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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CC265 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROFs. FELIPE LOUREIRO / MANOEL CASTRO / MORAES NETO 1 a AP – Lista de Questões para Provas – Estatística Descritiva e Probabilidade 01) A tabela abaixo apresenta valores de velocidade (km/h) observados em uma seção de uma via urbana em uma área residencial de Fortaleza, antes e depois da AMC implantar uma nova placa de regulamentação reduzindo a velocidade máxima permitida de 60 km/h para 40 km/h. Antes Depois Antes Depois a) Elabore um diagrama de frequências em classes para os 64 37 61 40 dados antes da redução do limite de velocidade e outro 56 53 56 34 para os dados depois da implantação da nova placa; 61 40 48 56 b) Calcule a velocidade média, mediana e modal antes e 59 58 48 48 depois do novo limite de velocidade; 53 59 61 53 c) Determine a variância, desvio padrão e coeficiente de va- 48 54 62 34 riação em ambas as situações; 45 37 56 45 d) Represente graficamente as distribuições; 56 45 58 37 e) Em função das medidas de posição e dispersão de cada amostra, você concluiria que a medida foi eficaz? f) Sabendo que o limite de velocidade deve corresponder ao 85 o percentil dos veículos que utilizam a via, caso você fosse engenheiro da AMC qual o limite teórico de velocidade que você estabeleceria para esta via? 02) Considere X uma variável que representa o tempo, em minutos, que um veículo tem que aguardar para transpor a interseção constituída pela rotatória da Praça Portugal. Os dados a seguir foram obtidos por amostragem aleatória simples, ao longo da hora de pico da tarde, de um dia útil típico. a) Descreva um problema que possa ter motivado a análise destes dados; b) Com base no problema descrito, defina um objetivo para a análise destes dados; c) Faça uma análise descritiva destes dados, agrupando-os em classes e calculando as medidas de tendência central e de dispersão, além de interpretar o comportamento desta variável graficamente, utilizando a metodologia de análise que você considerar adequada para alcançar o objetivo estabelecido; d) Com base na amostra coletada, calcule a probabilidade de um veículo ter que aguardar mais de 3,5 minutos para transpor a rotatória; e) Se o critério para promover alguma intervenção na operação desta rotatória for que o terceiro quartil seja superior a 3,5 minutos, qual a sua decisão? 0,2 0,5 0,7 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,7 1,9 2,0 2,1 2,1 2,2 2,3 2,5 2,6 2,8 2,9 3,0 3,0 3,3 3,7 3,7 4,0 4,1 4,5 5,1 5,3 5,9 03) As estruturas de concreto sofrem um processo de fadiga ao longo do tempo. A norma americana referente à utilização de vigas de concreto protendido em pontes prevê a troca das vigas após 40 anos de uso. No estado da Carolina do Norte, foi realizado um projeto de aplicação de reforços de fibra de carbono nas vigas que estariam sendo substituídas e feitos ensaios de resistência estática. A seguir é apresentada a tabela de dados do estudo realizado.Com base nos dados apresentados responda: a) Defina um problema que possa ter motivado a realização do estudo. b) Qual o objetivo da análise? c) Faça uma análise descritiva (exploratória) das duas amostras. d) Qual a sua conclusão? e) Que hipóteses podem ser levantadas tendo em vista o resultado obtido na viga 9? Vigas sem o reforço (mPA) Vigas com o reforço (mPA) 1) 24,6 7) 41,2 2) 27,4 8) 53,6 3) 25,9 9) 27,2 4) 23,1 10) 44,3 5) 24,7 11) 44,6 6) 24,3 12) 45,7 04) Uma firma abre concorrência para a aquisição de 300 peças e impõe a especificação 3,50 0,05 mm, para a dimensão principal da peça. A firma propõe pagar: a) R$12,00 por peça dentro da especificação e R$5,00 para as fora da especificação; b) Uma parcela fixa de R$1.000,00, se ocorrer 3,49 mm Média Amostral 3,51 mm; c) Uma parcela fixa de R$1.500,00, se ocorrer S 2 0,0004 mm 2 . Quanto irá receber um fornecedor, cujas peças apresentem a distribuição abaixo (assuma que a variável dimensão é perfeitamente contínua): Ponto Médio da Classe (dimensão em mm) Número de Peças 3,44 12 3,46 32 3,48 66 3,50 78 3,52 68 3,54 34 3,56 10 TOTAL 300 05) Um psicólogo industrial deu a um empregado dois testes diferentes para medir o grau de satisfação no emprego. Qual resultado é melhor: um escore de 57 no primeiro teste, que teve média 72 e desvio padrão 20, ou um escore de 450 no segundo teste, que acusou média 500 e desvio padrão 80? Explique. 