Apostila Matlab - 6

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MATLAB Básico – Autoria: Família Carielo 
Escola Técnica LEIAUT Cariele 
Av. Governador Carlos de Lima Cavalcante, nº 168 – Derby / Recife - PE 
Rua Joaquim Felipe, nº 119 – Boa Vista/ Recife - PE 
 
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POLINÔMIOS 
No MATLAB, um polinômio é representado por um vetor linha contendo os coeficientes do 
polinômio em ordem decrescente. Por exemplo, o polinômio de 4º grau: 𝑥ସ − 3𝑥³ + 10𝑥² − 7𝑥 − 48 é 
representado pelo vetor p = [1 –3 10 –7 –48]. 
Serão apresentados agora 3 exemplos para que você possa entender como trabalhar com 
polinômios no MATLAB. Assim, siga os passos abaixo: 
Exemplo 1: 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 
1º Passo: Para declarar o polinômio expresso no Exemplo 1, na Janela de Comandos, digite P1 = [1 3 1]; e 
pressione Enter. 
Exemplo 2: 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 
2º Passo: Para declarar o polinômio expresso no Exemplo 2, na Janela de Comandos, digite P2 = [1 -5 2 -1]; 
e pressione Enter. 
Exemplo 3: 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝒙 
3º Passo: Para declarar o polinômio expresso no Exemplo 3, na Janela de Comandos, digite P3 = [1 4 0 -1 0]; 
e pressione Enter. Observe que nesse caso o coeficiente de x² é 0 e, por isso, o terceiro elemento do vetor 
de P3 é 0. 
FUNÇÃO “roots” 
Agora que você já entendeu como declarar polinômios utilizando o MATLAB, será ensinado como 
encontrar as raízes de polinômios através deste software. Para isso, deve-se utilizar o comando “roots”. 
Exemplo 1: 𝑷(𝒙) = 𝒙² + 𝟑𝒙 + 𝟐 
1º Passo: Digite P = [1 3 2]; e pressione Enter. 
2º Passo: x = roots (P) e pressione Enter. 
Observe que apareceu x = -2 
 -1 
6º Módulo do MATLAB Básico 
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Exemplo 2: 𝑷(𝒙) = 𝟒𝒙³ + 𝟐𝒙² + 𝟓 
1º Passo: Digite P = [4 2 0 5] e pressione Enter. 
2º Passo: Digite roots (P) e pressione Enter. 
 
Observe que apareceu ans = -1.2723 
 0.3861 + 0.9129i 
 0.3861 - 0.9129i 
 Observação: Perceba que no último exemplo apareceram 2 raízes que apresentam componente 
imaginária (note a presença do “i”). 
 
EXERCÍCIO 
 
Utilizando o MATLAB, encontre as raízes dos seguintes polinômios e escreva abaixo os resultados. 
 
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥³ + 4𝑥² − 4𝑥 + 3 
Resultado: 
 
 
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥଺ + 4𝑥ହ − 8𝑥ସ − 3𝑥ଷ + 2𝑥ଶ + 𝑥 + 2 
Resultado: 
 
 
 
 
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FUNÇÃO “conv” 
Agora que você já entendeu como encontrar as raízes dos polinômios utilizando o MATLAB, será 
ensinado como fazer a multiplicação de polinômios. 
Exemplo 1: Sendo 𝑝(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 + 2 e 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 1, determine 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) 
1º Passo: Faça esse cálculo à mão no espaço abaixo e encontre o resultado. 
Cálculo: 
 
 
 2º Passo: Dirija-se à Janela de Comandos, digite p = [1 3 2]; e pressione Enter. 
3º Passo: Digite q = [1 - 1]; e pressione Enter. 
4º Passo: Digite r = conv(p,q) e pressione Enter. 
 Observe que apareceu r = 1 2 -1 -2, indicando que o produto de p(x) por q(x) é x³ + 2x² - x – 2. 
5º Passo: Verifique se o valor calculado à mão e o encontrado pelo MATLAB foram iguais. Eles precisam ser 
iguais. 
 
EXERCÍCIO 
 
Utilizando o MATLAB, faça a multiplicação dos seguintes polinômios. 
𝑝(𝑥) = 𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 + 3 
𝑞(𝑥) = 𝑥଺ + 4𝑥ହ − 8𝑥ସ − 3𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥 + 2 
Resultado: 
 
 
 
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FUNÇÃO “deconv” 
Agora que você já entendeu como fazer a multiplicação dos polinômios utilizando o MATLAB, será 
ensinado como fazer a divisão dos polinômios. Para isso, deve-se utilizar o comando “deconv”. 
Para isso, siga os passos abaixo: 
1º Passo: Dirija-se à Janela de Comandos, digite p1 = [1 3 2 ] e pressione Enter. 
Observe que p1 = [ 1 3 2] representa 𝑝(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 + 2. 
2º Passo: Digite p2 = [1 -1] e pressione Enter. 
Observe que p2 = [1 -1] representa 𝑝(𝑥) = 𝑥 – 1 
3º Passo: Calcule à mão a divisão de p1 por p2 no espaço abaixo e encontre o resultado. 
Cálculos: 
 
 
4º Passo: Digite [q,r] = deconv(p1,p2) e pressione Enter. 
 Observe que apareceu q =1 4 
r = 0 0 6 
Onde: 
p1 corresponde ao dividendo 
p2 corresponde ao divisor 
q corresponde ao quociente 
r corresponde ao resto 
Atenção: Se você digitar apenas q = deconv(p1,p2), o resultado apresentará q = 1 4, isto é, 
mostrará apenas o vetor q, que contém os coeficientes do quociente. No entanto, digitando [ q, r] = 
deconv(p1,p2), será obtido o vetor r, que contém os coeficientes do resto da divisão, além do vetor q. 
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5º Passo: Verifique se o valor calculado à mão e o encontrado pelo MATLAB foram iguais. Precisam ser 
iguais. 
 
