humana, mas sim
ao conforto e bem-estar, tais como necessidades sociais, de estima, etc..
A satisfação das necessidades humanas dependem de fatores:
• Época;
• Região;
• Poder aquisitivo.
Necessidades Humanas
Os recursos (coisas) utilizados por nós para satisfazer nossas necessidades são considerados bens.
Logo, admitimos que bem é qualquer coisa que pode satisfazer as necessidades humanas.
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Bens quanto à utilidade:
• Primários: são aqueles essenciais, indispensáveis à sobrevivência humana;
• Secundários: são os que satisfazem necessidades menos importante do homem, dispensáveis à sua sobrevivência.
Bens quanto à natureza:
• Materiais: são aqueles palpáveis, que podemos tocar;
• Imateriais: chamados de bens de serviço, estão relacionados com o ato do trabalho propriamente dito.
Bens quanto à obtenção:
• Livres ou não-econômicos: são aqueles encontrados livremente na natureza, utilizados gratuitamente;
• Econômicos: são aqueles que o home precisa pagar para utilizar.
Um pouco de história 
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Escambo: o primeiro tipo de troca comercial
Começou pela simples troca de produtos
Depois percebeu-se a necessidade de ter avaliações equivalentes 
de produtos, aí surge, por exemplo, na Grécia o boi como uma primeira unidade 
de escambo
Um pouco de história 
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Há indícios da existência da prática de juros no ano de 2000 a.C. na Babilônia
A ideia era a cobrança de juros através de sementes
Em alguns museus pelo há tábuas antigas que remetem problemas sobre juros 
Também na Suméria verificou-se a existência de tábuas que este povo estava bem familiarizado com juros, recibos, 
notas promissórias, crédito, etc..
Um pouco de história 
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As primeiras moedas surgiram no século VII a.C. no que hoje é a Turquia
Um pouco de história
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Um pouco de história
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Um pouco de história
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Um pouco de história 
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O surgimento dos bancos deve-se, fundamentalmente, aos cambistas
A igreja católica criou o Banco do Espírito Santo
Há relatos que o primeiro banco privado surgiu na Itália por volta do ano de 1150 
Um pouco de história
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Progressões Aritmética e Geométrica
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O que é uma Progressão Aritmética?
É qualquer sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo imediatamente anterior somado com 
uma constante denominada razão desta progressão. 
É uma sequência na qual o aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo.
É uma sequência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante.
Progressões Aritmética e Geométrica
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Algebricamente temos an=an-1+r (n>1)
Exemplo 1: Em uma progressão aritmética a, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50. Quanto vale o oitavo 
termo dessa progressão?
Exemplo 2: Qual a razão da progressão aritmética que se obtém inserindo 10 termos entre os números 3 e 25?
Exemplo 3: O preço de um carro novo é R$ 15.000,00 e diminui de R$ 1.000,00 a cada ano de uso. Qual será o preço 
com 4 anos de uso?
Progressões Aritmética e Geométrica
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Algumas propriedades:
Uma Progressão Aritmética é dita crescente  r > 0
Uma Progressão Aritmética é dita decrescente  r < 0
Uma Progressão Aritmética é dita estacionária  r = 0
Exemplo 4: Determine 4 números em progressão aritmética crescente, sabendo que sua soma é 8 e a soma de seus 
quadrados é 36.
ProgressõesAritmética e Geométrica
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Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética
an=a1+(n-1)r
Como se chega a esse resultado?
Exemplo 5: Quantos termos existem na Progressão Aritmética (1/2; 2; 7/2; ...; 50)?
Exemplo 6: Forme uma Progressão Aritmética de quatro termos em que a soma dos dois primeiros é igual a 1 e a soma 
dos dois últimos é igual a 13.
Progressões Aritmética e Geométrica
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A Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética
an=ak+(n-k)r
Como se chega a esse resultado?
Progressões Aritmética e Geométrica
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Outras propriedades:
Dados três termos consecutivos de uma Progressão Aritmética, o do meio é igual a médias aritméticas dos outros dois.
Como se chega a esse resultado?
an=(an-1+an-1)/2
Algebricamente:
Progressões Aritmética e Geométrica
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Outras propriedades:
A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
Como seria isso algebricamente? Como se comprova isso?
Exemplo 7: Numa Progressão Aritmética, a1 + a9 = 100 . Quanto é a3 + a7?
Progressões Aritmética e Geométrica
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Fórmula da soma dos n primeiros termos uma Progressão Aritmética
Sn=[(a1+an)n]/2
Como se chega a esse resultado?
