APOSTILA DE BIOESTATÍSTICA I

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BIOESTATÍSTICA 
PROF. SÉRGIO SANTOS
2017.
2020sergio@gmail.com
CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS
I - CONCEITOS:
a) ESTATÍSTICA: 
É parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, úteis nas tomadas de decisão.
b) ESTATÍSTICA: 
“É um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir fenômenos coletivos”. “É uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e organizá-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões” (Triola, 1999, p.2).
c) BIOESTATÍSTICA: É a Estatística aplicada às ciências da saúde.
II - PARTES:
2.1.1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA: Coleta, organiza e descreve os dados.
2.1.2. ESTATÍSTICA INDUTIVA OU INFERENCIAL: 
Analisa e interpreta os dados. Permite obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente, objetivo essencial da Estatística.
III - MÉTODO ESTATÍSTICO
 O processo estatístico é composta basicamente de 5 (cinco) etapas:
1ª etapa: objetivo da pesquisa: ao iniciar uma pesquisa, é preciso definir claramente o que se quer estudar:
Exemplo:
As notas que os alunos de uma turma obtiveram em Matemática.
2ª etapa: coleta de dados: é o registro dos dados coletados para a pesquisa.
3ª etapa: organização dados: colocar os dados em ordem (crescente ou decrescente)
4ª etapa: agrupamento dos dados: há algumas formas de fazer essa organização. Um delas é montar uma tabela e a outra, elaborar um gráfico.
5ª etapa: Análise e conclusão:
A menor nota da turma foi 1,0;
A maior nota da turma foi 10,0;
A nota que apareceu com maior frequência foi 6,0 (cinco vezes)
Trinta por cento (30%) dos alunos obtiveram nota inferior a 5,0.
IV - VARIÁVEL: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno (ou observação, ou característica). Objeto de estudo de uma pesquisa.
No exemplo, a variável é ____________________________.
4.1. TIPOS:
4.1.1. VARIÁVEL QUALITATIVA OU CATEGÓRICA – quando seus valores são expressos por atributos (exemplos: sexo, cor) – pode ser:
a) ordinal – quando pudermos estabelecer uma ordem, uma hierarquia, entre as respostas obtidas (exemplos: nível fundamental, nível médio e nível superior).
b) nominal: não possamos verificar uma ordem, uma hierarquia (ex: sexo masculino e sexo feminino).
4.1.2. VARIÁVEL QUANTITATIVA OU NUMÉRICA - pode ser 
a) contínua: assume valores reais (exemplos: peso, altura, medições), ou 
b) discreta: assume valores somente inteiros (exemplos: número de filhos, contagens em geral, números inteiros).
V - POPULAÇÃO OU UNIVERSO ESTATÍSTICO: um conjunto de informações que tenham, pelo menos, uma característica em comum.
 
EXEMPLO 1:
a) conjunto dos moradores de Teresina: população dos moradores de Teresina
b) conjunto das peças produzidas por uma máquina: população das peças de uma máquina
c) conjunto dos consumidores de uma marca de sabão em pó;
d) conjunto das empresas produtoras de mel;
VI - AMOSTRA: é uma parte (subconjunto finito) representativa de uma população selecionada, segundo métodos adequados.
 
6.1. QUANDO USAR AMOSTRA:
a) Populações infinitas;
b) Economia;
c) Rapidez de processamento;
d) Indisponibilidade de todos os elementos;
e) Confiabilidade. 
CAPÍTULO 2: GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
I – Introdução: Os gráficos estatísticos são utilizados para apresentar dados, tornando mais fácil e rápida a compreensão do fato em estudo.
Vamos estudar alguns tipos de gráficos estatísticos.
II – Tipos de gráficos estatísticos.
2.1. Gráficos de barras verticais e horizontais.
Gráfico de barras verticais: é composto por dois eixos, um vertical e outro horizontal. No eixo horizontal são construídas as colunas, na forma de retângulo, que representam a variação de um fenômeno. Todos os retângulos deve ter a mesma base e as alturas são proporcionais aos valores da variável representada no eixo vertical.
Gráfico de barras horizontais: é composto por dois eixos, um vertical e outro horizontal. No eixo vertical são construídas as barras, em forma de retângulo, que representam a variação de um fenômeno. A base dos retângulos situa-se no eixo vertical e os comprimentos são proporcionais aos valores da variável representada no eixo horizontal,
Exemplo: 
	Quantidade de família do município de Alfa de acordo com o número de filhos
	Números de filhos
	Número de famílias (frequência)
	0
	12
	1
	16
	2
	28
	3
	13
	4
	7
	5
	3
	6
	1
	Total
	80
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
 
