13° arquivo Regra da cadeia

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Derivação 
 Funções trigonométricas 
 Importância: representação de muitos fenômenos naturais. 
 Derivada: descrição de variações periódicas. 
1 
Prova: Pela definição 
 Derivada da função seno 
 A derivada da função seno é a função cosseno. 
h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
)(sen)(sen
lim
)()(
lim)(
00





h
xxhhx
xf
h
sen)cossen()cos(sen
lim)(
0



h
xhhx
xf
h
)cossen()1cos(sen
lim)(
0



x
dx
xd
cos
)sen(

Derivação 
2 
Do slide anterior: 
 Derivada da função seno (continuação) 
h
xhhx
xf
h
)cossen()1cos(sen
lim)(
0




















 

 h
h
x
h
h
xxf
hh
sen
coslim
)1cos(
senlim)(
00









 h
h
x
h
h
xxf
hh
sen
lim)(cos
)1cos(
lim)sen()(
00
xxf cos)(  1)(cos0)sen()(  xxxf
 Exemplo 1: Calcule a derivada da função 
22
sen)(cos/)sen(/)sen(
)(
x
xxx
x
dxdxxdxxdx
xf




x
x
xf
sen
)( 
Derivação 
3 
Prova: Pela definição: 
 Derivada da função cosseno 
 A derivada da função cosseno é dada por: 
h
xhx
xf
h
)(cos)(cos
lim)(
0



h
xhxhx
xf
h
cos)sensencoscos(
lim)(
0



h
hxhx
xf
h
)sensen()1cos(cos
lim)(
0



x
dx
xd
sen
)cos(

Lembrando que: 
hxhxhx sensencoscos)(cos 
h
h
x
h
h
xxf
hh
sen
limsen
1cos
limcos)(
00 



0 
1 
x
dx
xd
xf sen
)cos(
)( 
Derivação 
4 
 Exemplo 2: Calcule a derivada da função 
xe
x
xxxx
y 



2)sen1(
)cos(cos)sen)(sen1(
xe
x
x
y 


sen1
cos
Rearrumando: 
xx e
x
x
e
x
xxx
y 






22
22
)sen1(
sen1
)sen1(
cossensen
Finalmente: xe
x
y 


)sen1(
1
Derivação 
5 
 Movimento Harmônico Simples 
 Exemplo 3: Suponha que o corpo suspenso em uma mola é deslocado 
 em 5 unidades da posição de repouso e solto, no instante t = 0, para 
 oscilar. Sendo sua posição dada por s = 5 cos t, calcule v(t) e a(t). 
t
dt
ds
tv sen5)( 
t
dt
dv
ta cos5)( 
 Quando s = 0: velocidade é máxima. 
 Período: 2. 
 Amplitude: 5 
 A aceleração é o oposto da posição. É nula no repouso. 
Derivação 
6 
 Exercício 1: Determine a primeira e a segunda derivadas da 
 função H() =  (sen ). 
 Exercício 2: Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre 
 uma superfície lisa. Sua equação de movimento é dada abaixo 
 na qual t é medido em segundos e x em centímetros. Pede-se: 
ttx sen8)( 
b. A posição, velocidade e aceleração do 
 corpo em t = 2/3. Em que sentido ele 
 está se movendo nesse instante? 
a. A velocidade e a aceleração no instante t. 
Derivação 
7 
 Exercício 3: Encontre uma equação da reta tangente à curva dada 
 no ponto especificado. 
)1,0(;
cossen
1
xx
y


Resp: y = 1 - x 
 Derivada de outras funções trigonométricas 
 Como sen x e cos x são funções deriváveis de x, as funções relacionadas 
 a elas também são deriváveis para qualquer valor de x nos quais elas 
 são definidas. 
 
x
dx
xd 2sec
)tg(
 x
dx
xd 2cosec
)cotg(

xx
dx
xd
tgsec
)sec(
 xx
dx
xd
cotgcosec
)cosec(

Derivação 
8 
Calculando a derivada da cotangente usando a Regra do Quociente: 
x
xxxx
x
x
dx
d
dx
xd
2sen
)(cos)(cos)sen()sen(
sen
cos)cotg( 







xx
xx
dx
xd
22
22
sen
1
sen
)cossen()cotg( 


 x
dx
xd 2cosec
)cotg(

Derivação 
9 
 Exercício 1: Determine as derivadas das funções abaixo: 
b. 
a. 
q
q
p
tg1
tg


Resp: df/d = sec2 - cosec2 
)cosec()(sec)(  f
2
2
)tg1(
sec
q
q
dq
dp


Resp: 
 Exercício 2: Encontre todos os pontos da curva y = cotg x para 
 0 < x < , onde a tangente é paralela à reta y = - x. Determine a(s) 
 reta(s) tangente(s) neste(s) ponto (s). 
Derivação – Regra da Cadeia 
 Derivada de funções compostas: a derivada da composta de duas 
 funções deriváveis é o produto de suas derivadas calculadas em 
 pontos adequados. 
 