Exemplo 9: Qual o número de termos de uma Progressão Aritmética finita de razão -8 e primeiro termo 100, onde a 
soma destes termos é 640?
Exemplo 8: Qual a soma dos 20 primeiros termos da Progressão Aritmética 2, 6, 10,...?
Progressões Aritmética e Geométrica
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E quais seriam as “mesmas” situações para Progressão Geométrica?
O que é uma Progressão Geométrica?
É qualquer sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo imediatamente anterior multiplicado por 
uma constante denominada razão desta progressão. 
Algebricamente temos an=an-1 x q (n>1)
Quando a Progressão Geométrica é crescente, decrescente ou ainda estacionária?
Progressões Aritmética e Geométrica
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Termo Geral de uma Progressão Geométrica
an=a1 x 𝑞(𝑛−1)
an=ak x 𝑞(𝑛−𝑘)
Generalizando....
O produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Como seria isso algebricamente? Como se comprova isso?
Progressões Aritmética e Geométrica
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Fórmula da soma dos n primeiros termos uma Progressão Geométrica
Sn=[a1 x (𝑞𝑛 − 1)]/(q-1)
Como se chega a esse resultado?
Matemática Financeira
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O que seria Matemática Financeira?
Importante salientar que a Matemática Financeira está embasada em duas questões fundamentais: o tempo e o capital 
(dinheiro). 
Pode-se dizer que é o conjunto de conceitos matemáticos utilizados em operações financeiras.
O que seriam essas operações financeiras?
São operações realizadas usualmente entre dois agentes, envolvendo a transferência de valores em dinheiro.
Ainda, pode-se dizer que a Matemática Financeira tem por objetivo o manuseio do dinheiro ao longo do tempo.
Matemática Comercial
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O que seria Matemática Comercial?
Está mais afeita a proporção, grandezas proporcionais, divisão em partes proporcionais, regra de três, percentagem, 
etc. 
Pode-se dizer que é o conjunto de conceitos matemáticos utilizados em operações do comércio, tais como análise de 
custos de mercadoria, determinação de margem de lucro, estabelecimento de preço de venda, negociação de 
desconto, etc..
Situação para ilustrar
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Imagine que alguém vai a um banco e se compromete a pagar R$ 2.500,00 ao final de dois anos. Quanto este banco 
estaria disposto a emprestar a esta pessoa?
Perguntando de outra forma, quanto vale hoje um empréstimo de pagamento de R$ 2.500,00 daqui a dois anos?
Uma primeira conclusão óbvia é que o banco não irá emprestar um valor maior que R$ 2.500,00. Assim, parece 
razoável emprestar um valor menor que R$ 2.500,00. 
Quanto seria afinal?
E se tentasse realizar esse empréstimo em outros bancos? 
Situação para ilustrar
34
Preocupações naturais nessa operação devem surgir, tais como:
• Por algum motivo, quem pediu o dinheiro emprestado pode não pagar os R$ 2.500,00 prometido. Logo, o banco 
tem uma incerteza no recebimento do dinheiro, assim, parece razoável o banco ser retribuído por passar por essa 
incerteza;
• O banco que emprestou o dinheiro ficará um período sem a quantia emprestada disponível, de forma que “pode 
perder oportunidades” de fazer outras operações, vai ter que “esperar” um tempo pra tomar outras atitudes, ações 
com esse dinheiro emprestado;
• Há de se poder considerar a presença da inflação, de forma que o poder de compra, ou poder do dinheiro decresce 
com o tempo.
Conceitos importantes
35
Através dessa motivação inicial, devemos, desde já, ter familiaridade com alguns conceitos importantes: 
• Capital: é o valor aplicado envolvido em uma transação financeira na data zero/inicial (valor inicial 
emprestado/aplicado, principal, valor atual, valor presente); 
• Juro (juros): pode-se dizer que é a recompensa financeira recebida por alguém que deixou de usar o seu dinheiro 
por um período de tempo;
• É a compensação financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo, ou ainda, o aluguel pago 
por alguém que, durante algum tempo, usa o capital de outro;
• É o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros deixado a disposição 
de outrem.
Conceitos importantes
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• Montante: é o valor resgatado final, ou seja, é o valor final do capital aplicado; 
• Regime de Capitalização: é a maneira de como será cobrado o juro pela aplicação/uso do capital. Serão abordadas 
dois regimes: Simples e Composto ;
• Renda: é uma sucessão de capitais disponíveis em épocas diferentes. A estes capitais dá-se o nome de termos ou 
anuidades da Renda.
