Mudança de Base

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 5 
 
MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE 
Conforme se estabeleceu, no Capítulo 4, com exceção do espaço nulo { }0=V , que não possui 
base, todos os demais espaços vetoriais possuem infinitas bases. Uma vez que existem 
infinitas bases, capazes de gerar o mesmo espaço vetorial, pode-se pensar que elas tenham 
algo em comum. Cabe, assim, o seguinte questionamento: como relacionar os vetores de uma 
base B com os vetores de uma base C? 
Ainda no Capítulo 4, viu-se que é possível determinar as coordenadas de um dado vetor em 
diferentes bases e que, embora essas coordenadas sejam expressas de formas diferentes, elas 
representam o mesmo vetor. Se, por exemplo, [ ]Bv são as coordenadas de um vetor v em 
relação à base B e [ ]Cv são as coordenadas de v em relação à base C, pergunta-se: é possível, 
a partir de [ ]Bv , obter [ ]Cv e vice-versa? Ver-se-á, neste capítulo, que isto é possível; ressalta-
se, ainda, que, em muitas aplicações práticas, é necessário passar de um sistema de 
coordenadas para outro, o que é feito através de uma matriz de mudança de coordenadas. 
Exemplo: Considerem-se o espaço vetorial real 2ℜ e o vetor ( )26,v = . A representação de v 
em relação à base canônica ( ) ( ){ }1001 ,j,,iC === rr é ( ) ( )102016 ,,v += e, portanto, suas 
coordenadas em relação à base canônica C são [ ] 





=
2
6
Cv . Considere-se, agora, a base 
( ) ( ){ }1111 21 ,f,,fB =−==
rr
; para determinar as coordenadas do vetor v
r
 em relação a essa base, 
escreve-se v como combinação linear dos vetores de B: 
( ) ( ) ( ) ( )ba,ba,(b,a, +−+=+−= 111126 , 
de onde se segue que: 



+−=
+=
ba
ba
2
6
, 
e, portanto, 2=a e 4=b . Logo, as coordenadas de v em relação à base B são [ ] 





=
4
2
Bv . 
É possível interpretar geometricamente esses resultados. Quando se considera o espaço 2ℜ 
com a base canônica, a representação geométrica desse espaço é o sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, usualmente designado por plano Oxy. O eixo horizontal Ox tem a 
direção do vetor ( )01,i =
r
 e o eixo vertical Oy tem a direção do vetor ( )10,j =
r
. Na Figura 8, vê-
se a representação geométrica dos vetores da base C e do vetor v. 
Considerar uma nova base B significa considerar um novo sistema de coordenadas, que será 
indicado por yxO ′′ , cujos eixos têm a direção dos vetores ( )111 −= ,f
r
 e ( )112 ,f =
r
, 
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respectivamente. Representando-se, geometricamente, esses novos eixos no mesmo sistema 
de coordenadas Oxy, vê-se que o sistema yxO ′′ está rotacionado, em relação ao sistema Oxy. 
Entretanto, é claro que, independentemente do sistema considerado (ou seja, 
independentemente da base considerada), a representação geométrica de v é a mesma. 
 
FIGURA 8 
Considerando-se a expressão do vetor v, escrito como combinação linear dos vetores da base 
C, ou seja, ( ) ( )102016 ,,v += , vê-se que o segundo membro pode ser expresso, 
equivalentemente, como um produto de matrizes: 






⋅





=
2
6
10
01
v . 
Observe-se que os vetores da base C constituem as colunas da matriz 





10
01
; chamando de C 
essa matriz, ou seja, escrevendo a base na forma matricial 





=
10
01
C , escreve-se, 
simbolicamente: 
[ ]CvCv ⋅= . 
Considerando-se, agora, a expressão do vetor v, escrito como combinação linear dos vetores 
da base B, ou seja, ( ) ( )114112 ,,v +−= , vê-se que o segundo membro pode ser expresso, 
equivalentemente, como um produto de matrizes: 






⋅





−
=
4
2
11
11
v . 
Observe-se que os vetores da base B constituem as colunas da matriz 





− 11
11
; chamando de 
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B essa matriz, ou seja, escrevendo a base na forma matricial 