 
2.2. Gráfico de linha é composto por dois eixos, um vertical e outro horizontal, e por uma linha que mostra a evolução de um fenômeno ou processo, isto é, o seu crescimento ou diminuição no decorrer de determinado período.
2.3. Gráfico de setores ou circular ou de pizza é um diagrama circular onde os valores de cada categoria estatística representadas são proporcionais às respectivas medidas dos ângulos.
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (Enem 2005) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa a seguir, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente?
02. (ENEM cancelado, 2009) Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram representadas no gráfico a seguir.
Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos aprovados?
03. (ENEM, 2010) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.
Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular?
04. (ENEM – 2011). O gráfico abaixo mostra o número de pessoas comprovadamente infectadas pelo vírus H1N1 numa certa cidade do Brasil, entre os meses de maio e setembro de 2009. 
Na hipótese de um crescimento linear desse surto, representado pela reta r, pode-se prever que o número de pessoas infectadas em dezembro de 2009?
05. (Enem 2009). O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, Qual o número aproximado de pessoas economicamente ativas em 06/09? 
06 - Uma rede de supermercados resolveu fazer uma pesquisa para saber qual horário as pessoas mais gostavam de ir ao supermercado. Foram entrevistadas 2000 pessoas e o resultado está no gráfico abaixo.
Durante qual horário a maioria das pessoas entrevistadas preferem ir ao supermercado?
07. Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:
Qual o valor total gasto, em reais, para postar essas cartas?
08. (ENEM 2010). Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250.000, qual o número de desempregados em março de 2010, nessa região?
CAPITULO III – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
I - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as frequências (repetições de seus valores). 
II - TABELA PRIMITIVA DE DADOS: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É difícil formarmos uma ideiaexata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados.
III - ROL: é a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). 
IV - FREQUÊNCIA: é o número de observações ou repetições de um determinado valor da variável, em um levantamento qualquer.
V - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASE: É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exige muito espaço. 
Exemplo 1: usando os dados acima temos: 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Victória fez uma pesquisa com alunos do 5º período de Farmácia da Aespi sobre as suas alturas. Obteve os seguintes dados:
	160
	170
	162
	180
	185
	175
	162
	180
	174
	164
	165
	170
	180
	185
	165
	170
	178
	178
	162
	160
	174
	162
	165
	164
	170
	160
	160
	162
	162
	162
	162
	164
	164
	165
	165
	165
	170
	170
	170
	170
	174
	174
	175
	178
	178
	180
	180
	180
	185
	185
01. Responda corretamente:
a) qual a variável pesquisada? 
b) quantos alunos foram pesquisados?
c) qual o nome da tabela da esquerda? 
d) qual o nome da tabela da direita?
02. Construa uma distribuição sem intervalo de classe com os dados acima.
03. Construa uma distribuição de frequência sem intervalo de classe.
	1
	1
	2
	2
	2
	3
	3
	3
	4
	4
	4
	5
	5
	6
	6
	7
	7
	7
	7
	7
	8
	8
	8
	8
	9
	10
	10
	11
	12
	12
	12
	13
	14
	14
	15
	17
VI - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE:
Para uma melhor visualização e economia de espaço, agrupam-se os valores em intervalos de classe.
Exemplo 1: usando os dados 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60, temos:
	Classes
	Frequência
	41 | ----- 45
	7
	45 | ----- 49
	3
	49 | ----- 53
	4
	53 | ----- 57
	1
	57 | ----- 61
TOTAL
	5
20
 
 Vamos agora aprender por que a distribuição:
a) começou com 45;
b) tem cinco classes ou cinco intervalos ou cinco intervalos de classes.
 E outras também.
VII - ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE
 
7.1. CLASSE ( i ): são cada intervalo de variação da variável
 
 O número total de classes é simbolizado por k. 
Exemplo 1: na tabela anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i = 3.
	Número da classe
	Nome da variável
	Frequência
	1ª classe
	41 | ----- 45
	7
	2ª classe
	45 | ----- 49
	3
	3ª classe
	49 | ----- 53
	4
	4ª classe
	53 | ----- 57
	1
	5ª classe
	57 | ----- 61
TOTAL
	5
20
EXERCÍCIO PROPOSTO
Seja a distribuição de frequência com intervalo de classe;
	i
	ALTURAS
	fi
	1
	150 |- 155
	4
	2
	 155 |- 160
	6
	3
	 160 |- 165
	10
	4
	 165 |- 170
	15
	5
	 170 |- 175
	10
	6
	180 |- 185
	5
	
	Total
	50
 Responda corretamente:
A distribuição de frequência tem quantas classes ou intervalos ou intervalos de classes?
Qual o intervalo que está 5ª classe? 
7.2. LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe (li ) e o maior número, limite superior de classe ( Li ). 
O símbolo ├ indica inclusão na classe do valor situado à sua esquerda e exclusão do valor situado à sua direita, adotaremos esta notação.
Exemplo 1: em 49 |------- 53 – valores de 40 a 53 excluindo 53, são todos valores de 49 até um último número que seja menor que 53.
O limite inferior desta classe é 49, isto é, l3 = 49 e o limite superior, 53, ou seja, L3 = 53. 
Exemplo 2:
	
 
7.3. AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Li – li. 
 Exemplo 1: na tabela anterior hi = 53 - 49 = 4. 
	
	
	
	
7.4. AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) - l(min). 
Exemplo 1: na tabela anterior AT = 61 – 41 = 20. 
7.5. AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. 
Exemplo 1: na tabela acima AA = 60 - 41 = 19. 
60
41
 , 41, 42, 42 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 
7.6. PONTO MÉDIO DE CLASSE (PM): é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais, ou seja, a soma do limite inferior com limite superior, da mesma classe, dividido por 2
 PM = 
Exemplo 1: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = 
2
51
2
 49 |--------------------------------------------------------------------------- 53
 
 PM
EXERCÍCIO PROPOSTO
Seja a distribuição de frequência com intervalo de classe;
	i
	Notas
	fi
	1
	150 |- 155
	4
	2
	 155 |- 160
	6
	3
	 160 |- 165
	10
	4
	 165 |- 170
	15
	5
	 170 |- 175
	10
	6
	180 |- 185
	5
	
