38° Arquivo Tecnicas de Integracao Parte 3

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Técnicas de Integração – Integração Numérica 
5. Integração Numérica 
 Quando não há possibilidade de se obter a função f (x) (dados obtidos 
 experimentalmente) a ser integrada ou utilizar expressões elementares/ 
 técnicas de integração para o cálculo de integrais definidas, recorre-se 
 aos Métodos Numéricos. 
 A regra do trapézio para o cálculo de uma integral definida baseia-se na 
 aproximação da região entre uma curva e o eixo x com trapézios. 
 
 Na subdivisão não é necessário que os intervalos sejam iguais. 
5.1 Aproximações Trapezoidais 
Técnicas de Integração – Integração Numérica 
5.1 Aproximações Trapezoidais (Cont.) 
 
 A área do trapézio que fica acima do i-ésimo subintervalo é dada por: 
 Em caso de intervalos iguais: 
Regra do Trapézio 
 
Assim, a partir da área do i-ésimo trapézio: 
tem-se: 
Regra do Trapézio 
 Resumo da Regra do Trapézio 
Para fazer uma aproximação do cálculo da integral use: 
Os y´s são os valores da função f nos pontos da partição: 
onde: 
Regra do Trapézio 
 Exemplo: Aplicando a Regra do Trapézio com n = 4, estime a integral 
Solução exata: 
e compare com o valor exato. 
Como y = x2: 
Erro ≈ 0,5 % 
Regra do Trapézio 
 Exemplo 2: Um observador mede a temperatura a cada hora e registra 
 cada valor na tabela a seguir. Qual a temperatura média para o período 
 de 12 horas? OBS: A função f (x) é desconhecida. 
com Δx = 1 , e lembrando que , tem-se: 
Tempo 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 
Temperatura 63 65 66 68 70 69 68 68 65 64 62 58 55 
Usando a Regra do Trapézio: 
Regra do Trapézio 
Quando n  ∞ e Δx0 
Quando n aumenta e Δx tende a zero, pode-se usar T para aproximar 
 
o valor exato da integral 
 Estimativas de Erro na Aproximação Trapezoidal 

b
a
dxxf )(






  nn yyyyyxT
2
1
...
2
1
1210
  xyyyyyyT nn 





 0321
2
1
)...(
Prova: 
  xbfafxxfT
n
k
k  

)()(
2
1
)(
1
 







 

xbfaf
dxxfxxf
b
a
n
k
k
)()(
2
1
)()(
1
Regra do Trapézio 
Assim, quando Δx0, o erro definido por: 
Como determinar o número n para obter uma dada tolerância? 
O Cálculo Avançado nos diz que se a segunda derivada da função f é 
contínua em [a, b], então: 
Assim: 
 

b
a
b
a
n
dxxfdxxfT )(0)(lim
para algum número c entre a e b. 
2'' )()(
12
)( xcf
ab
Tdxxf
b
a



2'' )()(
12
xcf
ab
ET 


tende a zero com o quadrado de x. 
Regra do Trapézio 
Se M é qualquer limitante superior para os valores de em 
intervalo [a, b], fornece um limitante superior para a magnitude do erro. 
A desigualdade: onde max se refere ao 
O valor exato de é difícil de determinar e, assim, estima-se 
um limite superior. 
[a, b] de forma que este módulo seja menor ou igual a M em [a, b]: 
2'' )()(max
12
xxf
ab
ET 


)('' xf
2)(
12
xM
ab
ET 


ou  
2
3
12n
Mab
ET

  TEn
)(max '' xf
Regra do Trapézio 
 Exercício 1: Determine um limitante superior do erro no cálculo da 
 integral abaixo usando a Regra do Trapézio com n = 10. 
Como a = 0, 
b =  e n =10: 
Pode-se tomar com segurança M = 2 +  


0
sen dxxx   M
n
Mab
ET
120012
3
2
3 



O número M pode ser qualquer 
limitante superior da segunda 
derivada. Assim: 
xxxxf
xxxxxf
xxxxf
sencos2)(
cossencos)(
cossen)(
''
''
'






2
sencos2
sencos2)(''
xxx
xxxxf
001333,0
1200
)2(3


 TT EE

Regra do Trapézio 
 Exercício 2: Qual valor de n deve ser adotado para que o módulo do erro 
 na aproximação da integral pela Regra do Trapézio não exceda 10-4. 
Como a = 1 e 
b = 2: 
2
1
1
2ln dx
x
212n
M
ET 
Assim: 
3
''
2
' 2)(;
1
)(;
1
)(
x
xf
x
xf
x
xf 
22 6
1
12
2
nn
ET 
e 
2)(max '' xf
Como |ET| não pode exceder 10
-4, tem-se que: 
83,40
6
10
10
6
1 2
4
4
2
  nn
n
Assim, deve-se adotar n = 41. 
Regra de Simpson 
Aproximações para integrais de funções contínuas já vistas: 
 
 Somas de Riemman. 
 
 Regra do Trapézio: mais eficiente 
 Regra de Simpson - outra regra para aproximar a integral 
 definida de funções contínuas 
 
 Consiste em usar parábolas ao invés dos segmentos de reta que 
formam os trapézios. 
 
 Exige que o número de intervalos seja par. 
 
Regra de Simpson 
 Divide-se o intervalo [a, b] em n subintervalos de igual tamanho 
 h = x = (b – a)/n, sendo que n deve ser um número par. 
 
