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Apostila - Equações Diferenciais Ordinárias

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uma func¸a˜o diferencia´vel da varia´vel t, enta˜o
LI ′′(t) +RI ′(t) +
1
C
I(t) = E ′(t)
Existem alguns casos particulares, sendo alguns teo´ricos, mas com
algum fundamento matema´tico.
1. Circuito RC: Conte´m um resistor de resisteˆncia R, um capaci-
tor de capacitaˆncia C, uma fonte de alimentac¸a˜o com voltagem
E constante e intensidade da corrente ele´trica I = I(t).
Figura 4: Circuito ele´trico RC com capacitor descarregado
A diferenc¸a de potencial nos terminais do resistor e´ VR = R I(t)
e a diferenc¸a de potencial nos terminais do capacitor e´ dada por
VC(t) =
1
C
∫ t
0
I(u)du
Pela lei de Kirchhoff das tenso˜es, segue que
VR(t) + VC(t) = E
e a EDOL homogeˆnea que rege o fenoˆmeno e´
R I(t) +
1
C
∫ t
0
I(u)du = E
Derivando esta equac¸a˜o em relac¸a˜o a` varia´vel t, obtemos
R I ′(t) +
1
C
I(t) = 0
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias - Prof. Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2013
5.4 Circuitos Ele´tricos RLC 47
que pode ser escrita como:
RC I ′(t) + I(t) = 0
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´
I(t) = K exp[−t/(RC)] = I(0) exp[−t/(RC)]
Se o capacitor estava descarregado no instante t = 0 e continua
descarregado em um a´timo apo´s t = 0, enta˜o Q(0) = 0, assim
VC(0) =
1
C
∫ 0
0
I(u)du = 0
logo VR(0) + VC(0) = E, o que garante que R I(0) = E, e subs-
tituindo I(0) na soluc¸a˜o da equac¸a˜o, obtemos
I(t) =
E
R
exp[−t/(RC)]
Aplicando esta func¸a˜o, podemos obter
VC(t) =
1
C
∫ t
0
I(u)du =
1
C
∫ t
0
E
R
exp[−u/(RC)]du
Figura 5: Diferenc¸a de potencial nos terminais do capacitor
A diferenc¸a de potencial VC ao longo do tempo t, e´ dada por:
VC(t) = E
[
1− exp( −t
RC
)
]
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5.4 Circuitos Ele´tricos RLC 48
2. Circuito RL: Com um resistor de resisteˆncia R, um indutor de
indutaˆncia L e uma fonte de alimentac¸a˜o constante E.
Como VR(t) = R I(t) e VL(t) = L
dI
dt
, usando a lei de Kirchhoff
das tenso˜es ao circuito
Figura 6: Circuito ele´trico RL
obtemos
LI ′(t) +RI(t) = E
que e´ uma EDOL na˜o homogeˆnea de primeira ordem.
A soluc¸a˜o da EDOL homogeˆnea associada e´
Ih(t) = K exp(−Rt/L)
Como a parte na˜o homogeˆnea da EDO e´ constante, usamos o
me´todo dos coeficientes a determinar para obter uma soluc¸a˜o
particular Ip = Ip(t) constante, Ip′(t) ≡ 0 e RIp(t) = E garan-
tindo que
Ip(t) =
E
R
A soluc¸a˜o da EDOL e´ a soma da soluc¸a˜o da homogeˆnea associ-
ada com a soluc¸a˜o particular, logo
I(t) = K exp(−Rt/L) + E
R
Tomando I(0) = 0 segue que
0 = K +
E
R
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REFEREˆNCIAS BIBLIOGRA´FICAS 49
Substituindo o valor de K, obtemos
I(t) =
E
R
[1− exp(−Rt/L)]
Esta func¸a˜o tem a mesma forma que a func¸a˜o VC = VC(t) do
circuito RC, mas a func¸a˜o horizontal limite deve ser trac¸ada
para I = E/R.
3. Circuito RC: Com um resistor de resisteˆncia R, um capacitor
de capacitaˆncia C e a fonte de alimentac¸a˜o tem diferenc¸a de
potencial E = E(t), a EDOL que rege o fenoˆmeno e´
RI ′(t) +
1
C
I(t) = 0
4. Circuito LC: Com um indutor de indutaˆncia L, um capacitor
de capacitaˆncia C e a diferenc¸a de potencial VAB = −V (t), a
EDOL na˜o homogeˆnea que rege o fenoˆmeno e´
LQ′′(t) +
1
C
Q(t) = V (t)
Refereˆncias bibliogra´ficas
[1] Figueiredo, D. G., Equac¸o˜es Diferenciais Aplicadas, IMPA, 12o.
Colo´quio Brasileiro de Matema´tica, (1979), Rio.
[2] Kaplan, Wilfred, Ca´lculo Avanc¸ado, Edgard Blu¨cher Editora e
EDUSP, (1972), Sa˜o Paulo, Brasil.
[3] Kiseliov, A., Krasnov, M., Makarenko, G., Problemas de Ecua-
ciones Diferenciales Ordinarias, Editorial Mir, (1973), Moscu´.