EXERCÍCIO 
 
Calcular o valor da divisão dos seguintes polinômios por meio do MATLAB e expressar o resultado 
abaixo. 
 
𝑃(𝑥) = 𝑥଺ + 4𝑥ହ − 8𝑥ସ − 3𝑥ଷ + 2𝑥ଶ + 𝑥 + 2 
𝑄(𝑥) = 𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 + 3 
 
Resultado: 
 
FUNÇÃO “poly” 
Foi visto como achar as raízes de um polinômio por meio do comando roots. Agora será revisado 
essa função e ensinado como construir o polinômio associado a raízes conhecidas, através da função 
“poly”. Para isso, siga os passos abaixo: 
1º Passo: Digite p = [1 -12 0 25 116] e pressione Enter. 
2º Passo: Digite r = roots(p) e pressione Enter para encontrar as raízes desse polinômio. 
Observe que apareceu r = 11.7473 
 2.7028 
 - 1.2251 + 1.4672i 
 - 1.2251 - 1.4672i 
Observação: O comando “roots” já havia sido ensinado. Agora será ensinado o comando “poly” 
para que você possa encontrar o polinômio conhecendo as raízes. 
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3º Passo: Aproveitando as raízes encontradas, digite polinomio = poly(r) e pressione Enter. Observe que 
apareceu polinomio = 1.0000 -12.0000 -0.0000 25.0000 116.0000, já que esses são os valores dos 
coeficientes do polinômio que apresenta as raízes listadas. Observe o valor da variável “p” e veja que os 
resultados são semelhantes. Você deve estar lembrado que um polinômio é definido em MATLAB à custa 
de um vetor, cujos valores são os coeficientes do polinômio ordenado por ordem decrescente de suas 
potências. 
4º Passo: Digite agora p= poly( [ -3 -2]) e pressione Enter 
Observe que apareceu p= [ 1 5 6], pois o polinômio resultante é 𝑝(𝑥) = 𝑥² + 5𝑥 − 6 
5º Passo: Para seguir o caminho inverso, apenas para conferir se está certo, digite roots([1 5 6]) e pressione 
Enter. 
 Observe que apareceu ans = -3.0000 
 -2.0000 
6º Passo: Fazendo outro exemplo, digite raizes = [ -2 0 3 -3+2*i -3-2*i] e pressione Enter. 
7º Passo: Digite p= poly(raizes) e pressione Enter. 
Observe que apareceu p = [ 1 5 1 -49 -78 0], já que o polinîmio é 𝑝(𝑥) = 𝑥ହ + 5𝑥ସ + 𝑥ଷ − 49𝑥ଶ −
78𝑥FUNÇÃO “polyval” 
1º Passo: Na Janela de Comandos, digite x = 4 e pressione Enter. 
2º Passo: Digite f4 = x^4 - 3*x^3 - 2*x^2 + 3 e pressione Enter. Ao fazer isso, você está considerando a 
função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥ସ − 3𝑥³ − 2𝑥² + 3. 
Observe que apareceu f4 = 35, representando o valor desse polinômio ao substituir x por 4. 
3º Passo: Digite pol = [1 -3 -2 0 3], que corresponde aos coeficientes do polinômio do exemplo anterior, e 
pressione Enter. 
4º Passo: Digite f = polyval(pol,x) e pressione Enter. 
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Observe que apareceu f = 35. Perceba, então, que dos dois modos foi possível encontrar o mesmo 
resultado. Perceba que x é um escalar. Assim, quando a variável é um escalar, a função “polyval” devolve 
um escalar. 
5º Passo: Digite x=0:3 e pressione Enter. 
Observe que apareceu x = 0 1 2 3 , já que a linha de código digitada representa um vetor x 
iniciando em 0 e terminando em 3. 
6º Passo: Digite f4 = x.^4 - 3*x.^3 - 2*x.^2 + 3 e pressione Enter. 
Observe que apareceu f4 = 3 -1 -13 -15. 
Observação: Caso você não digitasse o “.” Antes do “^” daria erro. 
7º Passo: Digite f = polyval(pol,x) e pressione Enter. 
Observe que apareceu f = 3 -1 -13 -15, ou seja, o mesmo resultado do caso anterior. 
8º Passo: Digite p = [ 2 4 6 8 ] e pressione Enter. Observe que 𝑝(𝑥) = 2𝑥ଷ + 4𝑥ଶ + 6𝑥 + 8 
9º Passo: Digite f = polyval(pol,x) e pressione Enter. 
Observe que apareceu f = 8 20 52 116. 
Perceba que a variável x agora é um vetor linha. Assim, a função “polyval” devolveu um vetor. 
Resumo: Quando a variável é um escalar, polyval devolve um escalar, quando é um vetor, devolve 
um vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 
 
Explique quais os cálculos que o MATLAB realizou para obter como resposta y = 8 20 52 116, 
ao receber a linha de comando y = polyval(pol,w). Expresse abaixo todos os cálculos necessários para a 
explicação. 
 
Cálculos: 
 
 
Observação: Caso não tenha conseguido entender quais os cálculos o MATLAB precisou fazer para 
obter como resposta y = 8 20 52 116, daremos uma dica: 
DICA: Substitua cada elemento do vetor x na expressão 𝑝(𝑥) = 2𝑥ଷ + 4𝑥ଶ + 6𝑥 + 8.