06) Uma pessoa quando sai de casa para o trabalho antes das 8h encontra vaga no estacionamento com probabilidade de 80%, e quando sai após as 8h encontra vaga com probabilidade de 45%. Se ela sai para o trabalho antes das 8h em 75% das vezes, determinar a probabilidade de: a) não encontrar vaga no estacionamento; b) ter saído de casa após as 8h, dado que encontrou vaga no estacionamento; c) ter saído de casa antes das 8h, se ela não encontrou vaga no estacionamento. 07) Em um estudo de sinais de tráfego sincronizados, considere um sistema simples de quatro semáforos. Suponhamos que cada semáforo permaneça vermelho durante 20 segundos em um ciclo de 50 segundos e que P(Sj+1/Sj) = 0,15 e P(Sj+1/complementar de Sj) = 0,40, para j = 1,2,3,4, onde Sj é o evento “um motorista é retido pelo j-ésimo semáforo”. Suponha o sistema dotado de “memória” de apenas um semáforo. Determine a probabilidade do motorista: a) ser retido por todos os quatro semáforos; b) não ser retido por nenhum dos quatro semáforos; c) ser retido por no máximo um semáforo. 08) Suponha que você foi contratado como Engenheiro de Segurança do Trabalho por uma grande construtora de Fortaleza. Nos últimos 20 anos (ver gráfico abaixo), os canteiros de obra dessa construtora foram palco de 73 graves acidentes de trabalho. a) Faça uma análise descritiva da variável X (número de acidentes graves nos canteiros da construtora, por semestre), incluindo medidas de tendência central, de dispersão, e um histograma com a distribuição de frequências simples relativas da variável X. b) Qual é a probabilidade de nenhum acidente ocorrer no próximo semestre. c) Que distribuição de probabilidades poderia representar a variável “intervalo de tempo entre acidentes”? Estime a média e o desvio padrão desta variável. Qual é a probabilidade de se passar 10 meses sem ocorrência de acidente? 09) Historicamente tem sido associada a ocorrência do fenômeno El Niño no Oceano Pacífico com prenúncio de seca no Nordeste. No Jornal O Povo do dia 5/7/97, o Prof. José Nilson Campos (DEHA/UFC) escreveu um artigo no qual mencionava: ... Por outro lado, os dados históricos sinalizam que a probabilidade de ocorrer uma seca em anos de El Niño é bem mais acentuada que em outros anos. ... A questão é: como agir em um cenário onde a probabilidade da ocorrência de uma seca seja superior a X%. Uma primeira ação seria estimar quão grande é essa probabilidade X%. Aí poderia ser organizado um grupo multidisciplinar, incluindo, porém não delimitado a oceanógrafos e meteorologistas, que estimasse esse X da melhor maneira possível.... Caso você fosse convidado para integrar essa equipe multidisciplinar, qual seria sua sugestão para estimar a probabilidade X% de ocorrência de seca no próximo ano, já estando constatada a ocorrência do El Niño? 10) Considere um laboratório com seis microcomputadores. Suponha que cada micro tem probabilidade de 50% de estar ocupado (ou disponível). Considere os seguintes eventos: A = no mínimo 2 micros mas não mais que 5 ocupados; B = no mínimo 3 micros mas não mais que 4 ocupados;C = mais de 3 micros ou um número par de micros ocupados. a) calcule a probabilidade de ocorrência de cada evento e determine qual dos três é o mais provável; b) você decide comprar mais micros somente se a probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos três eventos A, B ou C for maior que 90%. Qual a sua decisão? 11) O teste de bafômetro, assim como qualquer teste cujos resultados possíveis são positivo ou negativo, pode apresentar dois tipos erros: o falso positivo (resultado dar positivo, dado que o motorista não bebeu) e o falso negativo (resultado negativo, dado que o motorista está alcoolizado). Sabe-se que a chance de falso positivo do teste em questão é de 0,1%, e a de falso negativo é de 0,5%. Um motorista, ao ser testado “positivo”, afirma altamente indignado que não havia bebido. O agente de fiscalização contra- 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 Semestre N ú m d e A ci d e n te s argumenta, dizendo que a probabilidade dele haver ingerido bebida alcoólica é de 99,9%, já que a chance de falso positivo é de 0,1%. Avalie esta afirmação do agente. 