	Total
	50
 Determine o valor:
a) de l2;
b) de L4
c) da amplitude de cada intervalo de classe (h);
d) do ponto médio da 6ª classe. 
02. Seja a distribuição de frequência com intervalo de classes:
	i
	Notas
	fi
	1
	0 |- 2
	2
	2
	2 |- 4
	4
	3
	4 |- 6
	5
	4
	6 |- 8
	6
	5
	 8 |- 10
	1
	
	Total
	18
Com base na distribuição acima, complete corretamente:
a) n = 
b) k = 
c) h = 
d) f2 =
e) f4 = 
f) l3 = 
g) L5 = 
i) i3 = 
VIII - NÚMERO DE CLASSES: Não há uma fórmula exata para determinar o número de classes. Quatro soluções são apresentadas abaixo:
a) Para n 25, então K = 5; 
b) Para n 25, K = ( n = número de elementos);
c) Fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3 x log n;
d) Regra do bom senso. Decida a quantidade de classes que GARANTA observar como os valores se distribuem.
	Quantidade de dados brutos
	Mínima de classes
	Máxima de classes
	Até 50
	5
	10
	51 a 100
	8
	16
	101 a 200
	10
	20
EXERCÍCIO PROPOSTO
01. A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequência dos salários mensais em reais, de 65 empregados da companhia P & R.
	Salário – Reais.
	Empregados - fi
	
5.000 6.000
6.000 7.000
7.000 8.000
8.000 9.000
9.000 10.000
10.000 11.000
11.000 12.000
	8
10
16
14
10
5
2
	TOTAL
	65
 Determinar:
a) O limite inferior da 6ª classe;
b) O limite superior da 4ª classe;
c) O ponto médio da 3ª classe;
d) A amplitude do 5º intervalo de classe;
IX - PROCEDIMENTO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE.
Exemplo 1: Os pesos em Kg de uma amostra de 25 alunos foram. Construa uma distribuição de frequência com intervalo de classe.
	95
	40
	80
	45
	58
	59
	50
	50
	64
	47
	49
	50
	50
	55
	58
	59
	80
	60
	55
	65
	80
	60
	43
	85
	35
1º passo: organize os dados brutos em um ROL;
	35
	40
	43
	45
	47
	49
	50
	50
	50
	50
	55
	55
	58
	58
	59
	59
	60
	60
	64
	65
	80
	80
	80
	85
	95
2º passo: determinação da quantidade de classes.
 k = 5, usando a regra do bom senso
3º passo: cálculo da amplitude de cada intervalo: 
AA = 95 – 35 = 60h = = = 12
4º passo: escolha dos limites de classe 
Limites de intervalo de classes: são os extremos de cada classe.
a) limite inferior da classe (l1): é o menor número do intervalo de classe.
b) limite superior de classe (L1): é o maior número do intervalo de classe.
 
 Geralmente, o limite inferior da primeira classe é o menor valor da distribuição, podendo ser um número menor ainda do que o menor da distribuição.
 Logo, l1 = 35 e L1 = 35 + 12 = 47
5º passo: enquadramento dos dados nessas classes
	Classes
	Frequência
	Observações
	35 | ----- 47
	4
	35 – 40 – 43 – 45
	47 | ----- 59
	10
	47 – 49 – 50 – 50 – 50 -50 – 55 – 55 – 58 - 58
	59 | ----- 71
	6
	59 – 59 – 60 – 60 – 64 – 65
	71 | ----- 83
	3
	80 – 80 - 80
	83 | ----- 95
95 | ----- 107
	1
1
	85
95
	Classes
	Frequência
	35 | ----- 47
	4
	47 | ----- 59
	10
	59 | ----- 71
	6
	71 | ----- 83
	3
	83 | ----- 95
95 | ----- 107
TOTAL
	1
1
25
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01. Sejam as alturas (em centímetros) de 25 alunos de determinada turma:
	150
	151
	152
	153
	156
	157
	158
	159
	159
	159
	160
	162
	162
	162
	163
	164
	164
	165
	166
	167
	167
	169
	170
	174
	175
a) obtenha a distribuição de frequência, tendo 150 para limite inferior da primeira classe e 5 para intervalo de classe
 As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	6
	7
	7
	8
	2
	3
	3
	4
	5
	6
	6
	7
	8
	8
	2
	3
	4
	4
	5
	6
	6
	7
	8
	9
	2
	3
	4
	5
	5
	6
	6
	7
	8
	9
	2
	3
	4
	5
	5
	6
	7
	7
	8
	9
Complete a distribuição de frequência abaixo:
	i
	Notas
	xi
	fi
	
	0 |- 2
	
	
	
	2 |- 4
	
	
	
	4 |- 6
	
	
	
	6 |- 8
	
	
	
	8 |- 10
	
	
	
	Total
	
	50
X - TIPOS DE FREQUÊNCIAS
10.1. FREQUÊNCIA SIMPLES ( fi ): é o número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores da variável.
 = n
10.2. FREQUEÊNCIA SIMPLES RELATIVA ( fr ): é a divisão da frequência simples deste elemento pelo número total de elementos da série..
 É um valor importante para comparações.
 fr = = 
Exemplo 1: Considere a distribuição de frequência:
	
	xi
	fi
	2
3
4
6
7
	3
7
8
6
1
	 Total
	25
 
 
A soma de fr1 + fr2 + fr3 + fr4 + fr5 = 1, como podemos observar: 0,12 + 0,28 + 0,32 + 0,24 + 0,04 = 1,00.
10.3. FREQUÊNCIA ACUMULADA (Fi): é a soma da frequência simples deste elemento com as frequências simples dos elementos que o antecedem
 F1 = f1
 F2 = f1 + f2
 F3 = f1 + f2 + f3
 .
 .
 .
 Fn = f1 + f2 + f3 + ... + fn
Exemplo 1: Considere a distribuição de frequência:
	