Conceitos importantes
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• Fluxo de Caixa: uma maneira de representar como se comportam os capitais disponíveis em épocas diferentes é 
através do uso de um diagrama denominado Fluxo de Caixa (Diagrama de Setas ou Eixo das Setas), como abaixo: 
onde,
• A escala horizontal representa o tempo;
• Saídas de dinheiro, relacionadas a pagamento, por exemplo, são representadas por setas para baixo e sinais 
negativos;
• Entradas de dinheiro, relacionadas a recebimento de dinheiro, são representadas por setas para cima e sinais 
positivos.
Conceitos importantes
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Critérios para classificação de Rendas: há três critérios de classificação:
• Constância/variabilidade dos termos;
• Número de termos (temporária ou perpétua);
• Vencimento do 1º termo (imediata, antecipada, diferida).
Renda Imediata, temporária de N termos, termos constantes.
Conceitos importantes
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Renda Antecipada, temporária de N termos, termos constantes.
Conceitos importantes
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Renda Diferida de 3 períodos, temporária de 12 termos, termos variáveis.
Situação para motivar
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Uma loja, em uma promoção, oferece as seguintes opções de compra:
• à vista, com 30% de desconto sobre o preço de etiqueta;
• com acréscimo de 20% sobre o preço de etiqueta, em dois pagamentos iguais (um na entrada e outro para 30 dias).
Você sabe qual a taxa de juros que realmente a loja está cobrando na segunda opção oferecida?
Exemplo
42
O dono de um estabelecimento comercial precisa diversificar a oferta de produtos no seu ponto. Assim, o proprietário 
resolve fazer um empréstimo de R$ 7.000,00 em um banco. Este banco cobra uma taxa de juros de 4% ao mês para 
liberar este empréstimo. Quando este comerciante pagará, ao final de oito meses, considerando que o pagamento é 
feito de uma única vez ao final do período de empréstimo e que a taxa cobrada incide apenas sobre o valor 
emprestado? 
Exemplo
Como seria a evolução gráfica para este exemplo?
0 1 2 3 4 5 67 8
Principal = 7000
Montante = 9240
Exemplo
44
Que reta representaria a evolução do montante de um capital, à taxa de 1,5% ao mês, sendo esta taxa incidente sobre 
apenas o capital inicial, durante 11 meses, proporciona juros de R$ 700,00?
Tem-se:
Taxa de juros de 1,5% ao mês;
Período de 11 meses;
Juros de R$ 700,00.
0 11
Principal + 700
Principal
Regime de Capitalização Simples
45
Deve-se ter em mente que no Regime de Capitalização Simples, onde o juro cobrado é dito juros simples, a 
recompensa financeira pelo uso do dinheiro emprestado, digamos assim, é sempre calculada sobre o principal/capital 
inicial. 
Juros Simples Sempre calculado sobre o Principal
Assim, da definição e percepções anteriores tem-se que
Montante = Principal + Juros
M = P + J
Regime de Capitalização Simples
46
Mas como fora calculado esses juros?
Percebe-se que a taxa de juros incide sobre o principal, e sempre sobre ele, uma determinada quantidade de períodos 
(n períodos).
Assim, juro do período 1 = principal x taxa de juros = p x i;
juro do período 2 = principal x taxa de juros = p x i;
juro do período 3 = principal x taxa de juros = p x i;
⁞
juro do período n = principal x taxa de juros = p x i.
Logo, juros = p x i x n;
Regime de Capitalização Simples
47
Então, a fórmula geral para o cálculo de montante, no regime de capitalização simples é
M = P + Pin → M = P (1 + in)
Percebe-se que a partir desta fórmula geral, pode-se calcular montante (M), principal (P), taxa de juros (i) ou o período 
(n), dependendo de cada situação.
Exemplo
48
Durante quanto tempo, a juros simples, à taxa de 7% ao mês, um principal de R$ 4.000,00 produz um montante de R$ 
4.980,00?
Toma-se emprestado R$ 800,00 no início de abril (1º de abril) e paga-se, no último dia de dezembro, R$ 1.000,00. A 
juros simples, qual foi a taxa de juros adota nesta transação?
O preço à vista de uma TV é R$ 900,00. Pode-se, entretanto, optar pelo pagamento de R$ 500,00 de entrada e mais R$ 
R$ 500,00 um mês após a compra. Qual é a taxa mensal de juros adotada neste financiamento? 