12) Um industrial tem duas alternativas para a venda de seu produto, que é fornecido em lotes de 500 peças cada um: Alternativa 1: o comprador paga R$ 8,00 por peça e não exige qualquer tipo de ensaio. Alternativa 2: o comprador que paga cada lote recebido, retira 10 peças, ao acaso, e as examina: se todas forem perfeitas, paga R$ 5.000,00 pelo lote; se entre as 10 peças, houver uma defeituosa, pagará a quantia de R$ 4.000,00 pelo lote; e se entre as 10 houver duas ou mais peças defeituosas, paga apenas a quantia de R$ 2.500,00 pelo lote. Se a porcentagem real de peças defeituosas nessa indústria é de 10%, qual das alternativas é mais econômica para o comprador? 13) À medida que artigos são produzidos por uma indústria eles passam por uma inspeção completa. Dentro do processo de produção estima-se que 10% dos artigos produzidos são defeituosos, que 5% dos artigos defeituosos e 1% dos perfeitos são classificados erradamente. a) Qual a probabilidade de um artigo ser realmente perfeito sabendo que o mesmo foi classificado como defeituoso? b) Qual a probabilidade de um artigo ser realmente defeituoso sabendo que o mesmo foi classificado com perfeito? 14) Um empregado afirma que um novo processo de fabricação de videocassete é melhor porque a taxa de defeitos é inferior a 5% (que era a taxa de defeitos no passado). Fabricados 20 videocassetes pelo novo processo, não se constata qualquer defeito. Esse resultado constitui evidência suficiente de que o novo processo é melhor? 15) Uma engenheira de produção de uma indústria está interessada em testar um produto acabado, disponível em lotes de 100 unidades. Ela decidirá por retrabalhar o lote se estiver razoavelmente segura de que pelo menos 20% dos itens são defeituosos. Ela decide selecionar uma amostra aleatória de 5 itens de um determinado lote, sem reposição, e retrabalhar o lote se a amostra contiver um ou mais itens defeituosos. Responda: a) Qual o problema que motiva a análise? b) Qual o objetivo da análise? c) Qual a metodologia de análise adotada pela engenheira? d) Essa metodologia lhe parece razoável? Justifique deixando claro qual o seu critério de julgamento. 16) Uma empresa usa duas máquinas diferentes para fabricar certo tipo de peça. Durante um turno de trabalho, uma amostra de 20 peças produzidas por cada máquina foi selecionada por amostragem sistemática para avaliar se uma das dimensões da peça estava dentro das especificações. O boxplot comparativo da figura abaixo foi construído com base nos dados obtidos. a) Compare e destaque as diferenças entre as duas amostras; b) Se as especificações estabelecem que a peça é aceita somente com dimensão de 100 5, qual o percentual de peças rejeitadas fabricadas por cada máquina? 17) Os fixadores usados na fabricação de aviões são ligeiramente tortos para evitar afrouxarem com a vibração. Suponha que 95% de todos os fixadores passem na inspeção inicial. Dos 5% com falhas, 20% possuem defeitos tão sérios que devem ser sucateados. Os fixadores restantes são enviados para retrabalho, dos quais 40% não podem ser salvos e são descartados. Os outros 60% são corrigidos pelo processo de ondulação e, depois, passam na inspeção. a) Qual é a probabilidade de um fixador selecionado aleatoriamente passar na inspeção inicialmente ou após o retrabalho? b) Dado que um fixador tenha passado na inspeção, qual é a probabilidade de ele ter passado na inspeção inicial, sem necessidade de retrabalho? 18) Um rebite é montado em um furo sendo que o diâmetro dos rebites fabricados é de 12mm e seu desvio padrão é 0,2mm. O diâmetro médio dos furos produzidos é de 13mm e seu desvio padrão 0,5mm. Chamando de folga a diferença entre o diâmetro do furo e do rebite, qual é a média e o desvio padrão da folga? (suponha independência entre os diâmetros dos furos e dos rebites). 19) O estado da Califórnia é atingido por aproximadamente 500 terremotos por ano. Entretanto, aqueles terremotos considerados de grande magnitude ocorrem em média uma vez por ano. a) Determine a probabilidade de que nos próximos três meses não ocorra nenhum grande terremoto? b) Sabendo-se que nos últimos quatro meses não ocorreu nenhum grande terremoto, determine a probabilidade de que os próximos três meses também decorram sem grandes terremotos (use a definição de probabilidade condicional)? c) Se você vai passar três meses de férias na Califórnia, vale a pena procurar saber quando ocorreu o último grande terremoto? 