	
	xi
	fi
	F
	2
3
4
6
7
	3
7
8
6
1
	
3
3 + 7 = 10
3 + 7 + 8 = 18
3 + 7 + 8 + 6 = 24
3 + 7 + 8 + 6 + 1 = 25
	Total
	25
	
 
10.4. FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA (FRI): é a divisão da frequência acumulada deste elemento, pelo total de elementos da série.
 Fr = = 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
01. Consideres os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
	6
	5
	2
	6
	4
	3
	6
	2
	6
	5
	1
	6
	3
	3
	5
	1
	3
	6
	3
	4
	5
	4
	3
	1
	3
	5
	4
	4
	2
	6
	2
	2
	5
	2
	5
	1
	3
	6
	5
	1
	5
	6
	2
	4
	6
	1
	5
	2
	4
	3
 Complete as tabelas corretamente:
a)
	i
	Resultados
	fi
	fri
	Fi
	Fri
	1
	1
	
	
	
	
	2
	2
	
	
	
	
	3
	3
	
	
	
	
	4
	4
	
	
	
	
	5
	5
	
	
	
	
	6
	6
	
	
	
	
	
	Total
	50
	100
	
	
b)
	i
	Horas de estudo por semana
	xi
	fi
	fri
	Fi
	Fri
	1
	0 |- 5
	
	5
	
	
	
	2
	5 |- 10
	
	96
	
	
	
	3
	10 |- 15
	
	57
	
	
	
	4
	15 |- 20
	
	25
	
	
	
	5
	20 |- 25
	
	11
	
	
	
	6
	25 |- 30
	
	6
	
	
	
	
	Total
	
	
	1,00
	
	
02. Sejam as alturas (em centímetros) de 25 alunos de determinada classe:
	150
	151
	152
	153
	156
	157
	158
	159
	159
	159
	160
	162
	162
	162
	163
	164
	164
	165
	166
	167
	167
	169
	170
	174
	175
Obtenha a distribuição de frequência, tendo 150 para limite inferior da primeira classe e 5 para o intervalo de classe.
03. O quadro seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe.
	148
	150
	152
	154
	156
	157
	157
	157
	158
	158
	158
	159
	160
	162
	162
	163
	163
	163
	164
	164
	164
	165
	165
	165
	165
	166
	166
	166
	168
	169
	169
	170
	170
	170
	171
	172
	172
	175
	176
	178
a) Calcular a amplitude total.
b) Admitindo-se 6 classes, qual a amplitude do intervalo de classe?
c) Construir uma tabela de frequência das alturas dos alunos.
d) Determinar os pontos médios das classes
CAPÍTULO IV - MEDIDAS DE POSIÇÃO – MÉDIA ARITMÉTICA
I - INTRODUÇÃO
As medidas de posição ou de tendência central são medidas estatísticas cujos valores estão próximos do centro de um conjunto de dados.
As medidas de tendência central que abordaremos neste capítulo são: média aritmética, mediana e moda.
II - MÉDIA ARITMÉTICA (). 
A medida de tendência central mais comumente usada para descrever resumidamente um conjunto de dados, tabelados ou não, é a média aritmética simples, ou simplesmente média e representa-se por .
2.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS EM INTERVALO DE CLASSE
 Vamos estudar a média aritmética de dados não agrupados ou sem intervalo de classe.
 A média aritmética de n números é soma dividida por n, ou seja, = . 
Onde: é a média aritmética. 
 é o sinal de somatório. (o que vier após este símbolo deverá ser somado). 
 xi é cada elemento do conjunto
 n é o número de elementos do conjunto.
Exemplo 1: Em um hospital foram registrados os pesos, em kg, de 10 recém-nascidos em um determinado dia:
 3,2; 3,2; 2,8; 2,1; 2,9; 3,1; 3,2; 3,0; 3,5; 4,0.
Calcular o peso médio:
 = (3,2 + 3,2 + 2,8 + 2,1 + 2,9 + 3,1 + 3,2 + 3,0 + 3,5 + 4,0)/ 10 = 31/10 = 3,1 kg
Exemplo 2: Os valores a seguir são as concentrações sangue-álcool de 14 motoristas envolvidos em acidentes fatais e condenados a prisão. Determine a média.
 0,27; 0,17; 0,17; 0,16; 0,13; 0,24; 0,29; 0,24; 0,14; 0,16; 0,12; 0,16; 0,21; 0,17
Exemplo 3: Sejam as notas da Daniele: 
 
	1ª
	2ª
	3ª
	4ª
	5ª
	6ª
	7ª
	8ª
	6,0
	8,0
	6,0
	7,0
	8,0
	8,0
	6,0
	6,0
 = 
Ou
 = 
 
Exemplo 4: Num concurso envolvia as provas de Português, Matemática, Contabilidade e Informática. Português e Contabilidade tinham 2; Matemática e Informática tinham peso 1. Um candidato obteve as notas abaixo:
	Disciplinas
	Notas
	Peso
	Português
	6,0
	3
	Matemática
	7,0
	2
	Informática
	4,0
	3
	Contabilidade
	5,0
	2
 