−
=
11
11
B , escreve-se, 
simbolicamente: 
[ ]BvBv ⋅= . 
Conforme se viu, o vetor v tem coordenadas diferentes, quando se consideram bases 
diferentes do 2ℜ ; esse fato leva às questões: como obter [ ] 





=
4
2
Bv a partir de [ ] 





=
2
6
Cv e 
como obter [ ] 





=
2
6
Cv a partir [ ] 





=
4
2
Bv ? Essas questões são equivalentes à seguinte 
questão: qual é a relação entre as bases 





−
=
11
11
B e 





=
10
01
C ? 
Uma vez que tanto B quanto C geram o 2ℜ , pois são bases, espera-se que haja uma relação 
entre elas. De fato, pode-se verificar que as matrizes B e C são equivalentes, isto é, pode-se 
obter uma delas a partir da outra, utilizando-se as operações elementares com as filas (linhas 
ou colunas) de uma delas, como se mostra a seguir: 






−
 →





−
 →




 ++−
11
11
11
01
10
01 1221 2LLLL . 
Mostra-se, agora, como mudar de uma base para outra, matricialmente. 
Considerem-se um espaço vetorial V sobre um corpo K e duas de suas bases: 
{ }nv,,v,vB L21= e { }nu,,u,uC L21= . Uma vez que B gera o espaço V, cada um dos 
vetores da base C pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base B. Então, 
existem escalares Kaij ∈ , tais que: 







+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
vavavau
vavavau
vavavau
:S
L
M
L
L
2211
2222112
12211111
2 . 
A matriz P, de ordem n, constituída dos escalares ija , isto é: 














=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
P
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
 
é chamada de matriz mudança da base B para a base C. 
Notação: [ ]BCMP = . 
Observações: 
1) As colunas da matriz P são constituídas das coordenadas de cada vetor ( )niui ≤≤1 da 
base C em relação à base B, ou seja: 
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[ ] [ ] [ ]














=














=














=
nn
n
n
Bn
n
B
n
B
a
a
a
u,,
a
a
a
u,
a
a
a
u
M
L
MM
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1 . 
2) A matriz mudança de base é sempre uma matriz quadrada, pois as bases B e C têm a 
mesma quantidade de vetores. Além disso, como cada vetor da base C se escreve de maneira 
única como combinação linear dos vetores da base B e essas coordenadas formam um 
conjunto de vetores LI, o determinante da matriz P é diferente de zero e, portanto, ela é 
inversível. 
3) A notação [ ]BCMP = indica a matriz mudança da base B para a base C; entretanto, ressalta-
se que são os vetores da base C que são escritos como combinação linear dos vetores da base 
B. 
4) Escrevendo-se a matriz dos coeficientes do sistema linear S, isto é: 














nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MMMM
L
L
21
22212
12111
, 
vê-se que a matriz mudança de base é a sua transposta. 
5) É claro que se pode considerar também a matriz de mudança da base C para a base B. Para 
isso, basta escrever cada vetor da base B como combinação linear dos vetores da base C e 
considerar a matriz cujascolunas são constituídas pelas coordenadas dos vetores da base B 
em relação à base C. Nesse caso, obter-se-ia a matriz [ ]CBMQ = . 
Exemplo: Sejam ( ) ( ){ }0111 21 ,v,,vB === e ( ) ( ){ }3421 21 −−=== ,u,,uC duas bases do 
espaço vetorial real 2ℜ . 
(a) Determinar a matriz P de mudança da base B para a base C. 
(b) Determinar a matriz Q de mudança da base C para a base B. 
(c) Que conclusões se obtêm a partir dos produtos QP ⋅ e PQ ⋅ ? 
(a) Para determinar [ ]BCMP = , escrevem-se os vetores da base C como combinação linear dos 
vetores da base B, isto é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a,ba,,b,a, +=⇒+= 21011121 , 
de onde se segue que: 



=
=+
2
1
a
ba
, 
ou seja, 2=a e 1−=b . Logo, o vetor ( )211 ,u = da base C se escreve: 
( ) ( ) ( )0111221 ,,, −= , 
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isto é, suas coordenadas em relação à base B são: 
[ ] 





−
=
1
2
1 Bu . 
Considerando-se, agora, o vetor ( )342 −−= ,u , tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )c,dc,,d,c, +=−−⇒+=−− 34011134 . 
Então: 



