11° arquivo Derivação

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Derivação 
 Definição 
 A derivada de uma função f (x) em relação à variável x é a função 
 cujo valor em x é: 
1 
desde que o limite exista. 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0



 Domínio da função derivada: conjunto de pontos no domínio da 
 função f para o qual o limite existe. 
 Expressão alternativa 
Sendo z = x + h  h = z – x. 
h  0 se somente se z  x. Assim: 
xz
xfzf
xf
xz 



)()(
lim)(
Coeficiente 
angular da reta 
secante. 
Outra Pessoa
Realce
Derivação 
 Exemplo 1: Aplicando a definição, calcule o valor da derivada da 
 função: 
Sol: 
2 
h
x
x
hx
hx
h
xfhxf
xf
hh
1)1(
)(
lim
)()(
lim)(
00








Como h ≠ 0: 
1
)(


x
x
xf
1)(
)(



hx
hx
hxf
)1()1(
)1()1()(
lim)(
0 


 xhxh
hxxxhx
xf
h
)1()1(
lim
)1()1(
)(
lim)(
0
22
0 





 xhxh
h
xhxh
xxhxhxhxx
xf
hh
)1()1(
1
lim)(
0 


 xhx
xf
h 2)1(
1
)(



x
xf
Derivação 
 Notações 
 Há várias formas de representar a derivada de uma função y = f(x): 
3 
)()()()()( xfDxfDxf
dx
d
dx
df
dx
dy
yxf x
 A notação para indicar o valor da derivada em um ponto específico 
 x = a é: 
OBS: Os símbolos são chamados operadores de derivação. 
D
dx
d
e
axax
xf
dx
d
dx
df
af

 )()(
 O valor da derivada em um ponto específico x = a também pode ser 
 definida trocando a barra vertical pelo colchete direito: 
axdx
df
af




 )(
Outra Pessoa
Realce
Derivação 
 Função diferenciável em um intervalo: Derivadas Laterais 
 Uma função f (x) será diferenciável em um intervalo aberto (a, b) 
 se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. 
4 
Derivada à 
direita em a. 
Derivada à 
esquerda em a. 
 Uma função f (x) será diferenciável 
 em um intervalo fechado [a, b] se 
 for diferenciável no interior (a, b) e 
 se os limites indicados na figura 
 existirem nas extremidades. 
OBS1: Derivadas à esquerda e à direita podem ser definidas em qualquer 
 ponto do domínio de uma função. 
Outra Pessoa
Realce
Derivação 
5 
OBS2: A relação entre limites laterais e bilaterais é válida para essas 
 derivadas. Assim, uma função terá derivada em um ponto se e 
 somente se tiver derivadas à esquerda e à direita neste ponto e 
 essas derivadas forem iguais. 
Sol: Deve-se lembrar que: 






0para
0para
xx
xx
x
Derivadas Laterais 




  h
fhf
h
fhf
hh
)0()(
lim
)0()0(
lim
00
11limlim
00

  hh h
h
11limlim
)0()(
lim
)0()0(
lim
0000






  hhhh h
h
h
fhf
h
fhf
 Exemplo 2: Mostre que a função f(x) = | x | não é diferenciável em 
 x = 0. 
Outra Pessoa
Realce
Derivação 
 Casos em que a função não apresenta derivada em um ponto 
6 
Bico: Derivadas laterais 
diferentes 
Ponto Cuspidal 
Tangente 
Vertical 
Descontinuidade 
Outra Pessoa
Realce
Derivação 
 Teorema 1: Diferenciabilidade implica continuidade 
 Se a função y = f (x) tem uma derivada em x = c, então a função é 
 contínua neste ponto. 
7 
Demonstração: 
)()(lim cfxf
cx


Como existe, deve-se provar que: 
)(cf 
ou de maneira equivalente: 
)()(lim cfhcf
oh


])()([)()( cfhcfcfhcf 
Se h ≠ 0: 
h
h
cfhcf
cfhcf
])()([
)()(


Calculando os limites quando h  0: 
h
h
cfhcf
cfhcf
hhhh 0000
lim.
])()([
lim)(lim)(lim



0).()()(lim
0
cfcfhcf
h


)()(lim cfxf
cx


Outra Pessoa
Realce
Derivação 
8 
OBS: A recíproca do teorema 1 é falsa. 
Pelo gráfico: 
0)(lime0)(lim
00

 
xfxf
xx
Como exemplo pode-se citar o caso da função f (x) = | x | que provamos 
que não é diferenciável em x = 0, apesar de ser contínua nesse ponto. 
0)(lim
0


xf
x
Além disso: 
0)0()(lim
0


fxf
x
continuidade 
Outra Pessoa
Realce
Derivação 
9 
 Exercício 1: Utilizando a definição por limite, derive a função 
 abaixo e determine o coeficiente angular da tangente em x = -3. 
x
xxf
9
)( 
Resp: 
0)3(e
9
)(
2
2


 f
x
x
xf
 Exercício 2: Cada figura abaixo mostra o gráfico de uma função 
 em um intervalo fechado D. Em que pontos do domínio a função 
 parecer ser: 
a. derivável? b. contínua, mas não derivável? 
Justifique sua resposta. 
c. nem contínua, nem derivável? 
Derivação - Regras 
10 
Prova: 
 Regra 1: Derivada de uma função constante 
 Se a função f tem um valor constante, ou seja, f(x) = C, então: 0
dx
df
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0



