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Volumes 
 Método do Fatiamento 
 Volumes de sólidos cujas seções transversais são regiões planas 
Seção transversal: interseção 
entre o sólido e um plano 
 Sólidos cilíndricos com bases arbitrárias: 
 Volume = Área da base x Altura = A x h: equação que serve de base para 
o cálculo de volumes de sólidos não cilíndricos usando o Método do 
Fatiamento 
1 
Luciany Lopes
Realce
Método do Fatiamento 
Se a seção do sólido S em cada ponto x no intervalo [a, b] é uma região R(x) 
com área A(x) e A é uma função contínua de x, o volume do sólido é 
calculado como uma integral definida. 
 Fatiamento 
 Divide-se o intervalo [a, b] em n subintervalos de largura xk. 
 Fatia-se o sólido por planos  eixo x nos pontos de partição 
 a = x0 < x1 < .... < xn = b. Estes planos dividem S em fatias finas 
 
  Aproxima-se a fatia entre os planos xk-1 e xk 
usando um sólido cilíndrico com área A(xk) 
e altura xk : 
 
kkkk xxAVV  )(fatia
2 
Luciany Lopes
Realce
Método do Fatiamento 
 O volume do sólido pode ser aproximado por: 



n
k
kkk
n
k
k xxAVV
11
RiemanndeSoma)(
3 
 Quando n, tem-se o volume do sólido: 
 



n
k
b
a
kkk
n
dxxAxxAV
1
)()(lim
 Definição: Volume 
 
O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja 
área da seção transversal é uma função integrável A (x) é : 

b
a
dxxAV )(
Luciany Lopes
Realce
Método do Fatiamento 
 Passos – Cálculo do Volume 
  Esboçe o sólido e uma seção transversal típica com área A(x) 
 Encontre uma expressão para A(x) 
 Encontre os limites de integração e integre A(x) 
 
4 
 Exemplo - Pirâmide 
 
2)( xxA 
3
3
0
33
0
2
3
0
9
3
27
3
)( m
x
dxxdxxAV  
• Altura: 3m de altura 
• Base quadrada de 3m de lado. 
• Seção transversal: quadrado de x metros de lado 
 Qual o volume da pirâmide? 
Luciany Lopes
Realce
Método do Fatiamento 
 Exercício 1: Determinar o volume do sólido cuja base é a região entre a 
 curva y dada abaixo e o intervalo [0, ] no eixo x, sabendo que as seções 
 transversais perpendiculares ao eixo x são: 
 
 
a. Triângulos equiláteros com bases que vão do eixo x à curva, 
 como mostra a figura: 
b. Quadrados com bases que vão do eixo x à curva 
 
 
5 
 Exercício 2: Determinar o volume do sólido situado entre planos 
 perpendiculares ao eixo x em x = 0 e x = 4. As seções transversais 
 perpendiculares a x em [0, 4] são quadrados cujas diagonais vão da 
 parábola à parábola 
 
xy  xy 
Resp: V = 16 
Sólidos de Revolução 
 Definição 
 
 É o sólido gerado a partir da rotação de uma região plana em 
 torno de um eixo. 
 
 Métodos de Solução: 
 Método do Disco 
 Método do Anel 
 Método da Casca Cilíndrica. 
 
 
 
6 
Luciany Lopes
Realce
 Exemplo 1: Girando a região plana abaixo em torno do eixo x: 
 
gera-se o sólido de revolução: 
Método do Disco 
A área da seção transversal A(x) é a 
área do disco de raio R(x): 
 
 
 
 Pela definição de volume:   
b
a
b
a
dxxRdxxAxV
2
)()()( 
 2)()( xRxA 
   8
2
)(
4
0
24
0
4
0
2
 
x
dxxdxxxV 7 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
 Exemplo 2: Girando a região plana abaixo em torno do eixo y, 
 gera-se um sólido de revolução: 
  







4
1
2
4
1
2
2
4
2
)()( dyydy
y
dyyRyV
b
a

 31
4
1
4
1
4)(
4
1
1

















y
yV
Método do Disco 
8 
 Exercício 1: Determine, utilizando o Método do Disco, o volume 
 do sólido obtido com a rotação da região a seguir em torno do eixo x. 
Método do Disco - Exercícios 
 Exercício 2: Determine, utilizando o Método do Disco, o volume 
 do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo x, da região 
 limitada por: 
0e9 2  yxy
Resp: V = 2/3 
Resp: V = 36 
9 
 Sólidos de Revolução: Método do Anel 
 
 Se a região que giramos para gerar um sólido não atingir ou cruzar 
 o eixo de revolução, o sólido resultante terá um furo no centro. 
 