Regime de Capitalização Simples
49
Talvez o que seja mais comum no mercado é o uso/divulgação da taxa de juros ser no período mensal! Ao ano também 
é uma prática usual. Contudo, pode-se trabalhar com essas taxas de juros sendo expressas em outras unidades de 
tempo, tais como dia, bimestre, semestre, etc..
Sobre isso deve-se ter a cautela de se perceber se está sendo considerado o ano civil (365 dias) ou o ano comercial 
(360 dias).
A transformação de uma taxa de juros de uma unidade para outra no Regime de Capitalização Simples é algo muito 
simples e basta usar uma regra de três simples para fazê-la .
Exemplo
50
Quanto de juros será pago em 15/12/XX, sobre um principal de R$ 1.000,00 aplicado em 10/10/XX a juros simples, com 
taxa de juros de 9% ao ano?
Considerando o ano comercial
Dimensionando corretamente n, o período:
Dias do mês 10: 20
Dias do mês 11: 30 
Dias do mês 12: 15 
65, logo, n = 66
O que se tem é a taxa anual, mas o período envolvido é em dias, portanto, precisa ser feita uma transformação da taxa 
de juros anual para diária. 
Exemplo
51
Fazendo uma regra de três simples:
0,09 ---------- 365
i ---------- 1
De tal sorte que a taxa de juros diária é de algo em torno de 0,025% ao dia.
Assim, o total de juros cobrado é de 1000 x 0,025/100 x 65 ≈ 16,25 
Considerando o ano civil
Dimensionando corretamente n, o período:
Dias do mês 10: 21 
Dias do mês 12: 15 
66, logo, n = 66Dias do mês 11: 30 
Assim, o total de juros cobrado é de 
1000 x 0,025/100 x 66 ≈ 16,50 
Exemplo
52
Um indivíduo abriu num banco uma conta especial que lhe permite emitir cheques descobertos (sem saldo em conta), 
até determinado valor. O banco cobra uma taxa de 2,1% ao mês, juros simples, sobre o saldo devedor do cliente (valor 
gasto além do saldo disponível em conta). Admitindo que a conta tinha saldo zero no último dia do mês de dezembro e 
o cliente emitiu cheques em janeiro da forma:
01/01: R$ 200,00
11/01: R$ 100,00
21/01: R$ 100,00
Qual o total de juros devidos ao final do mês de janeiro, considerando ano comercial? 
Taxa de Rentabilidade e Taxa de Desconto no Regime de Capitalização Simples
53
Uma pessoa A está de posse de uma uma Nota Promissória (um papel, um título de promessa de pagamento) no valor 
de R$ 1.000,00, a ser paga no final de setembro. O indivíduo A quer trocar esta nota promissória em primeiro de abril, 
e é oferecida por ela a quantia de R$ 800,00. No regime simples, qual foi a taxa de juros adotada nessa transação? 
Taxa de juros de ?;
Período de 6 meses;
Juros de R$ 200,00;
Principal de R$ 800,00;
Montante de R$ 1.000,00.
Atenção para essa vertente:
O valor a ser recebido pela promissória é R$ 1.000,00 daqui a 6 meses, mas na data inicial se oferece R$ 800,00 por ela. 
Quem aceitou comprar a promissória disse: vou utilizar uma taxa de 20% a cada seis meses, de forma que o senhor 
receberá agora R$ 800,00.
Taxa de Rentabilidade e Taxa de Desconto no Regime de Capitalização Simples
54
Veja que essa taxa de 20% a cada seis meses, ou ainda, 3,33% ao mês, incide sobre o montante e não sobre o principal, 
como era de praxe operar. 
Atenção para essa outra vertente:
Se o indivíduo A toma um empréstimo de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 4,16% ao mês, após seis meses ele pagaria 
quanto?
Observe que na situação anterior, 3,33% ao mês incide sobre o montante, e desconta por mês R$ 33,33, que em seis 
meses resulta em R$ 200,00, de forma que esta taxa é denominada taxa de desconto.
Observe que nesta situação, a taxa de 4,16% ao mês incide sobre o principal, e rende por mês R$ 41,60, que em seis 
meses resulta em R$ 200,00, de forma que esta taxa é denominada taxa de juros ou taxa de rentabilidade.