00limlim)(
00



 hh h
cc
xf
 Regra 2: Potenciação (versão geral) 
 Se n for um número real (não nulo), então: 1 n
n
xn
dx
dx
Exemplos: 
23 3)()(Se xxfxxf  43 3)()(Se   xxfxxf
x
xxfxxf
2
1
2
1
)()(Se 2/12/1  
Derivação - Regras 
11 
Prova: Usando a definição: 
 Regra 3: Multiplicação por constante 
 Se u é uma função diferenciável de x, k é uma constante e a função f é 
 dada por: 
h
xukhxuk
h
xfhxf
ku
dx
d
hh
)()(
lim
)()(
lim)(
00





 Regra 4: Derivada da soma 
 Se f e g são duas funções deriváveis x, então a soma das duas é 
 derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Neste 
 pontos: 
)()( xukxf 
Então: 
dx
dg
dx
df
dx
gfd

 )(
h
xuhxu
kku
dx
d
h
)()(
lim)(
0


 dx
du
k
dx
kud

)(
dx
du
k
dx
kud

)(
Derivação - Regras 
12 
OBS: Combinando a Regra da Soma com a Regra da Multiplicação por 
Constante, obtém-se a Regra da Diferença: 
Sol: Tangentes 
horizontais: 
 Exemplo 3: A curva y = x4 - 2x2 + 2 tem alguma tangente horizontal? 
 Se tiver, onde ela ocorre? 
dx
dg
dx
df
dx
gfd

 )(
0
dx
dy
Assim: 
044 3  xx
dx
dy









1
1
0
0)1(4 2
x
x
x
xx
A curva apresenta tangente horizontal 
em três pontos: (0, 2), (1, 1), (-1, 1). 
Derivação - Regras 
13 
 Regra 5: Derivada do Produto 
 Se f e g são duas funções deriváveis x, então o produto também é e: 
dx
df
g
dx
dg
f
dx
gfd

).(
Sol: 
 Exemplo 4: Calcule a derivada da função: 
)3()42()( 2523 xxxxxh 
)86()3()215()42()( 225423 xxxxxxxxxh 
Rearranjando a expressão, tem-se: 
3467 15108448)( xxxxxh 
 Exemplo 5: Seja y = uv o produto de duas funções u e v. Calcule 
 a derivada da função no ponto x = 2 sabendo que: 
2)2(;1)2(;4)2(;3)2(  vvuu
Pela Regra do Produto: 
2)4(1)2(3)2()2()2()2()2(  uvvuy
Derivação - Regras 
14 
 Regra 6: Derivada do Quociente 
 Se f e g são duas funções deriváveis em x e g(x)  0, então o 
 quociente f/g é derivável em x e: 
2
)/(
g
dx
dg
f
dx
df
g
dx
gfd


Sol: 
 Exemplo 6: Calcule a derivada da função: 
22 )1(
4


t
t
y
)1(
)1(
2
2



t
t
y
Assim: 
22
33
22
22
)1(
2222
)1(
)2()1()2()1(





t
tttt
t
tttt
y
Derivação 
15 
 Derivadas de 2ª. Ordem e de Ordem Superior 
 Em termos de notação, a segunda derivada pode ser dada por: 
n
n
dx
fd
OBS: Será visto que a 2ª. derivada está relacionada à concavidade da curva. 
 Se y = f (x) é uma função derivável, então sua derivada também é 
 uma função. 
 Se a derivada também for uma função derivável, pode-se derivá-la 
 e obter a segunda derivada da função. 
)()()()()( 22
2
2
xfDxfDx
dx
fd
dx
df
dx
d
xf x






 Esse processo de derivação pode continuar e, assim, a n-ésima 
 derivada de f em relação a x pode ser escrita como: 
Derivação 
16 
 Derivadas de Funções Exponenciais 
Pode-se perceber que L é igual à 
derivada de f (x) = ax em x = 0. 
 Aplicando a definição de derivada à função f (x) = ax, tem-se que 
 a derivada é um múltiplo constante da própria função ax. 
h
xfhxf
dx
df
h
)()(
lim
0



h
aaa
h
aa
dx
ad xhx
h
xhx
h
x 





 00
limlim
)(
h
a
a
h
aa
dx
ad h
h
x
hx
h
x )1(
lim
)1(
lim
)(
00





x
h
h
x
a
h
a
dx
ad





 


)1(
lim
)(
0
OBS: Será provado que o limite L existe e é igual a ln(a). 
L 
Derivação 
17 
 Derivadas de Funções Exponenciais 
Com a base a = e, o valor de L = 1 e 
assim: 
 Enquanto a demonstração não é feita, vamos avaliar o que ocorre 
 com o valor de L para alguns valores da base a quando h  0. 
x
h
h
x
e
h
e
dx
ed





 