20) Os postos de gasolina distribuem-se ao longo de uma rodovia de acordo com a lei de Poisson com uma média de 1 posto para cada 10 km. Em vista de uma greve na distribuição de gasolina, existe uma probabilidade de 20% de que no próximo posto não haja gasolina. Assumindo que a “disponibilidade” de gasolina nos diferentes postos seja estatisticamente independente, determine: a) Qual é a probabilidade de existirem não mais que 2 postos nos próximos 25 km? b) Qual é a probabilidade de que nos próximos 3 postos nenhum tenha gasolina para vender? c) Um motorista que está na estrada nota que o mostrador de combustível do seu carro indica tanque vazio. De experiências anteriores em situações semelhantes ele sabe que pode rodar mais 15 km. Qual é a probabilidade de que ele fique na estrada por falta de combustível? 21) Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais, no máximo 3 caminhões por dia; se chegarem mais de 3 caminhões, o excesso deve ser enviado a outro distribuidor e, neste caso, há uma perda média de R$ 200,00 por dia em que não se pode aceitar todos os caminhões. Sabendo-se que o número de caminhões que chegam diariamente obedece a distribuição de Poisson de média 2, calcule: a) a probabilidade de chegarem 3 a 5 caminhões no total de 2 dias; b) a probabilidade de, num certo dia, ter-se que mandar caminhões para outro distribuidor; c) a perda média mensal (30 dias) devido a caminhões que não puderam ser aceitos no dia. 22) Um mecânico sabe por experiência que 90% das peças que utiliza no serviço são perfeitas. Se um determinado serviço exige cinco dessas peças, qual o número mínimo que ele deve tomar para que a probabilidade de devolução, por motivo de defeito, seja inferior a 0,12? 23) Os caminhões chegam para seguem carregados à razão de 3 por hora (seguindo uma distribuição de Poisson). Qual a probabilidade de não chegar qualquer caminhão nos próximos 45 minutos, sabendo que o último caminhão chegou a 10 minutos atrás? 24) Uma grande padaria pode produzir pães em lotes de 0, 1.000, 2.000 ou 3.000 pães por dia. O custo de produção por item é R$ 0,10. A demanda variaaleatoriamente de acordo com a seguinte distribuição: Demanda por pães 0 1.000 2.000 3.000 Probabilidade de demanda 0,3 0,2 0,3 0,2 Cada pão, para o qual há demanda, é vendido a R$ 0,30. Cada pão, para o qual não há qualquer demanda, é vendido a R$ 0,05 em um supermercado secundário. Quantos pães a padaria deveria produzir a cada dia para maximizar o lucro médio? 25) Um grupo de consumidores foi informado sobre a possibilidade da ocorrência sistemática de falha na pesagem (peso abaixo do discriminado na embalagem) no departamento de carne de um supermercado. Um representante é encarregado de comprar 5 pacotes de 1 kg de carne cada um no referido supermercado. Se existem 20 pacotes na vitrine e oito deles estão realmente com o peso abaixo do informado, qual é a probabilidade de que pelo menos três dos 5 pacotes comprados estejam com problemas de pesagem? 26) Considere um cruzamento de duas vias de mão única, onde o volume de pico da via principal é de aproximadamente 480 veículos por hora. Sabendo-se que a passagem dos veículos na via principal segue uma distribuição de Poisson e que o tempo necessário para um veículo na via secundária cruzar a via principal em condições de segurança é de 5 segundos, calcule quantos veículos provavelmente conseguirão efetuar esta travessia ao longo da hora de pico? 27) A tabela abaixo mostra a distribuição de frequências relativas do número de veículos que excederam, durante um determinado período de observação, o limite de velocidade em uma seção controlada por equipamento de fiscalização eletrônica, cuja velocidade máxima regulamentar era de 60 km/h (adotou-se uma tolerância de 10%). Faça uma análise descritiva destes dados, calculando todas as medidas de tendência central e de dispersão que você considerar necessárias, além de interpretar o comportamento desta variável graficamente. Ao final, responda: a) Dos modelos de distribuição de probabilidades estudados, qual o que melhor pode representar o comportamento desta variável? b) Quais são as limitações em utilizar