27° arquivo Integrais Definidas

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Integrais Definidas 
 Definição como limite de Somas de Riemann 
 
Seja uma função f (x) definida em um intervalo [a, b]. Diz-se que I é a 
integral definida de f em [a, b] e que I é o limite das somas de 
Riemann se: 
Para qualquer número  > 0, existe um número correspondente  > 0 
tal que para qualquer partição P = {xo, x1,... xn} de [a, b] com || P || <  
e qualquer ck pertencente a [xk-1, xk] tem-se: 
 
 


Ixcf k
n
k
k
1
)(
1 
Integrais Definidas 
 Leibniz visualizou as somas finitas: tornando-se uma soma 
 
 infinita: 
 
 
 
 
 Notação e Existência de Integrais Definidas 
)()( xfcfdxx kk  
Larguras infinitesimais 
k
n
k
k xcf 
1
)(
Seleção contínua dos valores 
da função 
 dxxf )(
Variável de integração – x 
b
a
dxxf )(
Limite superior de integração 
Limite inferior de integração 
integrando 
 O símbolo I para a integral definida é: 
2 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Integrais Definidas 
Quando a definição é satisfeita, pode-se dizer que as somas de 
Riemann de f em [a, b] convergem para a integral definida: 

b
a
dxxfI )(
e que a função f é integrável em [a, b]. 
 


b
a
n
k
kk
P
dxxfIxcf )()(lim
1
0
 Observações 
 
 A integral definida existe quando sempre se obtém o mesmo limite I 
independentemente da escolha da partição e dos pontos ck. 
 
 Quando o limite existe, o mesmo é escrito como a integral definida: 
3 
Integrais Definidas 
 No caso de intervalos de mesma largura, escreve-se: 
 
 


b
a
n
k
k
n
dxxfIxcf )()(lim
1
 Teorema 1: A existência de integrais definidas 
 Uma função contínua é integrável, ou seja, se uma função f é contínua em 
 um intervalo [a, b], então sua integral é definida em [a, b]. 
 
 
 
 
 Funções Não Integráveis 
 
 Funções não contínuas podem ou não ser integráveis. 
 
 Exemplo de funções descontínuas integráveis: 
 Funções contínuas por partes. 
 
4 
Luciany Lopes
Realce
Integrais Definidas 
 
 Funções Não Integráveis 
 
 Exemplo de uma função não integrável em [a, b]: 
 




irracionalése,0
racionalése,1
)(
x
x
xf
O limite da soma superior é 1 e da 
inferior é 0. 
5 
Integrais Definidas 
 Teorema 2: Propriedades das integrais definidas 
 
 Quando f e g são integráveis no intervalo [a, b], a integral definida satisfaz 
 as 7 regras a seguir: 
 
1. Ordem de integração 
 
 
2. Intervalo de Largura Zero 
 
 
3. Multiplicação por Constante 
 
 
 
 
 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
0)( 
a
a
dxxf
 
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()(
6 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Integrais Definidas 
 
 Teorema 2: Propriedades das integrais definidas 
 
4. Soma e Subtração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Aditividade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




b
a
b
a
b
a
dxxgdxxf
dxxgxf
)()(
)()(
 
c
a
c
b
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
7 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Integrais Definidas 
 
 Teorema 2: Propriedades das integrais definidas 
 
6. Desigualdade max-min: Se f tem valor máximo maxf e valor mínimo minf no 
 intervalo [a, b] 
 
 
 
 
 
 
7. Dominação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)()()( abmaxfdxxfabminf
b
a
 
 
b
a
b
a
dxxgdxxfxgxf )()()()(Se
8 
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Realce
Integrais Definidas 
 Exercício: Suponha que f e g sejam funções contínuas e que : 
 
 
 8)(6)(;4)(
5
1
5
1
2
1
  dxxgedxxfdxxf
Calcule: 
 
 
 



5
1
5
2
2
1
1
5
2
2
)]()(4[e)(
;)(3;)(;)(
dxxgxfdxxf
dxxfdxxgdxxg
9 
Outra Pessoa
Nota
0
Outra Pessoa
Nota
-8
Outra Pessoa
Nota
-12
Outra Pessoa
Nota
10null
Outra Pessoa
Nota
16
Outra Pessoa
Realce
Integrais Definidas 
 Área sob o gráfico de uma função não negativa 
 
  Definição: Se y = f (x) for uma função não negativa 
 e integrável em um intervalo [a, b], então a área sob 
 a curva y = f (x) em [a, b] será a integral de f de a 
 até b. 
 