Taxa de Rentabilidade e Taxa de Desconto no Regime de Capitalização Simples
55
Regime de Capitalização Simples
56
Traduzindo essas operações em fórmulas:
M = P + Pin → M = P (1 + in)
Taxa de Juros/Rentabilidade (i)
Montante = Principal + Juros
Juros por período = p x i
Juros em n períodos = p x i x n
Taxa de Desconto (d)
Principal = Montante - Desconto
Desconto por período = M x d
Desconto em n períodos = M x d x n
P = M - Mdn → P = M (1 - dn)
Exemplo
57
Uma pessoa fez compras em uma loja no valor total de R$ 2.400,00. Há duas opções para pagamento:
• À vista, com 3% de desconto;
• Entrada de R$ 1.200,00 mais uma parcela de R$ 1.200,00 um mês após a compra.
a) Que valor será pago se optar pelo pagamento à vista?
b) Que taxa mensal de juros a loja embute no pagamento parcelado?
Um estudante contraiu uma dívida de R$ 2.000,00, a ser paga em regime de capitalização simples após dois anos e 
meio. Quando, ao fim desse prazo, o estudante tentou quitar a dívida com um pagamento de R$ 3.000,00, o credor 
recordou-se de que a taxa mensal combinada fora de 2,4% ao mês. Entretanto, aceitou o pagamento, permitindo que a 
quantia faltante fosse paga, por inteiro, 60 dias mais tarde, porém sem a cobrança de juros. Qual o prejuízo do credor? 
Exemplo
58
Uma conta de gás, no valor de R$ 48,00, com vencimento para 13/04, trazia a seguinte informação: “Se a conta for 
paga após o vencimento, incidirão multa de 2% e juro de 0,033% ao dia, que serão incluídos na conta futura.”
Qual será o acréscimo a ser pago sobre o valor da próxima conta por um consumidor que quitou o débito em 17/04? E 
se ele tivesse atrasado o dobro de dias para efetuar o pagamento?
Alguém deseja aplica hoje a quantia em uma certa instituição financeira que permita que o mesmo retire R$ 10.000,00daqui a 3 meses e outros R$ 10.000,00 daqui a seis meses. Sabendo-se que esta instituição financeira remunera seus 
depósitos a uma taxa de juros de 2% ao mês, a juros simples, qual o valor que deve ser depositado por este cidadão 
para lhe garantir as retiradas desejadas?
Exemplo
59
Uma empresa deseja descontar duplicatas num banco comercial que lhe oferece uma taxa de desconto de 2% ao mês, 
a juros simples. Sabe-se que a 1ª. duplicata é de R$ 10.000,00 e tem vencimento dentro de 90 dias; a 2ª. é de R$ 
10.000,00 com vencimento dentro de 180 dias. Considerando que os meses têm 30 dias, qual o valor a ser creditado 
pelo banco na conta dessa empresa? 
Regime de Capitalização Simples
60
Relacionando as fórmulas de taxa de rentabilidade e desconto
M = P + Pin → M = P (1 + in)
P = M - Mdn → P = M (1 - dn)
Tinha-se 
E ainda
Logo, 
P = M (1 - dn) = M/(1 + in)
Assim, 
(1 - dn) = 1/(1 + in)
Regime de Capitalização Simples
61
Finalmente
d = i/(1 + in) bem como i = d/(1 - dn)
É óbvio que em todas essas relações, n, i e d devem estar coerentemente nas mesmas unidades.
Na prática, a taxa de desconto, a juro simples, é comum em operações bancárias no uso de: 
Notas promissórias (promessa de pagamento)
Duplicatas (título de crédito assinado pelo comprador em que há promessa de pagamento)
Deve ser observado com atenção que algebricamente o desconto de um montante para se chegar ao valor de um 
principal pode ser obtido de duas maneiras
P = M (1 - dn) = M/(1 + in)
Regime de Capitalização Simples
62
O desconto realizado com o uso da taxa de desconto, d, é conhecido como desconto comercial, por fora ou bancário.
Exemplo: Um banco realiza suas operações de desconto de duplicatas com uma taxa de desconto de 2% ao mês. Esse 
banco foi procurado por uma empresa para descontar R$ 1.000.000,00 em duplicatas, todas com vencimentos daqui a 
3 meses. Qual o valor recebido por esta empresa e qual a taxa de rentabilidade, a juros simples?
O desconto realizado com o uso da taxa de rentabilidade/juros, i, é conhecido como desconto racional, por dentro.
Exemplo: Com base no exemplo anterior o banco exigisse que o cliente tenha uma conta com um saldo médio de 30% 
do valor da operação, a título de reciprocidade bancária (segurança para o banco), quanto seria a taxa de 
rentabilidade?