)1(
lim
)(
0
Base a Limite L 
2 0,69 
2,5 0,92 
e 1,00 
3,0 1,1 
L = 1 
x
x
e
dx
ed

)(
A derivada da função exponencial 
natural é igual à própria função. 
Derivação 
18 
 Exercício 1: Determine a primeira e a segunda derivadas das 
 funções a seguir: 
x
x
xf
7
)(
3 

 Exercício 2: As curvas abaixo têm uma tangente em comum no 
 ponto (1, 0). Determine as constantes a, b e c. 
b. 
a. 
)1()1()( 2  zzezf z
22 e xcxybaxxy 
Resp: 
32
14
2)(e
7
2)(
x
xf
x
xxf 
Resp: a = -3; b = 2 e c = 1 
Derivação 
19 
 A Derivada como Taxa de Variação 
 Taxas de Variação Instantâneas: Interpretando a razão incremental 
h
xfhxf )()( 
Como a taxa de variação média de f no 
intervalo de x a x + h, pode-se interpretar seu 
limite quando h  0 como a taxa com que a função f varia no ponto x. 
 Taxas de Variação Instantâneas: A taxa de variação instantânea 
 de f em relação a x em x0 é a derivada: 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)( 00
0
0



desde que o limite exista 
Assim, taxas instantâneas são limites de taxas médias. 
Derivação 
20 
 Movimento ao Longo de Uma Reta 
 Supondo que um objeto se desloque ao longo do eixo s abaixo e 
 que sua posição em função do tempo t seja conhecida: 
 O deslocamento s, ocorrido no intervalo de t a t + t é dado por: 
)()( tfttfs 
e sua velocidade média nesse 
intervalo é dada por: 
A partir da velocidade média, encontra-se a velocidade instantânea. 
t
tfttf
t
s
vm






)()(
Derivação 
21 
 Velocidade Instantânea: é a derivada da posição em relação ao 
tempo, ou seja: 
 A velocidade também informa o sentido do movimento. Quando o 
 objeto se desloca para frente (s cresce), a velocidade é positiva. 
 Caso contrário, o valor será negativo. 
t
tfttf
dt
ds
tv
t 



)()(
lim)(
0
OBS: O velocímetro sempre mostra o valor absoluto da velocidade. 
Este módulo é chamado de velocidade escalar. 
Derivação 
22 
 Aceleração de um corpo: é a taxa com que sua velocidade varia. 
2
2
)(
dt
sd
dt
dv
ta 
 Aceleração de um corpo: é a derivada da velocidade em relação 
 ao tempo. 
 Se a posição de um corpo em um instante t é s(t), então sua 
 aceleração no instante t é dada por: 
 Exemplo 3: Dada a posição (em metros) de um corpo no instante t 
 como sendo: , pede-se: 
tttts 96)( 23 
a. A aceleração do corpo quando a velocidade for nula. 
b. O módulo da velocidade do corpo quando a aceleração for nula. 
c. A distância total percorrida pelo corpo de t = 0 a t = 2s. 
Derivação 
23 
tttts 96)( 23 
Sol: Sabendo que: , tem-se: 
126)(e9123)( 2  t
dt
dv
tatt
dt
ds
tv
b. O módulo da velocidade do corpo quando a aceleração for nula. 
c. A distância total percorrida pelo corpo de t = 0 a t = 2s. 






st
st
16/)612(
36/)612(
36108144
2
1






2
2
/6)3(
/6)1(
sma
sma
smvsmv
sttta
/3)2(/392412)2(
201260)(


O corpo se move  de 0  t  1s e  de 1  t  2s 
msmss 2)2(e4)1(;0)0(  mssssstotal 6)1()2()0()1( 
a. A aceleração do corpo quando a velocidade for nula. 
091230)( 2  tttv
Derivação 
 Sensibilidade à Variação 
 Quando uma pequena variação em x provoca uma grande mudança 
 no valor de f (x), diz-se que a função é sensível à variação de x. 
 A derivada de f (x) é a medida desta sensibilidade. 
 Exercício 1: O número de galões de água em um tanque, t minutos 
 depois de iniciar seu esvaziamento, é dado por Q(t) = 200 (300 – t 2). 
 
 a. A que taxa a água escoará ao fim de 10 minutos. 
 b. Qual é a taxa média de saída da água durante os 10 primeiros 
 minutos? 
Resp: a. – 4000 galões/min; b. - 2000 galões/min 
24 
Derivação 
 Exercício 2: Uma pedra atirada verticalmente para cima na superfície 
 da Lua com velocidade de 24 m/s atinge uma altura de s(t) = 24t - 0,8 t 2 
 metros em t segundos. 
 
 a. Determine a velocidade e a aceleração da pedra no instante t. 
 b. Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto? 
 c. Qual a altura atingida pela pedra? 
 d. Quanto tempo a pedra leva para atingir metade de sua altura 
 máxima? 
 
Resp: a. v = (24 – 1,6t) m/s e a = -1,6 m/s2 . 
 b. t = 15 s. 
 c. s = 180 m. 
 d. t  4,39 s (subida) e t  25,61 s (descida) . 
25