−=
−=+
3
4
c
dc
, 
de onde se obtém: 3−=c e 1−=d . Logo, o vetor ( )342 −−= ,u da base C se escreve: 
( ) ( ) ( )0111334 ,,, −−=−− , 
ou seja, suas coordenadas em relação à base B são: 
[ ] 





−
−
=
1
3
2 Bu . 
O sistema linear S, é então: 



−−=
−=
212
211
3
2
vvu
vvu
:S 
e, portanto, a matriz dos coeficientes é: 






−−
−
13
12
. 
A matriz P é a transposta dessa matriz; suas colunas são formadas pelas coordenadas de 1u e 
2u em relação à base B: 
[ ] 





−−
−
==
11
32B
CMP . 
(b) Quer-se, agora, determinar a matriz [ ]CBMQ = . Para isso, escrevem-se os vetores da base 
B como combinação linear dos vetores da base C. Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ba,ba,,b,a, 32411342111 −−=⇒−−+= , 
de onde vem que: 



=−
=−
132
14
ba
ba
; 
então: 
5
1
=a e 
5
1
−=b . Logo, o vetor ( )111 ,v = da base B se escreve: 
( ) ( ) ( )34
5
1
21
5
1
11 −−−= ,,, , 
isto é, suas coordenadas em relação à base C são: 
[ ]












−
=
5
1
5
1
1 Cv . 
Por outro lado, tem-se: 
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )dc,dc,,d,c, 32401342101 −−=⇒−−+= , 
ou seja, tem-se o sistema linear: 



=−
=−
032
14
dc
dc
, 
de onde se obtém: 
5
3
−=c e 
5
2
−=d . Logo, o vetor ( )012 ,v = da base B se escreve: 
( ) ( ) ( )34
5
2
21
5
3
01 −−−−= ,,, , 
ou seja, suas coordenadas em relação à base B são: 
[ ]












−
−
=
5
2
5
3
2 Cv . 
O sistema linear S, é então: 






−−=
−=
212
211
5
2
5
3
5
1
5
1
uuv
uuv
:S 
e, portanto, a matriz dos coeficientes é: 












−−
−
5
2
5
3
5
1
5
1
. 
A matriz Q é a transposta dessa matriz; suas colunas são formadas pelas coordenadas de 1v e 
2v em relação à base C: 
[ ]












−−
−
==
5
2
5
1
5
3
5
1
C
BMQ . 
(c) Efetuando-se os produtos solicitados, têm-se: 






=












−−
−






−−
−
=
10
01
5
2
5
1
5
3
5
1
11
32
PQ 
e 






=





−−
−












−−
−
=
10
01
11
32
5
2
5
1
5
3
5
1
QP . 
Conclui-se, assim, que as matrizes P e Q são inversas entre si, ou seja, 
[ ] [ ]( ) 1−= BCCB MM e [ ] [ ]( ) 1−= CBBC MM . 
Teorema: Sejam: V um espaço vetorial de dimensão n; B e C duas bases de V; P a matriz de 
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mudança da base B para C. Então: 
(a) BPC t ⋅= 
(b) ( ) CPB t ⋅= −1 
Demonstração: 
(a) Hipóteses: { }nv,,v,vB L21= e { }nu,,u,uC L21= são bases do espaço vetorial V; P é a 
matriz de mudança da base B para a base C 
Tese: BPC t ⋅= 
Escrevendo-se os vetores da base C como combinação linear dos vetores da base B, obtém-se 
o sistema linear: 







+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
va...vavau
va...vavau
va...vavau
:S
2211
2222112
12211111
2
M
. 
Portanto, por definição, a matriz de mudança da base B para a base C é: 














=
nnnn
n
n
a...aa
............
a...aa
a...aa
P
21
22221
11211
. 
A forma matricial do sistema é: 














⋅














=














nnnnn
n
n
n v
v
v
aaa
aaa
aaa
u
u
u
M
L
MMMM
L
L
M
2
1
21
22212
12111
2
1
. 
Vê-se, assim, que a matriz dos coeficientes do sistema é a transposta de P. Se as bases B e C 
forem escritas na forma de matrizes-colunas, isto é, 














