21° arquivo Extremos de funções

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Extremos de Funções 
 A localização e identificação de valores extremos de uma função 
contínua é feita a partir de sua derivada. Isto será bastante útil em 
problemas de otimização. 
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 Definição: Máximo Absoluto, Mínimo Absoluto 
Seja f uma função de domínio D. Então f tem um valor máximo 
absoluto em D em um ponto c se: 
 
 
f (x) ≤ f (c) Para qualquer x em D 
E um valor de mínimo absoluto em D no ponto c se: 
 Máximos e mínimos absolutos são chamados extremos absolutos ou 
extremos globais. 
Para qualquer x em D f (x)  f (c) 
Extremos de Funções 
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Máximo Mínimo 
Seno 1 -1 
Cosseno 1 0 ( 2 vezes) 
OBS: É importante ressaltar que funções definidas pela mesma regra podem 
 ter extremos diferentes, dependendo do domínio 
Exemplo1: Funções seno e cosseno em [-/2, /2] 
Extremos de Funções 
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 Exemplo 2: Determine os extremos absolutos da função em y = x2 para os 
 seguintes domínios: 
 a. (-, ) 
 b. [0, 2] 
 c. (0, 2] 
 d. (0, 2) 
Mínimo absoluto 
Mínimo e 
máximo absoluto 
Máximo absoluto 
Ausência de 
mínimo e máximo 
Extremos localizados nas 
extremidades. 
Extremos no 
interior. 
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Teorema 1: O Teorema do Valor Extremo 
 
 Se f é contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume tanto um 
 valor máximo M como um valor mínimo m em [a, b]. 
 Ou seja, há números x1 e x2 em [a, b] tais que f (x1) = m e f (x2) = M e 
 m  f (x)  M para qualquer outro valor de x. 
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Máximo no interior, mínimo na 
extremidade. 
Mínimo no interior, máximo na 
extremidade. 
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 Extremos locais: A partir da figura abaixo, pode-se chegar à definição de 
máximo e mínimo local: 
Extremos de Funções 
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Definição: Máximo e mínimo local 
Uma função f tem um valor máximo local em um ponto interior c de seu 
domínio se: 
 
 f (x) ≤ f (c) Para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c 
Uma função f tem um valor mínimo local em um ponto interior c de seu 
domínio se: 
OBS1: Pode-se ampliar a definição de extremos locais para extremidades de 
 intervalos, definindo que f possui um valor máximo local ou mínimo 
 local em uma extremidade c se a desigualdade é válida para qualquer x 
 em um intervalo semi-aberto contendo c. 
Para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c f (x)  f (c) 
Extremos de Funções 
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OBS2: Extremos locais também são chamados extremos relativos. 
OBS3: Um máximo absoluto também é um máximo local. 
Teorema 2: Primeiro teorema da derivada para valores de extremos 
 locais 
Se f possui um valor máximo ou mínimo local em um ponto c interior de 
seu domínio e se é definida em c, então: 
 
Determinação de Extremos 
A partir da definição do teorema a seguir, é mostrado que normalmente 
precisa-se investigar apenas alguns valores para e obter o extremo de uma 
função. 
0)(  cf
f 
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 Prova do Teorema 
 Para provar que em um extremo local, deve-se provar que 
 não pode ser positiva nem negativa. 
0)(  cf )(cf 
 De início suponha que f tenha um valor máximo local quando x = c de 
 modo que f (x) - f (c)  0 para qualquer valor de x próximo de c. 
Como c é um ponto interior do domínio de f, 
 é definida pelo limite bilateral: 
)(cf 
cx
cfxf
cf
cx 



)()(
lim)(
 Pois x – c < 0 e f (x) ≤ f (c) 
 Pois x – c > 0 e f (x) ≤ f (c) 
Extremos de Funções 
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 Isto significa que os limites laterais existem quando x = c e que são 
 iguais a f ’(c). Examinando estes limites, têm-se: 
0
)()(
lim)( 



 cx
cfxf
cf
cx
0
)()(
lim)( 



 cx
cfxf
cf
cx
0)(  cf
 f (x)  f (c) 
 Isto prova o teorema para máximos locais. Para prová-los para mínimos 
 locais usamos , o que inverte a desigualdade acima. 
Extremos de Funções 
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 O teorema recém apresentado diz que se a função f possui um extremo 
 local em um ponto interior de seu domínio e neste ponto sua derivada é 
 definida, o valor desta derivada é nulo. 
 Definição: Ponto crítico 
 É um ponto interior do domínio de uma função f onde sua derivada 
 f ’ é zero ou indefinida. 
 Desta forma, os únicos locais onde uma função f pode ter valores 
 extremos ( locais ou globais) são: 
• Pontos interiores onde (teorema). 
• Pontos interiores onde f ’ não existe. 
• Extremidades do domínio de f. 
0f
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 Assim, os únicos pontos do domínio em que uma função pode assumir 
valores extremos são os pontos críticos e as extremidades. 
 É importante ressaltar que a recíproca do Teorema 2 não é verdadeira, 
ou seja, uma função derivável pode ter um ponto crítico em x = c sem ter 
um valor extremo local neste ponto. 
1. Calcule f em todos os pontos críticos e extremidades. 
2. Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos. 
 Na maioria das busca por valores extremos, é necessário obter os 
extremos absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado e 
finito: 
 Exemplo 3: Determine os extremos da função y = x3 
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 Exercício 1: Determine os valores mínimo e máximo absolutos para 
 cada função no intervalo dado. 
12;4)( 2  xxxf
 Exercício 2: Qual é a maior área possível de um triângulo retângulo 
 cuja hipotenusa mede 5 cm. 
a. 
b. 
21);ln2(10)( exxxxf 