 As seções transversais  eixo de revolução serão anéis e não mais 
 discos. 
 
 As dimensões de um anel típico são o raio externo R(x) e o raio 
 interno r (x). 
 
 De acordo com a definição de volume, tem-se: 
Método do Anel 
     
b
a
b
a
dxxrxRdxxAxV
22
)()()()( 
10 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
 Raio externo: R(x) = - x + 3 
 Raio interno: r(x) = x2 + 1 
 Limites de integração: coordenadas x dos pontos de interseção da curva e 
 da reta. 
 
 Exemplo 1: Girando a região plana limitada pela curva y = x2 + 1 e pela 
reta y = - x + 3 em torno do eixo x 
gera-se o sólido: 
Método do Anel 
Pela definição de volume: 
     
b
a
dxxrxRxV
22
)()()( 
11 
 Observação Importante: Em todos os exemplos apresentados, 
 utilizando métodos diferentes, a definição de volume como a integral 
 definida a seguir foi o centro de todos os cálculos: 
Substituindo as variáveis, tem-se: 
Método do Anel 
   




 
1
2
222 13)( dxxxxV 
 
5
117
)(
53
3868)(
1
2
1
2
53
242











 
 
xV
xx
xxdxxxxxV

b
a
dxxAV )(
12 
 Exercício 1: Determine, utilizando o Método do Anel, o volume do sólido 
 obtido com a rotação, em torno da reta x = -1, da região situada no primeiro 
 quadrante e limitada superiormente pela curva y = x2, inferiormente pelo 
 eixo x e à direita pela reta x = 1. 
Método do Anel - Exercícios 
 Exercício 2: Determine, utilizando o Método do Anel, o volume do sólido 
 obtido com a rotação da região triangular descrita a seguir em torno do 
 eixo y. 
Resp: V = 7/6 
Resp: V = 4/3 
Triângulo com vértices nos pontos (1, 0), (2, 1) e 
(1, 1). 
13 
 A mesma definição de volume é usada, sendo que a área será obtida 
 fatiando o sólido de uma outra maneira. 
 
 Exemplo 1: A região compreendida pelo eixo x e pela parábola 
 y = 3x – x2 gira em torno da reta vertical x = -1 para gerar um 
 sólido: 
OBS1: Uso do Método do Anel seria complicado: Integração em y. 
OBS2: Ao invés de girar uma faixa horizontal de espessura y, giramos 
 uma faixa vertical de espessura x. 
Método da Casca Cilíndrica 
14 
Luciany Lopes
Realce
Gera-se uma casca cilíndrica de altura yk (região sombreada) que se ergue 
 acima de um ponto xk situado na base da faixa vertical, de espessura x. 
Método da Casca Cilíndrica 
15 
 Uma fatia do sólido obtida cortando-o 
 paralelamente ao eixo de revolução, 
 próximo à borda do orifício. 
 Cortes sucessivos: n cilindros (o raio 
 do cilindro aumenta gradualmente e sua 
 altura segue o contorno da parábola). 
 
 Cada fatia se situa em um subintervalo do 
 eixo x de largura x. 
 Seu raio é aproximadamente (1 + xk) e sua 
 altura 3xk – xk2. 
 
Método da Casca – Sólidos de Revolução 
 Desenrolando o cilindro: 
 
16 Volume de cada casca cilíndrica 
 Somando o volume das cascas individuais ao longo do intervalo [0, 3], 
 obtém-se a soma de Riemann: 
xxxxV
xxV
kkkk
k


)3()1(2
EspessuraAlturanciacircunferê
2



n
k
kkk
n
k
k xxxxV
1
2
1
)3()1(2
 Fazendo o limite quando x  0, chega-se a: 
Método da Casca 
17 
 Generalizando o que foi visto no exemplo1: 
 Suponha que a região delimitada pelo gráfico de uma função contínua não 
 negativa y = f(x) e o eixo x ao longo do intervalo [a, b] fique à direita da reta 
 vertical x = L: 
 
Método da Casca Cilíndrica 
a  L reta pode tocar a região, 
 mas não atravessá-la. 
Gera-se um sólido S a partir do giro desta 
região em torno da reta vertical x = L. 
 Aproxima-se a região sombreada com n retângulos verticais com bases na 
 partição P de [a, b]: 
 
 
 
 onde x0 = a, xn = b e ck é o ponto médio do k-ésimo subintervalo. 
 