=
nv
v
v
B
M
2
1
 e 














=
nu
u
u
C
M
2
1
, 
conclui-se que BPC t ⋅= 
(b) Hipóteses: { }nv,,v,vB L21= e { }nu,,u,uC L21= são bases do espaço vetorial V; P é a 
matriz de mudança da base B para a base C. 
Tese: ( ) CPB t ⋅= −1 
De (a), tem-se que BPC t ⋅= ; sendo a matriz P inversível, pode-se determinar 1−P e sua 
transposta ( )tP 1− . Uma vez que, por propriedade de matrizes, tem-se que ( ) ( ) 11 −− = tt PP , 
pode-se escrever: 
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( ) ( ) BPPCP ttt ⋅⋅=⋅ −− 11 , 
ou seja, 
( ) BIdCP nt ⋅=⋅−1 , 
onde nId é a matriz identidade de ordem n. Logo, vem: 
( ) CPB t ⋅= −1 . 
Exemplo: considerando-se, novamente, o espaço vetorial real 2ℜ , com as bases 
( ) ( ){ }0111 21 ,v,,vB === e ( ) ( ){ }3421 21 −−=== ,u,,uC , pode-se verificar os resultados 
apresentados no teorema anterior. 
(a) Do desenvolvimento feito anteriormente, tem-se a matriz de mudança da base B para a 
base C: 






−−
−
=
11
32
P ; 
sua transposta é: 






−−
−
=
13
12tP . 
Escreve-se a matriz B da seguinte maneira: na 1ª linha, colocam-se as coordenadas do vetor 
1v e, na 2ª linha, as coordenadas do vetor 2v . Efetuando-se o produto BP
t ⋅ , vem: 
CBP t =





−−
=





⋅





−−
−
=⋅
34
21
01
11
13
12
 
Observa-se que a 1ª linha de C contém as coordenadas do vetor 1u e a 2ª, as coordenadas do 
vetor 2u . Mostrou-se, assim, que BPC
t ⋅= . 
(b) Para mostrar que ( ) CPB t ⋅= −1 , calcula-se a matriz inversa de tP : 
⇒





=











−−
−
10
01
13
12
dc
ba
⇒





=





−−−−
−−
10
01
33
22
dbca
dbca
 



=−−
=−
⇒
03
12
ca
ca
 e 



=−−
=−
13
02
db
db
 
Resolvendo os sistemas lineares, obtém-se a solução: 












−=
−=
−=
=
5
2
5
3
5
1
5
1
d
c
b
a
; 
assim, conclui-se que a matriz inversade tP é: 
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( )












−−
−
=
−
5
2
5
3
5
1
5
1
1tP . 
Efetuando-se, agora, o produto ( ) CP t ⋅−1 , vem: 
( ) BCP t =





=





−−












−−
−
=⋅
−
01
11
34
21
5
2
5
3
5
1
5
1
1
, 
o que mostra o resultado do teorema. 
Teorema: Sejam: V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Se [ ]BCMP = é a matriz 
de mudança da base B para C e [ ]CDMQ = é a matriz de mudança da base C para D, então a 
matriz [ ]BDMR = , de mudança da base B para a base D, é igual ao produto das matrizes P e Q, 
isto é, [ ] [ ]CDBC MMQPR ⋅=⋅= . 
Demonstração: 
Hipóteses: B, C e D são bases de um espaço vetorial V; [ ]BCMP = , [ ]CDMQ = e [ ]BDMR = são 
matrizes de mudança de base 
Tese: QPR ⋅= 
Pelo teorema anterior, tem-se: 
BPC t ⋅= , CQD t ⋅= e BRD t ⋅= . 
Então, vem: 
BPQCQD ttt ⋅⋅=⋅= ; 
Por propriedade de matrizes transpostas, tem-se que: 
( ) BQPD t ⋅⋅= . 
Como BRD t ⋅= , conclui-se que QPR ⋅= , ou seja, a matriz de mudança da base B para a 
base D é: 
[ ] [ ]CDBC MMQPR ⋅=⋅= . 
Teorema: Sejam: V um espaço vetorial e B e C duas de suas bases. Se [ ]BCMP = é a matriz de 
mudança da base B para C e w é um elemento qualquer de V, então: 
(a) [ ] [ ]CB wPw ⋅= 
(b) [ ] [ ]BC wPw ⋅= −1 
Demonstração: 
(a) Hipóteses: B e C são bases de um espaço vetorial V; [ ]BCMP = é a matriz de mudança da 
base B para a base C; w é um elemento genérico de V 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Tese: [ ] [ ]CB wPw ⋅= 
Sejam { }nv,,v,vB L21= e { }nu,,u,uC L21= as bases consideradas. Então, os vetores da 
base C podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base B, isto é, existem 
escalares ( )nj,iaij ≤≤1 , tais que: 







