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7° arquivo Assintontas

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Limites Laterais 
 Bilateral (estudado até agora) 
 Para ter um limite L quando x  c, uma função f deve ser definida em 
 ambos os lados de c e seus valores f (x) devem se aproximar de L 
 quando x  c de cada lado. 
 Exemplos 
 Lateral 
 É um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se for feita 
 pela direita, o limite será um limite à direita. Caso contrário será um 
 limite à esquerda. 
1)(lim
0


xf
x
1)(lim
0


xf
x
Como os limites laterais são diferentes 
a função f (x) não possui limite bilateral 
quando x  0 
1 
Limites Laterais 
 Exemplos 
)(lime)(lim
22
xfxf
xx  
 ela não apresenta limites bilaterais quando x  - 2 e x  2 
 Como a função só está definida em [-2, 2]: 
 ela não apresenta: 
04lim 2
2


x
x
04lim 2
2


x
x
 Observações: 
 Limites laterais obedecem às leis dos limites bilaterais enunciadas 
 anteriormente. 
 Os teoremas para limites de funções polinomiais, racionais, assim como 
 o Teorema da Confronto também são válidos para limites laterais. 2 
Limites Laterais 
Teorema: Uma função f (x) terá um limite quando x se aproximar de c se e 
 somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda e os 
 dois forem iguais, ou seja: 
 
 
 A relação entre limites laterais e limites (bilaterais) é dada por: 
LxfxfLxf
cxcxcx

 
)(lim)(lim)(lim
 Exemplo: De acordo com a figura, calcule os limites. 
1)(lim
0


xf
x
existemnão)(lime)(lim
00
xfxf
xx  
Em x = 0 
Em x = 1 
0)(lim
1


xf
x
1)(lim
1


xf
x
existenão)(lim
1
xf
x
3 
Limites Laterais 
 Exemplo – continuação: De acordo com a figura, calcule os limites. 
1)(lim)(lim)(lim
222

 
xfxfxf
xxx
Em x = 2 
Em x = 3 
OBS: f (2) = 2 
)3(2)(lim)(lim)(lim
333
fxfxfxf
xxx

 
1)(lim
4


xf
x
existemnão)(lime)(lim
44
xfxf
xx  
Em x = 4 
OBS: Da mesma forma que acontece com os limites bilaterais, os limites 
 laterais também apresentam a definição formal. 4 
Limites Laterais 
 Limites envolvendo (sen)/ 
aproximação: sen   para ângulos pequenos 
 Para (sen)/ medido em radianos: 
 
 Graficamente: 
1
sen
lim
0

 


 Algebricamente, o Teorema do Confronto é utilizado para mostrar que 
 o limite à esquerda e o limite à direita são iguais a 1. Desta forma, o 
 limite bilateral também será 1. 
5 
Luciany Lopes
Realce
Limites Laterais 
 Para mostrar que começamos com valores de  < /2. 
Pela figura ao lado, nota-se que: 
1
sen
lim
0

 


Área OAP < Área setor OAP < Área OAT 
Cálculo das Áreas 
 Área OAP = 
 Área Setor OAP 
= 
2
sen
2
)sen()1( 

2
)1(
2
1
2
1 22  r
 Área OAT = 
2
tg
2
)tg()1( 

Logo: 
 gt
2
1
2
1
sen
2
1

Dividindo a expressão anterior por (positivo, pois 0 <  < /2), tem-se: 
2
sen


cos
1
sen
1 
6 
Limites Laterais 
 Tomando os recíprocos de: inverte-se a desigualdade: 


cos
1
sen
1 



cos
sen
1 
Uma vez que: (prova no livro), 
1coslim
0




1
sen
lim
0

 


 É interessante notar que as funções sen e  são ímpares. 
 
 Então a função é par (com um gráfico simétrico em relação 
 
 ao eixo y. A simetria implica que: 



sen
)( f
1
sen
lim
sen
lim
00

  




Assim: 
1
sen
lim
0

 


tem-se pelo Teorema do Confronto que: 
7 
Limites Laterais 
 Limites Finitos quando 
 Quando x é positivo e vai crescendo cada 
 vez mais, 1/x torna-se cada vez menor. 
 