 
 
 

b
a
dxxfA )(

b
dxxf
0
)(
Exemplo: Calcule a integral e determine a área A sob y = x no 
 
 intervalo [0, b], sendo b > 0. 
 Cálculo da área 
 Forma 1 
 
 
 
22
.
2
. 2
0
bbbhb
dxxIA
b
 
10 
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Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
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Integrais Definidas 
 Cálculo da área - Forma 2 – Limites de Soma de Riemann 
 
 
 
 Escolhendo uma partição que subdivide o intervalo [0, b] em n 
 subintervalos de mesma largura: 
 
 
e adotando ck como sendo o ponto da extremidade direita de cada 
subintervalo: 
 
 
n
kb
c
n
nb
n
b
n
b
n
b
P k 






 e...,,
3
,
2
,,0
nb
n
b
n
ab
x /
)0()(





 
 Assim 
 
 
 
 
 
 
 

















n
k
n
k
n
k
n
k
k k
n
b
n
b
k
n
b
n
kb
xcf
1
2
2
1
2
2
11
)(
n primeiros inteiros 
 











 
 
 n
b
xcf
n
n
n
b n
k
k
1
1
2
)(
2
1 2
1
2
2
Cálculo do limite 
11 
Integrais Definidas 
 Cálculo do limite 
 
 
 
 Como os subintervalos apresentam a mesma largura, o limite do 
 somatório quando n   é dado por: 
 
 
 
 
 Generalizando o exemplo para um intervalo qualquer [a, b] com 
 0 < a < b: 
 
 
 
 
 
 
 
2
1
1
2
lim)(lim
22
n
1
n
b
n
b
xcf
n
k
k 
























2
2
0
b
dxx
b

22
22
00
0
0
ba
dxxdxxdxx
dxxdxxdxx
bab
a
b
a
b
a




12 
Integrais Definidas 
 Se a < 0 e b > 0, a integral é a diferença entre as duas áreas: 
 
 
y 
y = x 
x 22
22 ab
I 
 Se a < b < 0, o valor da integral definida é negativo e a área 
apresenta o mesmo valor com o sinal trocado. 
 
 
a 
x 
y 
b IA 
 OBS: Usando um cálculo análogo 
(Somas de Riemann), chega-se a: 
 
 
33
e)(
33
2 abdxxabcdxc
b
a
b
a
 
13 
Integrais Definidas 
 Valor médio de uma função contínua 
 
 Aritmética: média de n números é a soma dos mesmos dividida por n. 
 
 
 
 
 Usando a Aritmética para calcular o valor médio de uma função contínua, 
 divide-se o intervalo [a, b] em subintervalos de larguras iguais. Calcula-se 
 o valor de f (ck) em cada subintervalo, tem-se a média dos valores: 





n
k
k
n cf
nn
cfcfcfcf
1
321 )(
1)(....)()()(
Média
Como: , tem-se 
ab
x
nn
ab
x





1)(
xcf
ab
cf
ab
x
cf
n
n
k
k
n
k
k
nk
k 




 
 111
)(
)(
1
)(
)(
)(
1
Soma de Riemann 
Assim, quando n   (x  0): 


b
a
dxxf
ab
)(
1
Média
14 
Integrais Definidas 
 Valor médio de uma função contínua 
  Se uma função f for integrável no intervalo [a, b], então seu valor médio 
 em [a, b] (ou média) é: 
 
 
 
 


b
a
dxxf
ab
)(
1
Média
 Exercício 1: Esboce os gráficos dos integrandos e use áreas para 
 calcular as integrais: 
 
 a. Resp: 2 b. Resp: 3 
 
 
 
 
2/3
2/1
)42( dxx 


1
1
)2( dxx
 Exercício 2: Determine o valor médio da função abaixo no intervalo 
 [-2, 2]: 
 Resp: /2 
 
24)( xxf 
15 
Convidado
Realce
Convidado
Realce