Pauta prova limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Pauta de Correção da 1
a
Avaliação de Cálculo I - 30 de julho de 2016
1. Calcule os limites, caso existam:
a) (1 ponto) lim
h→0
(a+ h)3 − a3
h
b) (1 ponto) lim
x→0−
3
√
xesen(1/x).
Resolução: (a) A priori, o domínio da função é definido pelo conjunto
D(f) = {h ∈ R; h 6= 0}
Note que não podemos substituir h = 0, pois isso resulta em um numerador igual a zero,
assim como o denominador. Deste modo, podemos simplificar tal função, utilizando a
fatoração de polinômios especiais, e em seguida o cancelamento de um fator comum, ou
seja
(a+ h)3 − a3
h
=
[(a+ h)− a][(a+ h)2 + a(a+ h) + a2]
h
= (a+ h)2 + a(a+ h) + a2,
Logo,
lim
h→0
(a+ h)3 − a3
h
= lim
h→0
[(a+ h)2 + a(a+ h) + a2] = 3a2.
(b) A priori, nota-se que:
−1 ≤ sin
(
1
x
)
≤ 1, ∀x 6= 0.
Como a função exponencial ex é uma função crescente a = e > 1 para todo número real,
segue que:
e−1 ≤ esin
(
1
x
)
≤ e
Como almejamos lim
x→0−
3
√
xesen(1/x), temos x < 0, assim 3
√
x < 0. Multiplicando este fator
pela desigualdade acima:
e−1 3
√
x ≥ 3√xesin
(
1
x
)
≥ 3√xe
Haja vista que lim
x→0−
e−1 3
√
x = lim
x→0−
e 3
√
x = 0, segue pelo Teorema do Confronto que:
lim
x→0−
3
√
xesen(1/x) = 0.
Pauta: (a) Concluir tudo corretamente - 1 ponto. Penalizar em 0,3 ponto caso esqueça
do símbolo de limx→x0 . Penalizar em 0,2 ponto por cada erro de conta.
Pauta: (b) Analisar que a função sin
(
1
x
)
é limitada por −1 e 1 para todo x 6= 0, que a
função exponencial é crescente e a realização do estudo das desigualdades para x < 0 - 0,4
ponto. Concluir tudo corretamente - 1 ponto. Penalizar em 0,3 ponto caso esqueça do
símbolo de limx→0− . Penalizar em 0,2 ponto por cada erro de conta. Penalizar em 0,2
ponto, caso não informem que estão utilizando o Teorema do confronto.
2. (2 pontos) Determine para quais valores de x a função F (x) =
 x
2 − 4
x− 2 + 10, se x < 2
2x3 − x, se x ≥ 2
é contínua.
Resolução: Para x < 2 a função F (x) é racional e no caso em que x > 2 temos que
F (x) é uma função polinomial e, portanto, contínua em ambos os casos. Resta mostrar
que F (x) é contínua para x = 2. De fato, note que x = 2 faz parte do domínio de F (x)
(neste caso F (2) = 2.23 − 2 = 14); além disso, desde que
lim
x←2+
F (x) = lim
x←2+
(2x3 − x) = 2.23 − 2 = 14
e
lim
x←2−
F (x) = lim
x←2−
[
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 + 10
]
= lim
x←2−
(x+ 12) = 14
temos que
lim
x←2
F (x) = 14 = F (2).
Logo F (x) é contínua em x = 2. Concluímos assim que F (x) é contínua para qualquer que
seja x ∈ R.
Pauta: i) 2 pontos se justificar devidamente que F (x) é contínua para todo x ∈ R;
ii) 1 ponto de justificar devidamente que F (x) é contínua para todo x 6= 2;
iii) 1 ponto se justificar devidamente que F (x) é contínua para x = 2;
iv) 1.5 se não justificar devidamente que
lim
x←2
F (x) = 14,
mas o resto da questão estiver correta;
3. (2 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, do gráfico da
função
f(x) =
|x|+ 1
x− 2 .
Resolução: Para determinar, caso existam, assíntotas horizontais determina-se:
lim
x→−∞ f(x) e limx→+∞ f(x).
Observação: Podemos fazer mudança na variável independente de modo a não necessitar
análise de sinal de f(x) a saber: se x = −h2 então x→ −∞⇔ h→∞ Vejamos:
L− = lim
x→−∞ f(x)
= lim
x→−∞
|x|+ 1
x− 2
= lim
h→∞
| − h2|+ 1
−h2 − 2
= lim
h→∞
h2 + 1
−h2 − 2
= lim
h→∞
h2 + 1
h2
−h2 − 2
h2
= lim
h→∞
1 +
1
h2
−1− 2
h2
=
1 + lim
h→∞
1
h2
−1− 2 lim
h→∞
1
h2
Como lim
h→∞
1
h2
= 0 temos:
L− =
1 + 0
−1− 2× 0
=
1
−1
= −1
Logo temos y = −1 como uma assíntota horizontal.