 Quando x é negativo e cada vez maior em 
 módulo, 1/x torna-se cada vez menor. 
x
0/1lime0/1lim 

xx
xx
 Definição Precisa para Limites Finitos quando x  : 
 1. Diz que f (x) possui limite L quando x tende ao infinito: 
 
 
Se para qualquer  > 0 existe um número M correspondente tal que 
para todos os valores de x: 
Lxf
x


)(lim
 LxfMx )(
8 
Luciany Lopes
Realce
 2. Diz que f (x) possui limite L quando x  - : 
 
 
Limites Laterais 
Se para qualquer  > 0 existe um número N correspondente tal que 
para todos os valores de x: 
Lxf
x


)(lim
 LxfNx )(
9 
 É válido ressaltar que limites tendendo ao infinito apresentam as 
 mesmas propriedades apresentadas pelos limites finitos estudados 
 anteriormente: 
 Soma 
 Subtração 
 Quociente, 
 Produto, etc. 
Limites Laterais 
 Limites no Infinito de Funções Racionais 
 A determinação do limite de uma função racional quando é 
 feita dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de x 
 que surge no denominador. 
x
 Exemplo: Encontre 
 Dividindo o numerador e o denominador x3, tem-se que: 
14
52
lim
3
2


 x
xx
x
)/14(lim
)/5/1/2(lim
/14
/5/1/2
lim
3
32
3
32
x
xxx
x
xxx
x
x
x 







Utilizando as propriedades dos limites, a expressão anterior se torna: 
0
04
05002
)/1lim4(lim
/1lim5lim/1lim/1lim2lim
3
32








x
xxx
xx
xxxxx
10 
Assíntotas Horizontais 
 Se a distância entre o gráfico de uma função e uma reta fixa se 
 aproxima de zero à medida que um ponto se afasta da origem, diz- 
 se que a curva se aproxima assintoticamente da reta e que a reta é 
 uma assíntota do gráfico. 
 Voltando à função racional f (x) = 1/x , observa-se que o eixo x é uma 
 assíntota da curva à direita e à esquerda, pois: 
0/1lime0/1lim 

xx
xx
11 
Assíntotas Horizontais 
 Definição: A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico y = f(x) 
 se pelo menos uma das afirmações abaixo for verdadeira: 
bxfbxf
xx


)(limou)(lim
 Exemplo: Seja a função y = ex. Prove, usando a definição de limite 
 quando que o eixo x (reta y = 0) é uma assíntota 
 horizontal do gráfico de y = ex. 
 
x
Seja  > 0 . Deve-se determinar um número N tal que para todos os 
valores de x: 
 LxfNx )(
Sol: Deve-se provar que: 
0lim 

x
x
e
A condição a ser satisfeita é 
xe
Como 
xx eeLxf  0)(
12 
Assíntotas Horizontais 
Com este valor de N, a condição é satisfeita provando que: 
Seja x = N, o número para o qual: 
0lim 

x
x
e
Condição a ser satisfeita: 
xe
xe
Como ex é uma função crescente: 
 xeNxse
Assim: . Aplicando logaritmo natural em ambos os lados: 
Ne
 lnln)ln(  NeN
Pode-se identificar facilmente pela 
figura que o eixo x (reta y = 0) é uma 
assíntota horizontal do gráfico da 
função ex . 
13 
Assíntotas Horizontais 
 Exemplo: Determine: 
 
Neste caso, pode-se utilizar uma substituição de variáveis: 
x
x
e /1
0
lim

Problema 
anterior 
xt /1
Olhando o gráfico da função y = 1/x, percebe- 
se que quando: 
  tx 0
0limlim /1
0

 
t
t
x
x
ee
 OBS1: O gráfico de uma função pode ter mais uma assíntota 
 horizontal. É o caso da função arco tangente. 
 