 = 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Na casa da Kely Daniela, apresenta o consumo mensal de água durante 6 meses.
	Meses
	Consumo (m3)
	Janeiro
	12
	Fevereiro
	13,8
	Março
	12,5
	Abril
	13
	Maio
	11,6
	Junho
	10,3
Pergunta-se, qual a média do consumo da casa da Kely Daniela?
02. Se Layana obteve notas iguais a 79 e 88 nos dois primeiros testes de certa matéria, que nota ela deve obter no terceiro teste para ficar com média igual a 85?
	Bioestatística
	1ª prova
	6,5
	2ª prova
	7,8
	3ª prova
	8,0
	4ª prova
	7,1
03. Renata deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas valem 2 pontos e asoutras duas valem 3 pontos:
	Biologia
	1ª prova
	7,5
	2ª prova
	6,9
	3ª prova
	7,0
	4ª prova
	8,2
(ENEM)
Quais as duas empresas que o investidor deve escolher?
(ENEM)
Qual a menor nota que candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição?
2.2. MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSES
 Neste caso, consideramos todos os valores de um determinado intervalo como coincidentes com o ponto médio do intervalo. 
Exemplo 1: Seja a distribuição de frequência:
	Classes
	Frequência - fi
	
0 10
10 20
20 30
30 40
40 50
	2
3
8
6
1
	TOTAL
	20
Solução: 
1º passo: determinar o ponto médio (a metade da soma do limite inferior e superior da mesma classe. Por exemplo:
	Classes
	Frequência - fi
	Ponto Médio - 
	
0 10
10 20
20 30
30 40
40 50
	2
3
8
6
1
	
	TOTAL
	20
	
2º passo: multiplicar cada ponto médio pela frequência simples;
	Classes
	fi
	
	
Produto = - .f1
	
0 10
10 20
20 30
30 40
40 50
	2
3
8
6
1
	5
15
25
35
45
	2 x 5 = 10
3 x 15 = 45
8 x 25 = 200
6 x 35 = 210
1 x 45 = 45
	TOTAL
	20
	
	10+ 45 + 200 + 210 + 45 =510
3º passo: somar os produtos;
4º passo: encontrar a média (dividir a soma dos produtos pela soma das frequências simples
 = = 25,5cm
Exemplo 2:
	Estaturas - ( cm )
	Frequência (fi)
	
120 129
129 138
138 147
147 156
156 165
	6
12
16
13
7
	TOTAL
	54
Solução: 
	Estaturas - ( cm )
	(fi)
	
	
 .fi
	
120 129
129 138
138 147
147 156
156 165
	6
12
16
13
7
	124,5
133,5
142,5
151,5
160,5
	6 x 124,5 = 747,0
12 x 133,5 = 1602,0
16 x 142,5 = 2280,0
13 x 151,5 = 1969,5
7 x 160,6 = 1123,5
	TOTAL
	54
	
	7722,0
 
 = = 143 cm.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(ENEM)
Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo no próximo semestre?
02. Samara obtém 7,8 no primeiro teste, 8,3 no segundo e 8,8 teste final. O professor considera que o segundo teste duas vezes mais importante do que o primeiro, e o teste final três vezes mais importante do o segundo. Qual é a nota média ponderada da Samara nos três testes?
03. (ENEM)
Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação?
04. Calcule a média aritmética.
a)
	Classes
	(fi)
	
0 2
2 4
4 6
6 8
8 10
	2
5
15
12
6
	TOTAL
	40
 
b) 
	i
	Salário Mensal - R$
	fi
	1
	450 |- 550
	8
	2
	550 |- 650
	10
	3
	650 |- 750
	11
	4
	750 |- 850
	16
	5
	850 |- 950
	13
	6
	 950 |- 1050
	5
	7
	1050 |- 1150
	2
	
	Total
	65
 
05 A média para passar em um concurso é 6,5. Sabendo que nas três primeiras provas o candidato totalizou 18 pontos, qual a nota mínima deverá obter na quarta prova para passar no concurso.
 
06. A média para passar em um concurso é 6. Sabendo que nas três primeiras provas o candidato totalizou 17 pontos, qual a nota mínima deverá obter na quarta prova, tendo em vista que a primeira prova foi anulada e que ele tinha obtido notar 8.
iii - Propriedades da média aritmética.
3.1. Propriedade da soma e subtração.
EXEMPLO 1: Considere o seguinte conjunto: 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a sua média aritmética.
 = = = 3
 E agora, se somarmos cada elemento a constante 10, por exemplo. 
 Teremos 1 + 10 = 11; 2 + 10 = 12; 3 + 10 = 13; 4 + 10 = 1; 5 + 10 = 15. 
 Qual é a média aritmética deste novo conjunto?
 = = = 13. Ou seja, a nova média (13) é igual a anterior ( 3 ) mais a constante ( 10).
 Somando-se ou subtraindo-se todos os elementos do conjunto a uma constante, a MÉDIA do novo conjunto será igual do conjunto anterior também somada ou subtraída àquela mesma constante.
Exemplo 2: Qual a média dos seguintes valores: 51,52,53,54,55?
Solução: Como cada valor acima foi somado pela constante 50, logo a média será igual a 3 + 50 = 53, ou seja, a média anterior mais a constante.
Resumindo: Nova média = média anterior + constante
 Nova média = média anterior – constante.
EXERCÍCIOS:
01. Sabendo que a média de 1, 2, 3, 4, 5 é 3.
a) Determine a média de 911, 912, 913, 914 e 915.
b) Determine a média de 4, 5, 6, 7 e 8.
c) Determine a média de 101, 102, 103, 104 e 105.
02. Sabendo que a média dos números abaixo é 14,2
	3
	5
	8
	10
	12
	15
	18
	19
	19
	20
	4
	6
	8
	9
	7
	15
	12
	20
	22
	25
	9
	15
	17
	16
	3
	14
	12
	25
	28
	30
 