+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
vavavau
vavavau
vavavau
:S
L
M
L
L
2211
2222112
12211111
2 . 
Portanto, por definição, matriz mudança da base B para a base C é 














=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
P
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
. 
Considerando-se um vetor w de V, este se escreve como combinação linear dos vetores das 
bases B e C: 
nnvvvw ααα +++= L2211 e nnuuuw βββ +++= L2211 . 
Assim, têm-se suas coordenadas em relação a cada uma das bases: 
[ ]














=
n
Bw
α
α
α
M
2
1
 ⇒ [ ]














=
n
Cw
β
β
β
M
2
1
. 
Igualando-se as duas expressões de w, vem: 
nnnn uuuvvvw βββααα +++=+++= LL 22112211 . 
Substituindo-se, no segundo membro dessa equação, as expressões dos vetores ( )niui ≤≤1 
que constam do sistema S, obtém-se: 
( ) ( ) +++++++++=+++ LLLL nnnnnn vavavavavavavvv 22221122122111112211 ββααα 
( )nnnnnn vavava ++++ L2211β , 
ou seja, 
( ) ++++=+++ 111221112211 vaaavvv nnnn βββααα LL 
( ) ( ) nnnnnnnn vaaavaaa ββββββ +++++++++ LLL 221122222211 
Uma vez que cada vetor se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores de 
uma mesma base, segue-se que: 







+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
βββα
βββα
βββα
L
M
L
L
2211
22222112
11221111
; 
a forma matricial desse sistema é: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 




























=














nnnnn
n
n
n aaa
aaa
aaa
β
β
β
α
α
α
M
L
MMMM
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
. 
Portanto, [ ] [ ]CB wPw ⋅= . 
(b) Hipóteses: B e C são bases de um espaço vetorial V; [ ]BCMP = é a matriz de mudança da 
base B para a base C; w é um elemento genérico de V. 
Tese: [ ] [ ]BC wPw ⋅= −1 
Sabe-se que a matriz P é inversível e, do item (a), tem-se que [ ] [ ]CB wPw ⋅= . Então, 
multiplicando-se ambos os membros dessa expressão pela matriz 1−P , obtém-se: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]CCnBCB wwIdwPwPPwP =⋅=⋅⇒⋅⋅=⋅ −−− 111 
Conclui-se, assim, que [ ] [ ]BC wPw ⋅= −1 . 
Exemplos: 
1) Sejam: ( )ℜ2P , o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a 2; 
{ }t,C += 22 , uma base desse espaço; 





=
10
22
P a matriz mudança da base B para a base C. 
Determinar a base B. 
Sendo 





=
10
22
P , tem-se que ( )












−
=
−
11
0
2
1
1tP . Sabe-se que [ ] CPB t ⋅= −1 . A matriz C tem 
como linhas as coordenadas dos vetores da base que, nesse caso, são os coeficientes dos 
polinômios que a compõem, isto é: 






=
12
02
C . 
Então: 






=





⋅












−
=
10
01
12
02
11
0
2
1
B , 
ou seja, os vetores da base B são: ( )01, e ( )10, . Uma vez que as coordenadas dos vetores são 
os coeficientes dos polinômios que compõem a base, tem-se: { }t,B 1= , que é a base canônica 
de ( )ℜ2P . 
Essa é a forma mais simples de obter a base B; poder-se-ia tê-la encontrado através da matriz 
de mudança da base B para a base C, como segue. Para isso, escreve-se cada vetor da base C 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
como combinação linear dos vetores da base B. Tomando-se B como sendo 
{ }tbb,taaB 1010 ++= , tem-se, então: 
( ) ( )
( ) ( )


+++=+
+++=
tbbtaat
tbbtaa
1010
1010
122
022
, 
ou seja, 
( ) ( )


+++=+
+=+
tbtabat
taat
1100
10
2212
2202
, 
de onde se obtêm os sistemas lineares 