 OBS2: O Teorema do Confronto tambémse aplica quando 
 
14 
x
Limites 
 Exercícios: Sejam as funções a seguir: 
 
15 
)(lime)(lim
22
xfxf
xx  
a. Determine 
)(lim
2
xf
x
b. Existe ? Justifique. 
)(lime)(lim
44
xfxf
xx  
c. Determine 
)(lim
4
xf
x
d. Existe ? Justifique. 
).2(e)(lim,)(lim
22
fxfxf
xx  
a. Determine 
)(lim
2
xf
x
b. Existe ? Justifique. 
)(lime)(lim
11
xfxf
xx  
c. Determine 
)(lim
1
xf
x 
d. Existe ? Justifique. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Limites Infinitos 
 O conceito de limite será estendido para limites infinitos que não 
 são mais limites e sim representam o comportamento de funções 
 cujos valores se tornam arbitrariamente grandes. 

 
xxf
xx
/1lim)(lim
00
 Limites Infinitos 
 Voltando à função f(x) = 1/x deve-se lembrar 
 que quando x  0+ , os valores de f crescem 
 ilimitadamente, alcançando e ultrapassando 
 todo número real. 
 Analogamente quando x  0- , os valores de 
 f crescem (em módulo) de forma ilimitada. 
 
Assim, não há um limite desta função quando 
  0ou0 xx
16 
Luciany Lopes
Realce
Limites Infinitos 
 Quando se escreve está sendo dito que 
 
 não existe porque 1/x torna-se arbitrariamente grande e positivo à medida 
 que x  0+ . 
 O mesmo ocorre quando se escreve . 
 Observando a figura novamente, é 
 interessante notar que esta função não 
 apresenta um comportamento consistente 
 quando x  0 . 

 
xxf
xx
/1lim)(lim
00
x
x
/1lim
0


x
x
/1lim
0
17 
Limites Infinitos 
 Definições Precisas para Limites Infinitos 
 1. Diz que f (x) tende ao infinito quando x  x0, ou seja: 
 
 
Se para cada número real positivo qualquer B existe um  > 0 
correspondente tal que para todos os valores de x: 


)(lim
0
xf
xx
Bxfxx  )(0 0 
 2. Diz que f (x) tende a menos infinito quando x  x0 : 
 
 


)(lim
0
xf
xx
Se para cada número real negativo qualquer - B existe um  > 0 
correspondente tal que para todos os valores de x: 
Bxfxx  )(0 0 
18 
Limites Infinitos 
OBS: Limites “infinitos” no infinito podem ser considerados. Existem 
 definições formais para cada um destes limites: 
 


)(lim xf
x


)(lim xf
x


)(lim xf
x


)(lim xf
x
19 
Assíntotas Verticais 
A distância entre um ponto no gráfico 
e o eixo y tende a zero quando o ponto 
se move verticalmente ao longo da 
curva, afastando-se da origem. 
Isto ocorre porque: 
 A definição de assíntota foi dada quando se falou de assíntota 
 horizontal. Para falar de assíntotas verticais, voltaremos ao 
 gráfico da função racional f(x) = 1/x . 

 
xx
xx
/1lime/1lim
00
Assíntota 
Horizontal 
(reta y = 0) 
Assíntota 
Horizontal 
(reta y = 0) 
Assíntota 
Vertical 
(reta x = 0) 
Assíntota 
Vertical 
(reta x = 0) 
Diz-se então que a reta x = 0 (eixo y) é uma assíntota vertical do gráfico 
de y = 1/x. 
20 
Assíntotas Verticais 
 Definição: A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = f (x) 
 se pelo menos uma das afirmações abaixo for verdadeira: 
 No gráfico da função y = ln x (que é a 
 reflexão do gráfico de y = ex), o eixo y 
 (reta x = 0) é uma assíntota vertical. 
 Assim: 
 


x
x
lnlim
0


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax
OBS: É interessante lembrar que a reta y = 0 (eixo x) é uma assíntota 
 horizontal de y = ex. 
21 
Assíntotas Verticais 
 Curvas com Infinitas Assíntotas 
22 
Limites Laterais 
 Exercício 1: Determine os limites indicados para as funções abaixo: 
23 
)(lime)(lim
22
xfxf
xx  
a. 
)(lim
0
xf
x 
b. 
)(tglim
)2/(
x
x  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
23
2
2
23
)(
xx
xx
xf



 Exercício 2: Determine 
)(lime)(lim
00
xfxf
xx  
a. 
)(lim
3 2
xf
x
b. 
x
x
xf
1
2
)(
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

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