10 
Sol: 
)3(
2
1
2
3
xxy 
 Exemplo 4: Sendo a função composta de 
 
 e como as derivadas destas funções se relacionam? 
uy
2
1

xu 3
3;
2
1
;
2
3

dx
du
du
dy
dx
dy
2224 )13(169  xxxy Exemplo 5: Sendo a função 
 
 composta de e verificar a relação das derivadas. 
2uy  13 2  xu
x
dx
du
xu
du
dy
xx
dx
dy
6;262;1236 23 













dx
du
du
dy
dx
dy













dx
du
du
dy
dx
dy
Derivação – Regra da Cadeia 
 Teorema da Regra da Cadeia: Se f (u) é derivável no ponto u = g(x) 
 e g(x) é derivável em x, então a função composta (f (g (x)) é 
 derivável em x e: 
11 













dx
du
du
dy
dx
dy
)())(()()( xgxgfxgf 
 Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x), então: 
 
Derivação – Regra da Cadeia 
12 
 Exemplo 6: Um objeto se desloca ao longo do eixo x, sendo sua 
 posição dada por x(t). Determine a velocidade do objeto em função de t. 
)1(cos)( 2  ttx
Sol: No exemplo, x é a composta de x = cos u e u = t 2 + 1. 
tem-se, pela Regra da Cadeia que: Sendo: 
t
dt
du
u
du
dx
2;sen 
)1(sen2sen2 2 











 ttut
dt
du
du
dx
dt
dx
Assim, a velocidade é dada por: 
)1(sen2)( 2  tt
dt
dx
tv
Derivação 
 Regra do “de fora para dentro” 
 É uma forma mais fácil de memorizar a Regra da Cadeia. 
13 
Derivada da “de fora” 
)(.))((:))((Se xgxgf
dx
dy
xgfy 
Derivada da “de dentro” 
)1(cos)( 2  ttx
No exemplo anterior: 
tt
dt
dx
2.)1(sen 2 
Derivada da “de fora” 
Derivada da “de dentro” 
)1(sen2 2  tt
dt
dx
Derivação – Regra da Cadeia 
14 
 Exemplo 7: Seja a função y(x) abaixo, a composta das funções u(x) e 
 f(x). Encontre dy/dx utilizando a Regra da Cadeia. 
xey cos
Sol: 
)())(())(( xgxgfyxgfy 
Generalizando: 
dx
du
ee
dx
d uu 
xxgu cos)(  xexf )(
)(cos)( coscos x
dx
d
ee
dx
d
y xx  xee
dx
d
y xx sen)( coscos 
 Uso Repetido da Regra da Cadeia - Exemplo 8: Calcule a derivada de f(t). 
)2sen5(tg)( ttf 
)2sen5()2sen5(sec)( 2 t
dt
d
ttf 
]/)2(.2cos0[)2sen5(sec)( 2 dttdtttf 
Finalmente: 
)2sen5(sec2cos2)( 2 tttf 
Derivação 
 Regra da Cadeia com as Potências de uma Função 
 Sendo f (u) = u n, sabe-se pela regra de derivada da potenciação que: 
15 
1)(  nunuf
Assim, se u é uma função diferenciável de x, tem-se, 
pela Regra da Cadeia, que: 
dx
du
unu
dx
d nn 1
 Exemplo 9: Encontre a derivada da função 4
13
12
)( 








x
x
xf
Sol: 
Reorganizando, chega-se a: 

















13
12
13
12
4)(
3
x
x
dx
d
x
x
xf
2
3
)13(3)12(2)13(
13
12
4)(











x
xx
x
x
xf
5
3
)13(
)12(20
)(



x
x
xf
Derivação – Regra da Cadeia 
16 
 Exemplo 10: Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva 
xy 5sen
Sol: 
xx
dx
dy
cossen5 4
3)21(
1
x
y


Em qualquer ponto da curva com x ≠ 1/2, o coeficiente angular da 
reta tangente à curva dada é o quociente de dois números positivos. 
no ponto x = /3. 
No ponto x = /3: 













 3
cos
3
sen5 4
3

xdx
dy
32
45
2
1
2
3
5
4
3















xdx
dy
 Exemplo 11: Mostre que o coeficiente angular de qualquer reta tangente 
 
 à curva é positivo. 
3)21(  xy
Sol: 
4
4
)21(
6
)2()21(3
x
yxy

 
Derivação – Regra da Cadeia 
17 
 Exercício 1: Determine a primeira derivada das funções abaixo: 
b. 
a. 
4
3 1
2
8
1
)25( 





 
x
xy
7)2(tg)(  xxxf
 Exercício 2: Determine a segunda derivada das funções abaixo: 
b. 
a. 
)5(tg
2
xey x 
7)(sen)( 2  xexxf