coordenadas polares

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COORDENADAS POLARES.
Algunas veces conviene representar un 
punto P en el plano por medio de 
coordenadas polares planas (r, ), donde 
r se mide desde el origen y es el 
ángulo entre r y el eje x (ver figura).
 
 
Para establecer la relación entre coordenadas cartesianas y polares es suficiente proyectar r sobre los ejes x e 
y. De la gráfica se sigue que:
 
 
Las dos ecuaciones anteriores permiten expresar las coordenadas cartesiana en términos de las polares. 
Recíprocamente, las coordenadas polares pueden expresarse en términos de las cartesianas en la forma:
 
 
En forma vectorial podemos escribir
 
 
donde y son vectores unitarios a lo largo de x e y.
Es posible introducir una pareja de vectores unitarios y perpendiculares, en las direcciones en que se 
incrementan r y . Estos vectores se expresan en términos de y .
 
 
Obsérvese que . =0 
Recíprocamente:
 
 
Al reemplazar y en la ecuación (1) es fácil concluir que:
 
 
 
EJERCICIOS.
a) Demostrar que en coordenadas polares la velocidad está dada por:
 
 
donde, 
 y 
 
Solución.
Podemos escribir para la velocidad,
 
Pero de acuerdo con las ecuaciones (2) y (3):
 
 
Y por consiguiente, al reemplazar y en (4) se sigue que:
 
b) Demostrar que en coordenadas polares, la aceleración está dada por:
 
 
Donde, 
Solución.
 
Según la definición de aceleración
 
 
y utilizando la expresión para de la parte a) resulta que:
 
 
c) Utilizando la expresión de la aceleración, obtenida en el literal b), hallar las ecuaciones de movimiento de 
una partícula sometida a una fuerza central.
Solución.
 
Ante todo, la expresión general para una fuerza central tiene la forma: 
, donde es una función solo de la coordenada . 
Ahora bien, la ecuación (6) para la aceleración nos permite expresar la fuerza como: 
,
 
Y al igualar los coeficientes de los vectores unitarios correspondientes, encontramos que las ecuaciones de 
movimiento se pueden expresar como,
 
d) Demostrar que si una partícula se mueve en un campo de fuerza central su momento angular se 
conserva y su trayectoria es una curva plana. 
Solución.
El principio de conservación del momento angular orbital se deduce del hecho de que la fuerza central no 
ejerce torque sobre la partícula. 
En efecto, de las ecuaciones,
 
 
Se sigue que:
 
 
y puesto que la conexión entre torque y momento angular es:
 
 
Se sigue que , 
Lo que indica que el momento angular de la partícula es una constante del movimiento: = constante.
 
Ahora bien, el momento angular se define como:
 
Donde es el momento lineal, en consecuencia de acuerdo al numeral d):
 
Finalmente, si formamos el producto 
escalar tendremos
 
 
y como el producto triple escalar que 
contiene dos vectores iguales es 
idénticamente nulo, se sigue que: 
=0 
Por lo cual y son perpendiculares. 
En consecuencia, puesto que la dirección 
de permanece constante, el vector 
apuntará siempre en una dirección 
contenida en un plano (ver figura). 
 
Puesto que , el vector está en el mismo plano que . Esto indica que la trayectoria de un cuerpo 
sometido a una fuerza central se realiza en el plano perpendicular a la dirección de su momento angular. 
Obsérvese además que, puesto que = constante, es cierto que es constante. La fuerza de 
gravitación, que mantiene los planetas en movimiento alrededor del sol es una fuerza central. Como 
consecuencia las órbitas planetarias son planas y el momento angular se conserva.
 
 
e) Demostrar que si una partícula se 
mueve en un campo de fuerza central con 
0 como su centro, entonces el radio 
vector dibujado desde 0 hasta la partícula 
barre áreas iguales en tiempos iguales 
(Ley de las áreas).
 
Solución. 
Supongamos que en un tiempo la partícula se mueve desde A gasta B y barre el área sombreada . 
El área es aproximadamente la de un triángulo, tal que:
 
Dividiendo por , y haciendo ,
 
Utilizando el resultado del literal d), donde se obtuvo que es constante se concluye que 
=constante 
Equivalentemente: 
Se observa así que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. 
La cantidad se denomina velocidad escalar. Esta es la prueba de la segunda ley de Kepler. Es cierto 
entonces que la segunda ley de Kepler es válida para fuerzas centrales cuyo ejemplo particular es la 
gravitación newtoniana.
f) Demostrar que la ley de las áreas puede expresarse con coordenadas polares en la forma:
 
Solución.
De la ecuación (7) y reemplazando (4):
 
y por ser y vectores unitarios y perpendiculares es cierto que 
=1, 
se obtiene, entonces: 
,
 
 
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