Calcule a média de:
a)
	35
	37
	40
	42
	44
	47
	50
	51
	51
	52
	36
	38
	40
	41
	39
	47
	44
	52
	54
	57
	41
	47
	49
	48
	35
	46
	44
	57
	60
	62
b)
	0
	2
	5
	7
	9
	12
	15
	16
	16
	17
	1
	3
	5
	6
	4
	12
	9
	17
	19
	22
	6
	12
	14
	13
	0
	11
	9
	22
	25
	27
2.1.2. Propriedade do produto e divisão
Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original será multiplicado pela constante 10. Passaremos a ter: 10, 20, 30, 40, 50. 
 = = = 30. Ou seja, a nova média (30) é igual a anterior (3 ) vezes a constante ( 10).
Multiplicando-se ou dividindo-se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova média será igual a média anterior também multiplicada ou dividida pela mesma constante.
Resumindo: Nova média = média anterior x constante
 Nova média = média anterior ÷ constante.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Sabendo que a média de 1, 2, 3, 4, 5 é 3.
a) Determine a média de 1000, 2000, 3000, 4000 e 5000.
b) Determine a média 2, 4, 6, 8, 10.
c) Determine a média 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5.
02. Sabendo que a média dos números abaixo é 32.
	12
	30
	36
	48
	18
	36
	42
	48
	66
	12
	12
	18
	24
	30
	30
	36
	18
	24
	24
	18
	60
	54
	42
	48
	24
	18
	24
	36
	36
	36
Calcule a média de
a)
	60
	150
	180
	240
	90
	180
	210
	240
	330
	60
	60
	90
	120
	150
	150
	180
	90
	120
	120
	90
	300
	270
	210
	240
	120
	90
	120
	180
	180
	180
b)
	2
	5
	6
	8
	3
	6
	7
	8
	11
	2
	2
	3
	4
	5
	5
	6
	3
	4
	4
	3
	10
	9
	7
	8
	4
	3
	4
	6
	6
	6
CAPÍTULO V MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
i - Mediana (Md): é um valor que separa o rol em duas partes deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos que a sua direita. Portanto, a mediana é um valor que ocupa a posição central em uma série.
ii - Cálculo da mediana
2.1. Mediana para dados não agrupados.
Inicialmente devemos ordenar os elementos caso dados brutos, obtendo o Rol.
Em seguida, determinamos o número n de elementos do Rol. Assim, se o número de elementos do conjunto for:
a) ímpar, a mediana será o elemento de posição central, que será encontrado da seguinte maneira: ;
Exemplo 1: A = { 2, 20, 12, 23, 20, 8, 12}
Solução: Primeiro, ordenamos os valores A = { 2, 8, 12, 12, 20, 20, 23}
 O número de elementos é n = 7 (ímpar), a posição do termo central é = 4º.
 A mediana é o quarto elemento do Rol Md = 12.
O valor 12 deixa à sua esquerda e à sua direita o mesmo número de elementos, sendo, portanto, o elemento central da série. 
	1º
	2º
	3º
	4º
	5º
	6º
	7º
	2
	8
	12
	12
	20
	20
	23
b) par, neste caso, o rol admite dos termos centrais que ocupam as posições e + 1. A mediana é a média dos valores que ocupam estas posições centrais.
Exemplo 2: B = {7, 21, 13, 15, 10,8, 9, 13}.
Solução: Ordenando estes elementos obtemos o rol B = {7, 8, 9, 10, 13, 13, 15, 21}
 O número de elementos é n = 8 ( par).
 As posições dos termos centrais são: ()º = 4º e (+ 1)º = 5º.
O elemento que ocupa a quarta na posição na série é 10 e o elemento que ocupa a quinta posição é 13. Portanto,
Md = = = 11,5
	1º
	2º
	3º
	4º
	5º
	6º
	7º
	8º
	7
	8
	9
	10
	13
	13
	15
	21
Média aritmética dos dois valores
EXERCÍCIO
01. Determine a posição da mediana para:
a) n = 25
b) n = 32
02. Em 15 dias, um restaurante serve almoço para: 40; 52; 55; 38; 40; 48; 56; 56; 60; 37; 58; 63; 46; 50 e 61. Qual a mediana dos valores?
03. (ENEM)
Qual o candidato que ser aprovado?
04. (ENEM)
Qual a mediana dos tempos dos atletas na olimpíada?
05. (ENEM)
Qual o valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nesta cidade?
(ENEM)
De acordo com esses dados, qual o valor da mediana nas cotações mensais do ovo extra branco neste período?
2.2. Dados agrupados em distribuição de frequência em valores simples.
Neste caso, encontraremos a mediana seguindo os passos descritos a seguir:
1º passo: determinar a frequência acumulada;
2º passo: determinar o elemento de posição central se for ímpar, ou os elementos de posições centrais, se for par.
3º passo: a mediana será o valor da distribuição de frequência que corresponde a posição central ou a média aritmética dos elementos de posições centrais.
Exemplo 1: Distribuição de número de funcionário de acordo com o salário
	Salários (R$)
	Frequência
	1000
	15
	1200
	12
	1500
	10
	1800
	8
	2000
	6
 
