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Limites Laterais Bilateral (estudado até agora) Para ter um limite L quando x c, uma função f deve ser definida em ambos os lados de c e seus valores f (x) devem se aproximar de L quando x c de cada lado. Exemplos Lateral É um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se for feita pela direita, o limite será um limite à direita. Caso contrário será um limite à esquerda. 1)(lim 0 xf x 1)(lim 0 xf x Como os limites laterais são diferentes a função f (x) não possui limite bilateral quando x 0 1 Limites Laterais Exemplos )(lime)(lim 22 xfxf xx ela não apresenta limites bilaterais quando x - 2 e x 2 Como a função só está definida em [-2, 2]: ela não apresenta: 04lim 2 2 x x 04lim 2 2 x x Observações: Limites laterais obedecem às leis dos limites bilaterais enunciadas anteriormente. Os teoremas para limites de funções polinomiais, racionais, assim como o Teorema da Confronto também são válidos para limites laterais. 2 Limites Laterais Teorema: Uma função f (x) terá um limite quando x se aproximar de c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda e os dois forem iguais, ou seja: A relação entre limites laterais e limites (bilaterais) é dada por: LxfxfLxf cxcxcx )(lim)(lim)(lim Exemplo: De acordo com a figura, calcule os limites. 1)(lim 0 xf x existemnão)(lime)(lim 00 xfxf xx Em x = 0 Em x = 1 0)(lim 1 xf x 1)(lim 1 xf x existenão)(lim 1 xf x 3 Limites Laterais Exemplo – continuação: De acordo com a figura, calcule os limites. 1)(lim)(lim)(lim 222 xfxfxf xxx Em x = 2 Em x = 3 OBS: f (2) = 2 )3(2)(lim)(lim)(lim 333 fxfxfxf xxx 1)(lim 4 xf x existemnão)(lime)(lim 44 xfxf xx Em x = 4 OBS: Da mesma forma que acontece com os limites bilaterais, os limites laterais também apresentam a definição formal. 4 Limites Laterais Limites envolvendo (sen)/ aproximação: sen para ângulos pequenos Para (sen)/ medido em radianos: Graficamente: 1 sen lim 0 Algebricamente, o Teorema do Confronto é utilizado para mostrar que o limite à esquerda e o limite à direita são iguais a 1. Desta forma, o limite bilateral também será 1. 5 Luciany Lopes Realce Limites Laterais Para mostrar que começamos com valores de < /2. Pela figura ao lado, nota-se que: 1 sen lim 0 Área OAP < Área setor OAP < Área OAT Cálculo das Áreas Área OAP = Área Setor OAP = 2 sen 2 )sen()1( 2 )1( 2 1 2 1 22 r Área OAT = 2 tg 2 )tg()1( Logo: gt 2 1 2 1 sen 2 1 Dividindo a expressão anterior por (positivo, pois 0 < < /2), tem-se: 2 sen cos 1 sen 1 6 Limites Laterais Tomando os recíprocos de: inverte-se a desigualdade: cos 1 sen 1 cos sen 1 Uma vez que: (prova no livro), 1coslim 0 1 sen lim 0 É interessante notar que as funções sen e são ímpares. Então a função é par (com um gráfico simétrico em relação ao eixo y. A simetria implica que: sen )( f 1 sen lim sen lim 00 Assim: 1 sen lim 0 tem-se pelo Teorema do Confronto que: 7 Limites Laterais Limites Finitos quando Quando x é positivo e vai crescendo cada vez mais, 1/x torna-se cada vez menor. Quando x é negativo e cada vez maior em módulo, 1/x torna-se cada vez menor. x 0/1lime0/1lim xx xx Definição Precisa para Limites Finitos quando x : 1. Diz que f (x) possui limite L quando x tende ao infinito: Se para qualquer > 0 existe um número M correspondente tal que para todos os valores de x: Lxf x )(lim LxfMx )( 8 Luciany Lopes Realce 2. Diz que f (x) possui limite L quando x - : Limites Laterais Se para qualquer > 0 existe um número N correspondente tal que para todos os valores de x: Lxf x )(lim LxfNx )( 9 É válido ressaltar que limites tendendo ao infinito apresentam as mesmas propriedades apresentadas pelos limites finitos estudados anteriormente: Soma Subtração Quociente, Produto, etc. Limites Laterais Limites no Infinito de Funções Racionais A determinação do limite de uma função racional quando é feita dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de x que surge no denominador. x Exemplo: Encontre Dividindo o numerador e o denominador x3, tem-se que: 14 52 lim 3 2 x xx x )/14(lim )/5/1/2(lim /14 /5/1/2 lim 3 32 3 32 x xxx x xxx x x x Utilizando as propriedades dos limites, a expressão anterior se torna: 0 04 05002 )/1lim4(lim /1lim5lim/1lim/1lim2lim 3 32 x xxx xx xxxxx 10 Assíntotas Horizontais Se a distância entre o gráfico de uma função e uma reta fixa se aproxima de zero à medida que um ponto se afasta da origem, diz- se que a curva se aproxima assintoticamente da reta e que a reta é uma assíntota do gráfico. Voltando à função racional f (x) = 1/x , observa-se que o eixo x é uma assíntota da curva à direita e à esquerda, pois: 0/1lime0/1lim xx xx 11 Assíntotas Horizontais Definição: A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico y = f(x) se pelo menos uma das afirmações abaixo for verdadeira: bxfbxf xx )(limou)(lim Exemplo: Seja a função y = ex. Prove, usando a definição de limite quando que o eixo x (reta y = 0) é uma assíntota horizontal do gráfico de y = ex. x Seja > 0 . Deve-se determinar um número N tal que para todos os valores de x: LxfNx )( Sol: Deve-se provar que: 0lim x x e A condição a ser satisfeita é xe Como xx eeLxf 0)( 12 Assíntotas Horizontais Com este valor de N, a condição é satisfeita provando que: Seja x = N, o número para o qual: 0lim x x e Condição a ser satisfeita: xe xe Como ex é uma função crescente: xeNxse Assim: . Aplicando logaritmo natural em ambos os lados: Ne lnln)ln( NeN Pode-se identificar facilmente pela figura que o eixo x (reta y = 0) é uma assíntota horizontal do gráfico da função ex . 13 Assíntotas Horizontais Exemplo: Determine: Neste caso, pode-se utilizar uma substituição de variáveis: x x e /1 0 lim Problema anterior xt /1 Olhando o gráfico da função y = 1/x, percebe- se que quando: tx 0 0limlim /1 0 t t x x ee OBS1: O gráfico de uma função pode ter mais uma assíntota horizontal. É o caso da função arco tangente. OBS2: O Teorema do Confronto tambémse aplica quando 14 x Limites Exercícios: Sejam as funções a seguir: 15 )(lime)(lim 22 xfxf xx a. Determine )(lim 2 xf x b. Existe ? Justifique. )(lime)(lim 44 xfxf xx c. Determine )(lim 4 xf x d. Existe ? Justifique. ).2(e)(lim,)(lim 22 fxfxf xx a. Determine )(lim 2 xf x b. Existe ? Justifique. )(lime)(lim 11 xfxf xx c. Determine )(lim 1 xf x d. Existe ? Justifique. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Limites Infinitos O conceito de limite será estendido para limites infinitos que não são mais limites e sim representam o comportamento de funções cujos valores se tornam arbitrariamente grandes. xxf xx /1lim)(lim 00 Limites Infinitos Voltando à função f(x) = 1/x deve-se lembrar que quando x 0+ , os valores de f crescem ilimitadamente, alcançando e ultrapassando todo número real. Analogamente quando x 0- , os valores de f crescem (em módulo) de forma ilimitada. Assim, não há um limite desta função quando 0ou0 xx 16 Luciany Lopes Realce Limites Infinitos Quando se escreve está sendo dito que não existe porque 1/x torna-se arbitrariamente grande e positivo à medida que x 0+ . O mesmo ocorre quando se escreve . Observando a figura novamente, é interessante notar que esta função não apresenta um comportamento consistente quando x 0 . xxf xx /1lim)(lim 00 x x /1lim 0 x x /1lim 0 17 Limites Infinitos Definições Precisas para Limites Infinitos 1. Diz que f (x) tende ao infinito quando x x0, ou seja: Se para cada número real positivo qualquer B existe um > 0 correspondente tal que para todos os valores de x: )(lim 0 xf xx Bxfxx )(0 0 2. Diz que f (x) tende a menos infinito quando x x0 : )(lim 0 xf xx Se para cada número real negativo qualquer - B existe um > 0 correspondente tal que para todos os valores de x: Bxfxx )(0 0 18 Limites Infinitos OBS: Limites “infinitos” no infinito podem ser considerados. Existem definições formais para cada um destes limites: )(lim xf x )(lim xf x )(lim xf x )(lim xf x 19 Assíntotas Verticais A distância entre um ponto no gráfico e o eixo y tende a zero quando o ponto se move verticalmente ao longo da curva, afastando-se da origem. Isto ocorre porque: A definição de assíntota foi dada quando se falou de assíntota horizontal. Para falar de assíntotas verticais, voltaremos ao gráfico da função racional f(x) = 1/x . xx xx /1lime/1lim 00 Assíntota Horizontal (reta y = 0) Assíntota Horizontal (reta y = 0) Assíntota Vertical (reta x = 0) Assíntota Vertical (reta x = 0) Diz-se então que a reta x = 0 (eixo y) é uma assíntota vertical do gráfico de y = 1/x. 20 Assíntotas Verticais Definição: A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = f (x) se pelo menos uma das afirmações abaixo for verdadeira: No gráfico da função y = ln x (que é a reflexão do gráfico de y = ex), o eixo y (reta x = 0) é uma assíntota vertical. Assim: x x lnlim 0 )(lim xf ax )(lim xf ax )(lim xf ax )(lim xf ax OBS: É interessante lembrar que a reta y = 0 (eixo x) é uma assíntota horizontal de y = ex. 21 Assíntotas Verticais Curvas com Infinitas Assíntotas 22 Limites Laterais Exercício 1: Determine os limites indicados para as funções abaixo: 23 )(lime)(lim 22 xfxf xx a. )(lim 0 xf x b. )(tglim )2/( x x -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 2 2 23 )( xx xx xf Exercício 2: Determine )(lime)(lim 00 xfxf xx a. )(lim 3 2 xf x b. x x xf 1 2 )( 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------
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