[4] Quevedo, Carlos P., Circuitos Ele´tricos, LTC Editora, (1988), Rio
de Janeiro, Brasil.
[5] Reza, Fazlollah, Los Espacios Lineales en la Ingenieria, Editorial Re-
verte´, S.A., (1977), Barcelona, Espanha.
[6] Spiegel, Murray, Ana´lise de Fourier, Colec¸a˜o Schaum, McGraw-
Hill do Brasil, (1976), Sa˜o Paulo, Brasil.
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias - Prof. Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2013
I´ndice Remissivo
capacitaˆncia, 44
capacitor, 46
Circuito LC, 49
Circuito RC, 46, 49
Circuito RL, 48
Classes de diferenciabilidade, 2
compacto, 14
Crescimento Populacional, 6, 8
Decaimento Radioativo, 40
Desigualdade do valor me´dio, 14
Diferenc¸a de potencial, 43
diferenc¸a de potencial, 45
EDO
linear, 3
Lineares de 2a. ordem, 21
segunda ordem, 20
EDOL, 22
Elementos de Eletricidade, 43
Equac¸a˜o
caracterı´stica, 22
Diferencial Ordina´ria, 1
EDO de Bernoulli, 17
EDO de Riccati, 19
EDO na˜o linear, 8
equidimensional de Euler-Cauchy, 26
Homogeˆnea Associada, 22
linear homogeˆnea, 21
linear na˜o homogeˆnea, 21
Equac¸o˜es
Exatas, 11
homogeˆneas, 9
Lineares, 20
na˜o lineares, 17
Separa´veis, 5
Fator Integrante, 15
fechado, 14
fonte de alimentac¸a˜o, 46
forma diferencial, 4
forma normal, 4
forma polinomial, 1
func¸a˜o contı´nua, 14
func¸a˜o desconhecida, 1
func¸a˜o homogeˆnea, 9
func¸a˜o inco´gnita, 1
Grau, 1
indutaˆncia, 44
integra´vel, 14
Intensidade da corrente ele´trica, 44, 45
Lei de Kirchhoff das correntes, 44
Lei de Kirchhoff das tenso˜es, 44
Lei de Ohm, 44
Lei do resfriamento de Newton, 42
limitado, 14
linear, 3
linearmente independente, 23
Me´todo da Variac¸a˜o dos Paraˆmetros, 32
Me´todo de d’Alembert, 23
Me´todo dos Coeficientes a Determinar, 31
Modelo de Malthus, 6
Modelo de Verhulst-Pearl, 8
Modelo Logı´stico, 8
Modelos Matema´ticos, 6
Operadores diferenciais lineares, 2
Ordem, 1
Problema de Valor Inicial, 4
PVI, 4
Reduc¸a˜o da ordem de uma EDO, 37
resistor, 46
separa´vel, 5
soluc¸a˜o, 3
Soluc¸a˜o de uma EDO, 3
soluc¸a˜o geral, 3
soluc¸a˜o particular, 3
Teorema
Existeˆncia e Unicidade de soluc¸a˜o, 21
Fundamental do Ca´lculo, 14
valor me´dio para integrais, 14
varia´vel dependente, 1
varia´vel independente, 1
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias - Prof. Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2013
	Conceitos fundamentais em equações diferenciais
	Definição de Equação Diferencial Ordinária
	Ordem e Grau de uma Equação Diferencial
	Classes de diferenciabilidade
	Operadores diferenciais lineares
	Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n
	Solução de uma EDO
	Existência e unicidade de solução para uma EDO
	Problema de Valor Inicial (PVI)
	EDO de primeira ordem
	A forma normal e a forma diferencial de primeira ordem
	Equações Separáveis de primeira ordem
	Modelos Matemáticos e Equações Diferenciais
	Crescimento Populacional: Modelo de Malthus
	Crescimento Populacional: Modelo de Verhulst–Pearl
	Equações homogêneas de primeira ordem
	Equações Exatas de primeira ordem
	Resolução de uma EDO na forma M dx + N dy = 0
	Teorema de Existência e Unicidade de solução de um PVI
	Simplificando equações lineares de primeira ordem
	Complementos de Análise na reta
	Método do Fator Integrante
	Equações não lineares de 1a. ordem redutíveis a lineares
	A Equação de Bernoulli
	A Equação de Riccati
	EDO de segunda ordem
	EDO Lineares de segunda ordem
	Equações Lineares homogêneas de segunda ordem
	Teorema de Existência e Unicidade de solução
	EDO Lineares de 2a. ordem com coeficientes constantes
	Solução da equação Homogênea Associada
	Método de d'Alembert para obter uma outra solução
	Equação equidimensional de Euler-Cauchy
	Método dos Coeficientes a Determinar
	Método da Variação dos Parâmetros (de Lagrange)
	Redução da ordem de uma EDO
	EDOL da forma y(n) = f(x)
	EDOL que não tem o termo em y
	EDOL que não possui os termos em y e em y'
	EDOL que não possui os termos em y, y' e y''
	EDOL que não possui y,y',y'',...,y(k-1)
	Equação que não tem a variável independente x
	EDO F(y,y',...,y(n))=0, F homogênea só nas variáveis