este modelo para representar o comportamento real desta variável? c) Este comportamento poderia ser bem aproximado por uma variável normal? Justifique. d) Calcule a probabilidade de um veículo exceder em mais de 20% a velocidade máxima permitida, utilizando o modelo escolhido no item “a”. e) Calcule a mesma probabilidade assumindo uma distribuição normal para esta variável. Velocidade (km/h) 67 - 69 70 - 72 73 - 75 76 - 78 79 - 81 82 - 84 85 – 87 88 - 90 91 - 93 94 - 96 97 - 99 100 - 102 Frequência (%) 44,0 24,0 13,0 8,0 3,0 2,5 2,2 1,7 1,0 0,3 0,2 0,1 28) Em reportagem do Jornal O Povo, de 21/05/02, anuncia-se a implantação de “cronômetro de semáforo” em interseções de Fortaleza: Um novo sistema para tentar diminuir os acidentes em Fortaleza começa a funcionar, em fase experimental, a partir de amanhã. Três aparelhos foram colocados em cruzamentos da cidade e vão mostrar aos motoristas e pedestres o tempo que o sinal verde do semáforo permanece aceso. “O teste vai durar três meses. Se os acidentes diminuírem vamos fazer uma licitação para implantar os aparelhos em outros cruzamentos”, afirma o Chefe de Operação e Fiscalização da AMC. Ainda segundo a reportagem, um dos locais escolhidos para testar o equipamento é o cruzamento das avenidas Murilo Borges com Raul Barbosa, primeiro do ranking em índice de acidentes, no qual foram registrados durante o ano passado dois acidentes com vítimas fatais, seis com feridos e 56 sem vítimas (somente danos materiais). Se você fosse o técnico da AMC responsável pela avaliação do equipamento, como você faria esta análise? Qual o problema em questão? Que variáveis você escolheria para representar o fenômeno em estudo? Que tipo de distribuição de probabilidade melhor poderia representar cada variável? Um ano de registros de acidentes é suficiente para representar o comportamento destas variáveis antes da implantação do equipamento? Três meses é um período adequado para a coleta de dados pós-instalação do equipamento? Caso o equipamento não influencie o comportamento destas variáveis, qual a probabilidade de ocorrerem menos acidentes nesse período que o equivalente ao ano passado? Responda estas e outras perguntas que você achar necessárias para uma correta representação do problema em estudo. 29) Num determinado processo industrial, uma peça com peso superior a 22kg ou inferior a 18kg é considerada defeituosa. O processo atual apresenta 30% de peças defeituosas. Foi proposta a troca por um novo processo com média de 21kg e variância de 0,81kg 2 . Deve ser feita a troca? 30) Na construção de uma barragem de concreto armado foram retirados alguns corpos de prova para controle tecnológico. Por um descuido na remessa dos dados ao engenheiro fiscal, perderam-se algumas folhas onde estavam anotadas as observações sobre os ensaios realizados em laboratório, justamente no intervalo 160 a 200 kgf/m 2 . Pelos dados recebidos, o engenheiro fiscal pode constatar que 25% dos corpos de prova apresentaram resistência inferior a 160 kgf/m 2 e 40% superior a 200 kgf/m 2 . As especificações estabelecem que apenas 5% dos corpos de prova podem apresentar resistência inferior a 140 kgf/m 2 , modelados por uma distribuição normal. Verificar se o concreto da barragem está dentro das especificações. 31) Uma pessoa necessita tomar um trem que parte dentro de 20 min., podendo chegar à estação optando por dois trajetos: T1 e T2. Sabe-se que em T1 o tempo de deslocamento segue uma distribuição normal com média 18 min. e desvio padrão 5 min., enquanto que em T2 o tempo de deslocamento também segue uma distribuição normal com média 20 min. e desvio padrão 2 min. a) Qual a melhor escolha de trajeto? b) Qual a melhor escolha se a pessoa sabe que o trem está atrasado 3 min.? 32) Numa fábrica de tintas o produto é acondicionado automaticamente em latas com aproximadamente 20 kg. Verificou-se que 33% das latas produzidas estavam com peso inferior a 20 kg. A máquina de enlatar foi regulada, aumentando-se o peso médio das latas produzidas em 100 g, fazendo cair a percentagem de latas com peso inferior a 20 kg para 15,87%. De quanto deve ser novamente aumentado o peso médio das latas, para que essa porcentagem se reduza a 5,05%? (Suponha que o desvio padrão permanece constante).
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