=
=
1
0
20
22
a
a
 e 



+=
+=
11
00
21
22
ba
ba
. 
Assim, têm-se as soluções: 10 =a , 00 =b , 01 =a e 11 =b , isto é, obtêm-se os vetores ( )01, 
e ( )10, . Portanto, a base B é: { }t,B 1= . 
2) Sejam: ( ) ( ){ }1121 ,,,B −= uma base do espaço vetorial real 2ℜ e 












=
3
5
3
1
3
2
3
1
P a matriz de 
mudança da base B para uma base C. Determinar as coordenadas do vetor ( )32,v = em 
relação à base C. 
Conforme resultado anterior, tem-se: [ ] [ ]BC vPv ⋅= −1 . Assim, é preciso determinar as 
coordenadas de v em relação à base B e a matriz inversa de P. 
Escrevendo o vetor v como combinação linear dos vetores de B, vem: 
( ) ( ) ( ) ( )ba,ba,b,a, +−=−+= 2112132 ; 
Então: 



+=
−=
ba
ba
23
2
, 
de onde se obtêm: 
3
5
=a e 
3
1
−=b . Assim, as coordenadas de v em relação à base B são: 
[ ]












−
=
3
1
3
5
Bv . 
Usando-se qualquer um dos métodos vistos anteriormente, calcula-se a inversa da matriz P, 
obtendo-se: 






−
−
=−
11
251P . 
Assim: [ ] 





−
=












−






−
−
=
2
9
3
1
3
5
11
25
Cv . 
De modo análogo ao exemplo anterior, poder-se-ia determinar as coordenadas de v em 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
relação à base C através da definiçãoda matriz de mudança da base de B para C. 
Considerando-se a base C como sendo: ( ) ( ){ }d,c,b,aC = , tem-se: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



−+=
−+=
11
3
5
21
3
2
11
3
1
21
3
1
,,d,c
,,b,a
, 
de onde se obtêm os vetores ( )10, e ( )31,− . Assim, ( ) ( ){ }3110 ,,,C −= . Determinam-se, agora, 
as coordenadas do vetor ( )32,v = em relação à base C: 
( ) ( ) ( ) ( )βαββα 3311032 +−=−+= ,,,, , 
que leva ao sistema linear: 



+=
−=
βα
β
33
2
, 
cuja solução é 9=α e 2−=β . Portanto, tem-se: [ ] 





−
=
2
9
Cv . 
Exercícios Propostos 
1) Sejam: ( ) ( ){ }1101 ,,,B = , ( ) ( ){ }2312 ,,,C −= e D três base do espaço vetorial real 2ℜ ; 






−
=
31
02
Q a matriz de mudança da base C para a base D. Determinar a matriz de mudança 
da base B para a base D e a base D. 
R: [ ] 





−
=
64
35B
DM ; ( ) ( ){ }6941 ,,,D −= 
2) Determinar a matriz de mudança da base { }22132 t,t,B +−+−= para a base 
{ }22 321 t,tt,tC ++−+= . R: [ ]










−
−−
==
2
1
2
1
4
7
4
13
0
021
1
B
CMP 
3) Sejam: B a base canônica do espaço ( )ℜ2M e 




−
=
85
32
A um elemento desse espaço. 
Sabendo que a matriz de mudança da B para a base C é 














−
−
=
1100
0110
0012
0001
P , determinar as 
coordenadas de A em relação à base C e a base C. 
R: [ ]














−
−
=
4
12
7
2
CA ; 













−











 −






=
10
00
11
00
01
10
00
21
,,,C 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
4) Considerem-se, no 3ℜ , as bases { }321 e,e,eB = e { }321 g,g,gC = , relacionadas da seguinte 
forma: 





++=
++=
+=
3213
3212
311
2
2
eeeg
eeeg
eeg
. 
Sabendo que [ ]










−
−
=
1
5
2
Bv são as coordenadas do vetor v em relação à base B, determinar 
[ ]Cv . R: [ ]










−
−
=
3
1
3
Cv 
5) Dadas as bases ( ) ( ) ( ){ }111243121 ,,,,,,,,B −= e ( ) ( ) ( ){ }001011111 ,,,,,,,,C = , verificar que a 
matriz de mudança da base B para a base C pode ser determinada por [ ] [ ]tBC BCMP 1−⋅== .