 
 Resolução:
1º passo: determinar a frequência acumulada
	Salários
	Frequência
	Frequência acumulada
	1000
	15
	15
	1200
	12
	27
	1500
	10
	37
	1800
	8
	45
	2000
	6
	51
2º passo: determinar o elemento de posição central, pois n = 51, logo o elemento de posição central: = = 26º.
3º passo: a mediana será o salário que está na 26ª posição, logo, a mediana é 1200. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Calcule o valor da mediana.
a) 11, 15, 16, 18, 22, 23, 26, 28, 33, 33, 37.
b) 19, 24, 26, 29, 29, 29, 33, 37, 38, 39, 39, 39, 41, 45, 49, 50.
02. Calcule a mediana das seguintes distribuições:
a)
	i
	 Idade ( anos) – (xi)
	fi
	1
	17
	3
	2
	18
	18
	3
	19
	17
	4
	20
	8
	5
	21
	4
	
	Total
	
	i
	Disciplinas em dependência – x1
	fi
	1
	0
	20
	2
	1
	15
	3
	2
	12
	4
	3
	6
	5
	4
	4
	6
	5
	2
	
	Total
	
b)
CAPÍTULO VI – MEDIDAS DE POSIÇÃO – MODA 
I - MODA (Mo): é aquele elemento que mais vezes aparece no conjunto, ou seja, é o valor mais elemento frequente da distribuição.
1.1. Dados não agrupados.
Exemplo 1: Conjunto de números de doações de sangues efetuadas de ano de 2000 a 2010: 
A = {1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7,7,7,7,7, 8, 8, 9,9,9,10}. 
A moda deste conjunto é 7, Mo = 7 ⇒ distribuição unimodal.
Interpretação: o número de doações de sangue com maior frequência é 7.
Exemplo 2: Conjunto dos números de funcionários nas principais farmácias de uma cidade: 
B = {3,3,3,5,6,6,8,8,8,9}
A moda deste conjunto é 3 e 8, Mo = 3 e Mo = 8 ⇒ distribuição bimodal.
Interpretação: o número de funcionários nas principais farmácias com maior frequência é 3 e 8.
Exemplo 3: Conjunto do tempo de serviço de seis empregados; C = { 4,4, 7, 8,8, 11, 15, 15}
A moda deste conjunto é 4, 8 e 15, Mo = 3, Mo = 8 e Mo = 15 ⇒ distribuição trimodal.
Interpretação: existem três tempos de serviço com maior frequência.
Exemplo 4: Conjunto de horas trabalhadas numa empresa por diarista. D = {5, 6, 7, 8}
Não há moda neste conjunto ⇒ distribuição amodal
1.2. Dados agrupados em distribuição de frequência em valores simples.
 
 Para esta distribuição, encontramos a moda pela simples observação do elemento que apresenta maior frequência.
 
Exemplo 1: Considere o tempo (em semanas) de sobrevida de ratos com câncer induzido experimentalmente, dado na tabela a seguir.
	Sobrevidas (semanas)
	3
	5
	6
	7
	8
	9
	30
	Números de ratos
	1
	3
	10
	5
	4
	1
	1
Portanto, se a maior frequência é f3 = 10, logo Mo = 10.
Interpretação: O número de tempo de sobrevida de ratos com câncer com maior frequência é 10.
Exemplo 2: Número de pessoas com o respectivo tipo de sangue.
Portanto, se a maior frequência é f1 = 547, logo Mo = 547.
Interpretação: O número de pessoas com maior frequência é 547.
EXERCÍCIO PROPOSTO
01. Calcule a moda das seguintes distribuições:
a)
	i
	 Idade ( anos) - (xi)
	fi
	1
	17
	3
	2
	18
	18
	3
	19
	17
	4
	20
	8
	5
	21
	4
	
	Total
	
02. (ENEM)
 
03. (PETROBRAS). O rendimento, em óleo, de algumas espécies de oleaginosas com potencial para a produção de biodiesel, é apresentado na tabela abaixo.
 A moda e a mediana do conjunto de dados dessa tabela são, respectivamente, 
a) 0,80 e 0,85 b) 0,80 e 0,90 c) 0,80 e 0,93 d) 0,85 e 0,90 e) 0,85 e 0,93
04. Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o numero obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências. A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente:
a) 3, 2 e 1 
b) 3, 3 e 1 
c) 3, 4 e 2 
d) 5, 4 e 2 
e) 6, 2 e 4
CAPÍTULO VII - MEDIDAS DE DISPERSÃO 
I - Introdução
 
Visam descrever os dados no sentido de informar o grau de dispersão ou afastamento dos valores observados em torno de um valor central representativo chamado média. Informa se um conjunto de dados é homogêneo (pouca variabilidade) ou heterogêneo (muita variabilidade).
As medidas que estudaremos são: variância e desvio padrão.
Para estudarmos as medidas de variabilidade para dados não tabelados usaremos um exemplo prático. Supomos que uma empresa esteja querendo contratar um funcionário, e no final da concorrência sobraram dois candidatos para uma única vaga. 
 Então foi dado 4 tarefas para cada um, onde as mesmas tiveram como registro o tempo (em minutos) de execução.
 = = 
Os dois operários tiveram a média de tempo na execução do serviço, porém o Operário 1 teve uma regularidade no tempo de execução mais que o Operário 2.
II - Desvio (dispersão) em relação à média: é a diferença entre cada valor e a média. 
exemplo 1:
 Operário 1
	Tempo
	Média
	Desvio
	55
	50
	55 – 50 = 5
	45
	50
	 45 – 50 = - 5
	52
	50
	52 – 50 = 2
	48
	50
	 48 – 50 = - 2
 
 A soma dos desvios: 5 + ( -5) + 2 + (-2) = 0.
 