 
 
 nnkk xxxxxxxP ,...,,,, 11210 
18 
 Girando o retângulo em torno de x = L, gera-se uma casca cujo volume é 
 dado por: 
Método da Casca Cilíndrica 
OBS: O retângulo típico tem altura f (ck) e 
 largura xk = xk – xk - 1. 
Somando-se os valores das cascas geradas pelos n retângulos com base em P: 
 
 
 
 
 
 
kkkk
k
xcfLcV
V


)()(2
espessura 
. cascadaaltura.cascadamédioRaio.2





n
k
kVV
1 19 
 O limite da soma, quando fornece o volume do sólido como 
 uma integral definida: 
Método da Casca Cilíndrica 
 Definição 
 
 
 
 
 
 
 






b
a
b
a
n
k
k
P
dxxfLx
dxVV
 )()(2
 cascadaalturacasca)daraio(2lim
1
0


 
O volume do sólido obtido com a rotação, em torno de uma reta vertical 
x = L, da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de uma função 
contínua y = f (x)  0, L  a  x  b é: 
 
 
 

b
a
dxV casca)daaltura(casca)daraio(2
20 
0P
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
 Exemplo 2: A região limitada pela curva abaixo, pelo eixo y e pela reta 
 x = 4 gira em torno do eixo y, gerando um sólido. Determine seu volume 
 a partir do Método da Casca Cilíndrica: 
 
Método da Casca Cilíndrica 
 
5
128
4
5
4
25
2
2 2 casca)daaltura(casca)daraio(2
25
4
0
2/5
4
0
2/3
4
0



 
x
dxxdxxxdxV
b
a
21 
 Exemplo 3: Mesmo exemplo anterior, sendo que a rotação é em torno do 
eixo x. 
Método da Casca Cilíndrica 
OBS: Para usar eixos horizontais de revolução, faz-se a substituição de x por y na 
expressão do volume. 
 
  

80
4
16
0422
42
4
2)4(2
 )4(2 casca)daaltura(casca)daraio(2
2
0
422
0
3
2
0
2

























yy
dyyy
dyyydyV
b
a
22 
 Exemplo 3: Este exemplo já havia sido resolvido pelo Método do 
 Disco. 
Método da Casca Cilíndrica 
Método da Casca Cilíndrica: 
integração em y. 
Método do Disco: integração 
em x. 
23 
 Resumo: Independentemente da posição vertical ou horizontal do eixo de 
revolução, deve-se: 
Método da Casca Cilíndrica 
1. Desenhar a região e esboçar um segmento de reta que a atravesse e 
 que seja paralelo ao eixo de revolução (altura da casca). 
 
2. Desenhar o segmento de reta que representa a distância ao eixo de 
 revolução, ou seja um segmento perpendicular a este eixo (raio da 
 casca). 
 
3. Determinar os limites de integração. 
 
4. Integrar o produto: 2 (raio da casca) (altura da casca) em relação a x 
 ou a y para determinar o volume. 
 
24 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
 Exercício 1: Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em 
 torno de cada eixo coordenado, da região limitada por y = x e y = x2, 
 utilizando o Método da Casca Cilíndrica e o Método do Anel. 
 
 
Método da Casca - Exercícios 
Resp.: Rotação em torno do eixo x: V = 2/15; 
 Rotação em torno do eixo y: V = /6 
Resp:V = 2 (1 – ln2) 
25 
 Exercício 2: Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em 
 torno da reta x = ln2, da região do primeiro quadrante limitada pelos 
 eixos coordenados, pela curva y = ex e pela reta x = ln2. 
 
 
Método da Casca - Exercícios 
Resp:V = 8 
26 
 Exercício 3: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região 
 delimitada pelo eixo x e pela curva y = x(senx) ; 0  x  , em torno: 
 
 a) do eixo y b) da reta x =  
 
 
Resp: V = 2 (2 – 4)