 Em cada par consecutivo de intervalos, aproxima-se a curva y = f (x) ≥ 0 
 por uma parábola. 
Uma parábola típica passa por 3 pontos 
consecutivos: 
(xi-1, yi-1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). 
A área sombreada sob uma parábola 
típica é calculada. 
Regra de Simpson 
 Considerando o caso em que x0 = -h, 
 x1 = 0 e x2 = h, onde h = x = (b – a)/n. 
 A área sob a parábola será a mesma se 
 transladarmos o eixo y para a esquerda 
 ou direita. 
Sabendo que a equação da parábola é y = Ax2 + Bx + C, a área sob a 
curva é: 



h
h
p dxCBxAxA )(
2
)62(
3
2
3
2
23
2
323
CAh
h
Ch
h
ACx
x
B
x
AA
h
h
p 

























Regra de Simpson 
Como a curva passa pelos pontos (-h, y0), (0, y1) e (h, y2), tem-se que: 
 
CBhhAyCyCBhhAy  221
2
0 ;;
A partir das expressões anteriores, tem-se: 
 
120
2
12
2
10
2
1
22 yyyhA
yyBhhA
yyBhhA
yC




Expressando a área Ap em termos das coordenadas y0, y1 e y2, tem-se: 
 
)4(
3
)62(
3
)62(
3
2101120
2 yyy
h
yyyy
h
CAh
h
Ap 
Regra de Simpson 
 Transladando horizontalmente a parábola 
 para a posição original, a área sob ela 
 permanecerá a mesma. Assim, a área sob a 
 parábola que passa por (x0, y0), (x1, y1) e 
 (x2, y2) é a mesma dada anteriormente. 
Analogamente a área sob a parábola que passa por 
(x2, y2), (x3, y3) e (x4, y4) anteriores, chega-se a: 
 
)4(
3
432 yyy
h
Ap 
Calculando as áreas sob todas as parábolas e somando os resultados tem-se a 
seguinte aproximação : 
 
)4(
3
...)4(
3
)4(
3
)(
12
432210
nnn
b
a
yyy
h
yyy
h
yyy
h
dxxf




Regra de Simpson 
OBS: Deve-se lembrar que a Regra de Simpson é válida para qualquer função 
contínua e que o número de intervalos deve ser par. 
)42...2424(
3
)( 1243210 nnn
b
a
yyyyyyyy
h
dxxf  
Rearranjando a expressão anterior, chega-se a: 
Regra de Simpson 
 Resumo da Regra de Simpson 
Para fazer uma aproximação do cálculo da integral use: 
Os y´s são os valores da função f nos pontos da partição: 
onde o número n é par e : 
)42...424(
3
123210 nnn yyyyyyy
x
S 

 
Regra de Simpson 
Como a = 1 e b = 2: 

2
1
dxx
Cálculo Exato: 
2;
4
7
;
4
6
;
4
5
;1 43210  yyyyy
5,1
2
1
2
2
2
1
22
1

x
dxx
4
1



n
ab
x

























 2
4
7
4
4
6
2
4
5
41
12
1
)424(
3
43210 yyyyy
x
S
  5,127351
12
1
 S
 Exemplo: Aplicando a Regra de Simpson com n = 4, estime a integral 
Regra de Simpson 
Assim, quando Δx  0, o erro definido por: 
Novamente, o Cálculo Avançado nos diz que se a quarta derivada da 
função f é contínua em [a, b], então: 
para algum número c entre a e b. 4)4( )()(
180
)( xcf
ab
Sdxxf
b
a



tende a zero com a quarta potência de x. 
4)4( )()(
180
xcf
ab
ES 


OBS: Isto ajuda a explicar o motivo pelo qual a Regra de Simpson costuma 
 fornecer melhores resultados do que a Regra do Trapézio. 
Regra de Simpson 
Se M é qualquer limitante superior para os valores de em 
intervalo [a, b], fornece um limitante superior para a magnitude do erro. 
A desigualdade onde max se refere ao 
[a, b], então: 
4)4( )()(max
180
xxf
ab
ES 


)()4( xf
ou  
4
5
180n
Mab
ES

  SEn4)(
180
xM
ab
ES 


Regra de Simpson 
Como a = 0, 
b = 2 e n = 4: 
2
0
45 dxx
1440)256(180
32
)4(180
2
4
5 M
M
M
ES 
Assim: M = 120 e a estimativa do erro resulta em: 
120)(;120)(;60)(;20)( )4('''2''3'  xfxxfxxfxxf
12
1
1440
120
1440

M
ES
12
1
 SE
 Exercício 1: Determine um limitante superior do erro no cálculo da 
 integral abaixo usando a Regra de Simpson com n = 4. 
Regra do Trapézio × Regra de Simpson 
Importante: Se f(x) for um polinômio de grau inferior a 4, sua quarta derivada será 
nula e assim: 
 As aproximações da Regra de Simpson são melhores do que as da 
 Regra do Trapézio. Isto ocorre porque o erro na Regra de Simpson é 
 proporcional a (x)4, enquanto o o erro na Regra do Trapézio é 
 proporcional a (x)2. 
0)()(
180
4)4( 

 xcf
ab
ES
0 
Resposta exata 
Na Regra do Trapézio, isto ocorre se f for uma função linear ou constante. 
Aproximações com as Regras do Trapézio e de Simpson 
Regra do Trapézio × Regra de Simpson 

2
0
3 dxx
 Exercício 1: Calcule a integral abaixo usando a Regra do Trapézio e a 
 Regra de Simpson. Compare com o resultado analítico.