 Operário 2
	Tempo
	Média
	Desvio
	30
	50
	30 – 50 = 20
	70
	50
	 70 – 50 = - 20
	40
	50
	40 – 50 = -10
	60
	50
	 60 – 50 = 10
 
 A soma dos desvios: 20 + ( -20) + ( -10) + 10 = 0.
Exercício PROPOSTO
01. Calcule os desvios e as suas somas de: 
a) 4, 5, 8, 5; 
b) 9, 7, 11,10, 13, 7; 
 A soma dos desvios em relação à média aritmética é sempre igual a: ______________________.
III - Variância ( δ2 ) - a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de ocorrências menos um. 
 Exemplo 1: Calcule a variância dos números 55, 45, 52, e 48.
	Valores
	Média
	Desvio
	Quadrado dos desvios
	55
	50
	5
	5 x 5 = 25
	45
	50
	- 5
	(-5 ) x (-5) = 25
	52
	50
	- 2
	( -2 ) x ( -2 ) = 4
	48
	50
	2
	2 x 2 = 4
	Soma dos quadrados dos desvios
	25 + 25 + 4 + 4 = 58Logo: 
	
δ2= 
Calcule a variância dos números 30, 70, 40, e 60.
	Valores
	Média
	Desvio
	Quadrado dos desvios
	30
	50
	- 20
	( - 20) x ( - 20) = 400
	70
	50
	20
	20 x 20 = 400
	40
	50
	- 10
	( - 10 ) x ( - 10 ) = 100
	60
	50
	10
	10 x 10 = 100
	Soma dos quadrados dos desvios
	400 + 400 + 100 + 100 = 1.000
Logo: 
	
δ2= 
Exercício PROPOSTO
01 Calcule a variância dos seguintes números:
a) 4, 5, 8, 5; 
b) 9, 7, 11,10, 13, 7; 
IV - Desvio Padrão (δ) – é a raiz quadrada da variância.
 
Exemplo 1: Calcule o desvio padrão de 55, 45, 52 e 48
	
Exemplo 2: Calcule o desvio padrão de 30, 70, 40 e 60
	
ExercícioS PROPOSTOS
03. Calcule o desvio padrão de:
a) 4, 5, 8, 5; 
b) 9, 7, 11,10, 13, 7; 
	Idade(anos
	Nº de alunos
	17
	3
	18
	18
	19
	17
	20
	8
	21
	4
c) 
	Nº de acidentes por dia
	Nº de dias
	0
	30
	1
	5
	2
	3
	3
	1
	4
	1
d) 
f)
	CLASSES
	FREQUÊNCIA (fi)
	
2 6
6 10
10 14
14 18
18 22
	5
12
21
15
7
V - Propriedades da soma, subtração, produto e divisão.
	
	... Somarmos a uma constante
	... Subtrairmos de uma constante
	... Multiplicarmos por uma constante
	... Dividirmos por uma constante
	A nova Variância
	Inalterada
	inalterada
	Multiplicada pelo quadrado desta constante
	Dividida pelo quadrado desta constante
	O novo Desvio Padrão
	Inalterada
	inalterada
	Multiplicada pelo módulo desta constante
	Dividida pelo módulo desta constante
ExercícioS PROPOSTOS
01. Sabendo que a variância e o desvio padrão dos seguintes números: 5, 12, 4, 20, 13 e 17 são respectivamente 33,81 e 5,81. Calcule a variância e o desvio padrão de:
a) 12, 19, 11, 27, 20 e 24; 
b) 1, 8, 0, 16, 9 e 13; 
c) 45, 108, 36, 180, 117 e 153,
02. Considere as notas de três alunos em Matemática nos quatro bimestres de um mesmo ano. O professor de Matemática escolherá um deles para representar a turma numa competição de Matemática, o que tiver a melhor regularidade. Qual deles será escolhido?     
	 
	1º Bim
	2º Bim
	3º Bim
	4º Bim
	 Média
	Aluno A
Aluno B
Aluno C
	9,5
8,5
10,0
	8,5
10,0
7,5
	9,0
10,0
9,5
	9,5
8,0
9,5
	....
....
....
03 Considere as idades dos alunos de 3 grupos A, B e C:
	Grupo A
Grupo B
Grupo C
	15 anos
18 anos
16 anos
	15 anos
14 anos
15 anos
	15 anos
13 anos
13 anos
	15 anos
13 anos
16 anos
	15 anos
17 anos
15 anos
  a) calcule o desvio padrão de cada grupo
VI - DISPERSÃO RELATIVA OU COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) – é a porcentagem do desvio em relação à media.
 CV = 
Exemplo 1: Calcule o coeficiente de variação de 55, 45, 52 e 48.
 CV = ,ou seja, 7,6%
Exemplo 2: Calcule o coeficiente de variação de 30, 70, 40 e 60.
 CV = ,ou seja, 31,62%
 Os valores 55, 45, 52 e 48 são mais estáveis que 30, 70, 40 e 60.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01 Sejam as séries: 
A : 5, 6, 8, 11 e 15, µ = 9 e δ = 3,63; B: 18, 22, 21, 24 e 30, µ = 23 e δ = 4.
a) calcule a dispersão relativa ou coeficiente de variação (CV), de cada série
02. Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média aritmética e para desvio padrão, respectivamente, 18,3 e 1,47, calcule o coeficiente de variação. 
03. Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão? 
04. Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos X = 162,2 cm e s = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso? 
05. Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo?
06. Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão desse grupo? 
07. Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: desvio padrão = 1,5 e CV = 2,9%. Determine a média da distribuição.