Podemos fazer outra mudança na variável independente a saber: se x = +h2 então x →
+∞⇔ h→∞ Vejamos:
L+ = lim
x→+∞ f(x)
= lim
x→−∞
|x|+ 1
x− 2
= lim
h→∞
|+ h2|+ 1
+h2 − 2
= lim
h→∞
h2 + 1
h2 − 2
= lim
h→∞
h2 + 1
h2
h2 − 2
h2
= lim
h→∞
1 +
1
h2
1− 2
h2
=
1 + lim
h→∞
1
h2
1− 2 lim
h→∞
1
h2
Como lim
h→∞
1
h2
= 0 temos:
L+ =
1 + 0
1− 2× 0
=
1
1
= 1
Logo temos y = 1 como outra assíntota horizontal.
Para determinar assíntotas verticais, procuraremos pontos a ∈ dom(f) tais que lim
x→a∓
f(x) =
∓∞ ou lim
x→a∓
f(x) = ±∞. Para a nossa função o candidato natural é a = 2. Senão vejamos:
Limite à esquerda. Fazemos x = 2− h2 e temos x→ 2− ⇔ h→ 0.
l− = lim
x→2−
f(x)
= lim
x→2−
|x|+ 1
x− 2
= lim
h→0
|2− h2|+ 1
2− h2 − 2
Para h próximo de zero temos |2− h2| = 2− h2 e temos:
l− = lim
h→0
2− h2 + 1
−h2
= lim
h→0
(
−3 1
h2
+ 1
)
= 1− 3 lim
h→0
1
h2
= −∞
Limite à direita. Fazemos x = 2 + h2 e temos x→ 2+ ⇔ h→ 0.
l+ = lim
x→2+
f(x)
= lim
x→2+
|x|+ 1
x− 2
= lim
h→0
|2 + h2|+ 1
2 + h2 − 2
Para h próximo de zero temos |2 + h2| = 2 + h2 e temos:
l+ = lim
h→0
2 + h2 + 1
h2
= lim
h→0
(
3
1
h2
+ 1
)
= 1 + 3 lim
h→0
1
h2
= +∞
Portanto x = 2 é uma assíntota vertical (a única).
Pauta: i) Se o aluno sabe como determinar assíntotas verticais e horizontais 0,5 pontos;
ii) Se o aluno escreveu corretamente os limites necessários para determinar as assíntotas
0,5;
iii) Se o aluno calculou corretamente os limites 0,5 pontos;
iv) Se o aluno concluiu corretamente as assíntotas 0,5 pontos.
4. (2 pontos) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe solução para a
equação sen(x) = x2 − 1.
Resolução: Considere a função
g(x) = sinx− (x2 − 1).
Para x = 0 tem-se g(0) = 1 > 0 e para x = pi, g(pi) = 1 − pi2 < 0. Sabemos que
g(x) é contínua no intervalo fechado [0, pi]. Desde que g(0) e g(pi) tem sinais contrários
e g é contínua em [0, pi] segue, pelo teorema do valor intermediário, que g assume todos
os valores entre 1 − pi2 e 1 no intervalo [0, 1]. Em particular, existe x0 ∈ [0, pi] tal que
g(x0) = sinx0 − (x20 − 1) = 0 ∈ [1− pi2, 1]. Logo, a equação sinx = x2 − 1 tem solução em
[0, pi].
Pauta: i) Considerar qualquer variação textual e valores nos termos da solução acima;
ii) Considerar 1,0 para o aluno que enunciar o Teorema do Valor Intermediário;
iii) Considerar 0,5 ao aluno que considerar a função g(x);
iv) Considerar 1,5 ao aluno que mostrar a existência da solução por meio do gráfico das
funções.
5. (a) (1 ponto) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 1/x no ponto onde
x = a.
(b) (1 ponto) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 1/x no ponto (1, 1).
Resolução: (a) A inclinação solicitada corresponde à derivada da função f(x) =
1/
√
x no ponto x = a. Calculando a derivada temos,
f ′(a) = lim
x→a
1/
√
x− 1/√a
x− a = limx→a
(
√
a−√x)/√xa
x− a
= lim
x→a
(
√
a−√x)(√a+√x)√
xa(x− a)(√a+√x)
= lim
x→a
a− x√
xa(x− a)(√a+√x) = limx→a−
1√
xa(
√
a+
√
x)
= − 1
2a3/2
.
Notar que a > 0.
(b) Assuma que a equação da reta tangente em (1, 1) é y = mx + k. Pelo item
anterior m = f ′(1) = −1/2, desde que 1 = m × 1 + k, segue que k = 1 + 1/2 = 3/2.
Portanto, a equação da reta solicitada é y = −12x+ 32 .
Pauta: (a) Entender que a inclinação da reta tangente corresponde à derivada e
começar o cálculo corretamente pela definição de derivada - 0,5 ponto. Concluir
tudo corretamente - 1 ponto. Penalizar em 0,2 ponto caso esqueça de enfatizar
a > 0. Penalizar em 0,2 ponto por cada erro de conta.
(b) Saber que a equação de uma reta é da forma y = mx + k - 0,4 ponto. Sa-
ber que o coeficiente angular da reta tangente é f ′(1) - 0,5 ponto. Concluir tudo
corretamente - 1 ponto. Penalizar em 0,2 ponto por cada erro de conta.