26° arquivo Somas Finitas

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Somas Finitas 
 Base da definição de integrais 
 Área: A área de uma região com contorno curvo pode ser 
 aproximada somando as áreas de um conjunto de retângulos. 
 
  Estimando com Somas Finitas 
 
 Qual a área da região R que se 
encontra acima do eixo x, abaixo 
da curva y = 1 – x2, entre as retas 
verticais x = 0 e x = 1? 
 
 Estimativa (Soma) Inferior e Superior 
 Regra do Ponto Médio 
1 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Somas Finitas 
 Estimativa Superior – Soma Superior 
875,0
8
7
2
1
4
3
2
1
1 











A
78125,0
32
25
4
1
16
7
4
1
4
3
4
1
16
15
4
1
1

























A
 Altura do retângulo é tomada como sendo o valor máximo de f(x), 
 sendo x um ponto no intervalo da base do retângulo. 
2 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Somas Finitas 
 Estimativa Inferior – Soma Inferior 
 Altura do retângulo é tomada como sendo o valor mínimo de f(x). 
78125,053125,0  A
53125,0
32
17
4
1
0
4
1
16
7
4
1
4
3
4
1
16
15
























A
O verdadeiro valor da área encontra-se entre 
os limites superior e inferior: 
3 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Somas Finitas 
 Regra do Ponto Médio 
 Altura do retângulo é tomada como o valor de f no ponto médio 
 de sua base. 
 
 Não fica claro se subestima ou superestima a área real. 
 
671875,0A
256
172
4
1
64
15
4
1
64
39
4
1
64
55
4
1
64
63
























A
4 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Somas Finitas 
 Forma 
 O intervalo [a, b] no qual a função é definida foi subdividido em n 
 subintervalos de igual largura x = (b – a)/n 
 
 A função f foi calculada em um ponto em cada subintervalo: c1, c2, c3, .... 
 
 Todas as somas finitas assumem a seguinte forma: 
 
xcfxcfxcfxcf n  )(...)()()( 321
5 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Somas Finitas 
 Aproximações Finitas da Área da Região R 
Número de 
subintervalos 
Soma 
Inferior 
Regra do 
Ponto Médio 
Soma Superior 
 
2 0,375 0,6875 0,875 
4 0,53125 0,671875 0,78125 
16 0,634765625 0,6669921875 0,697265625 
50 0,6566 0,6667 0,6766 
100 0,66165 0,666675 0,67165 
1000 0,6661665 0,66666675 0,6671665 
6 
Somas Finitas 
 Notação Sigma 
 Permite expressar uma soma com muitos termos de forma 
 compacta: 
 
 Exemplos 
nn
n
k
k aaaaaa  

 1321
1
...
1554321
5
1

k
k
2321)3()1()2()1()1()1()1( 321
3
1

k
k k
6
7
3
2
2
1
12
2
11
1
1
2
1







k k
k
7 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Somas Finitas 
 Regras Algébricas 
 Soma 



n
k
k
n
k
k
n
k
kk baba
111
)(



n
k
k
n
k
k
n
k
kk baba
111
)(
 Subtração 
 Multiplicação 
 por constante 
 Somatório de 
 uma constante cnc
n
k
.
1





n
k
k
n
k
k acac
11
8 
Somas Finitas 
 Expressões conhecidas 
 n primeiros inteiros 
2
)1(
1



nn
k
n
k
 n primeiros cubos 
 n primeiros quadrados 
6
)12()1(
1
2 

nnn
k
n
k
2
1
3
2
)1(





 


nn
k
n
k
 Limites de somas finitas 
9 
Limites de Somas Finitas 
 Exemplos anteriores 
 À medida que o número de termos crescia e a largura dos subintervalos 
diminuía, as aproximações se tornavam mais precisas. 
 Determine o valor limite das aproximações de soma inferior para a área 
da região R, sob a curva y e acima do intervalo [0, 1] no eixo x, usando 
retângulos (número tende a infinito) de mesma largura (tende a zero). 
 Exemplo 
 n retângulos 
 Subintervalos de [0, 1] 
 
 
;,
1
.....
3
,
2
;
2
,
1
;
1
,0
/1
)01()(





 























n
n
n
n
nnnnn
n
nn
ab
x
menor valor na 
extremidade 
direita 
Função decrescente 
10 
Limites de Somas Finitas 
 Soma Inferior – subintervalo qualquer 
 Lembrando que: 
 
 
 
 Para um subintervalo qualquer a altura do 
 retângulo será: 
 
 
 
 
nk
n
k
n
k





 
1;,
1
2
2
1
n
k
n
k
f 





 f (c1) x + f (c2 ) x + f (c3 ) x + .... + f (cn ) x 
tem-se o resultado da soma: 
/ncc
nn
n
f
nn
k
f
nn
f
nn
f
1intervalodolargura
1
....
1
....
1
.
21
.
1
21 

















































11 
Limites de Somas Finitas 
 Utilizando a notação Sigma: 
 
 
 
 





































n
k
n
k
n
k n
k
nnn
k
nn
k
f
1
3
2
1
2
2
1
11
1
1























n
k
n
k
n
k
k
nn
n
n
k
n
1
2
3
1
3
2
1
111
3
23
3 6
32
1
6
)12()1(1
1
n
nnnnnn
n




Expressão de soma 
inferior válida para 
qualquer n 
 Limite de Soma Inferior – subintervalo qualquer 
3
2
6
1
2
1
6
2
1lim
6
32
1lim
23
23











 

 nnn
nnn
nn
Limite de soma superior = 2/3 área da região R = 2/3 12 
Limites de Somas Finitas 
 Exercícios 
 Use aproximações finitas para estimar a área das curvas: 
 
 f (x) = x3 entre [0, 1] 
 
 g(x) = 1/x entre [1, 5] 
 
usando: 
 
a. Soma inferior com 4 retângulos de mesma largura 
 
b. Soma superior com 4 retângulos de mesma largura 
 
 
 
 
13 
Somas de Riemann 
 Função arbitrária definida em [a, b] 
 Pode ter valores negativos e positivos. 
 
 
 
 
 Subintervalos não são necessariamente iguais 
 Escolhe-se (n – 1) pontos entre a e b: 
 
 
 
a = x0 < x1 < ... < xn-1 < xn = b 
 Partição de [a, b] – divide o intervalo em subintervalos fechados 
 
 
 
 Possibilidade de larguras diferentes. 
 
 
 
P = {x0 , x1 , x2 , ... , xn-1 , xn } 
K-ésimo intervalo 
14 
Somas de Riemann 
 Em cada intervalo, calcula- 
 se o produto f (ck) xk que 
 pode ser negativo, positivo 
 ou nulo. 
 
 
 
 Em cada intervalo, escolhe-se um ponto: c1, c2 ... ck... cn. 
 
 Constrói-se um retângulo, em cada subintervalo, com base no eixo x 
 e que toca a curva no ponto (ck... f(ck)). 
 Todos os produtos são somados levando à Soma de Riemann paraa função f no intervalo [a, b]. 
 
 
 



n
k
kkP xcfS
1
)(
15 
Somas de Riemann 
 Quando os subintervalos apresentavam a mesma largura, podíamos 
torna-los mais estreitos aumentando o número de retângulos. 
 Como tornar os retângulos mais estreitos quando os mesmos têm 
larguras diferentes? 
 Controle da largura do subintervalo mais longo (norma da partição – || P ||). 
 
 Se || P || é um valor pequeno, todos os outros subintervalos de P o são. 
 
 Partições cujas norma tendem a zero levam a conjuntos de retângulos que 
 aproximam a região com uma precisão maior. 
 
 
16