GEOMETRIA DESCRITIVA PASSO A PASSO

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Sistemas de Projeções
Estudo do Ponto
Estudo da Reta
Métodos Descritivos
Plano Auxiliar Primário e Projeção Pontual da Reta 
Direção de uma Reta
Inclinação de uma Reta
Pontos Colineares
Pontos Coplanares
Posição Relativa das Retas
ÍNDICE
Verdadeira Grandeza da Reta 
Tópico 02
Tópico 05
Tópico 04
Tópico 03
Tópico 01
Tópico 06
Tópico 07
Tópico 08
Tópico 09
Tópico 10
Tópico 11
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Interseção entre Planos (Visibilidade)
Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)
Interseção entre Planos
ÍNDICE
Estudo do Plano
Verdadeira Grandeza de um Plano
Inclinação de um Plano
Distância Perpendicular entre Ponto e Plano
Interseção entre Reta e Plano
Ângulo entre Reta e Plano
Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)
Posições Relativas das Retas no Espaço 
Índice Geral
Tópico 13
Tópico 15
Tópico 16
Tópico 17
Tópico 14
Tópico 12
Tópico 22
Tópico 20
Tópico 18
Tópico 19
Tópico 21
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Índice Geral
SISTEMAS DE PROJEÇÕES
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/OBLÍQUA 
SISTEMAS DE PROJEÇÕES
CENTRAL OU CÔNICA
CILÍNDRICA: ORTOGONAL 
Índice Geral
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ESTUDO DO PONTO
  Estudo do Ponto
  Estudo da Representação do Ponto
  Desenvolvimento dos Diedros
  Projeções Ortográficas nos Diedros
  Representação do Ponto
  Posicionamento de Elementos num Espaço
  Posições do Ponto em Relação aos Planos de Projeção
  Posições do Ponto
Índice Geral
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Índice 
Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
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ESTUDO DO PONTO
O ponto é o menor elemento da Geometria e dar origem aos demais elementos Geométricos.
Apesar da sua importância não existe problemas geométricos apenas com o ponto e sim quando este estiver em conjunto com outros elementos.
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DO PONTO
O ponto em relação aos planos de projeções, pode está situado no 1o, 2o, 3o e 4o diedros, mas não é interessante a representação no 2o e 4o diedros tendo em vista a superposição de imagens após o rebatimento dos planos de projeções sobre o plano vertical.
O sistema de representação no 1o diedro é utilizado nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o diedro pelas normas ASA (American Standard Association).
Índice 
Índice Geral
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No Brasil as representações podem ser feitas pelos dois sistemas, com preferência para a projeção ortogonal no 1o diedro.
Os diedros estão formados pela interseção de dois planos, um vertical e outro horizontal, a reta interseção entre os dois planos é chamada de Linha de Terra e é comum aos quatro semi-planos:
 PVS - Plano Vertical Superior
 PVI - Plano Vertical Inferior
 PHA Plano Horizontal Anterior 
 PHP - Plano Horizontal Posterior
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTO
a'
b'
c'
Índice 
Índice Geral
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DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS
(Gaspard Monge)
1o Diedro
2o Diedro
3o Diedro
4o Diedro
Plano Horizontal Posterior
Plano Vertical Inferior
Índice 
Índice Geral
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Índice 
Índice Geral
PROJEÇÕES NOS DIEDROS
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PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 1o DIEDRO
Índice 
Índice Geral
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No 2o Diedro acontece 
superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 2o DIEDRO
Índice 
Índice Geral
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PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 3o DIEDRO
Índice 
Índice Geral
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No 4o Diedro acontece 
superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 4o DIEDRO
Índice 
Índice Geral
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REPRESENTAÇÃO DO PONTO
Índice 
Índice Geral
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Para posicionar os elementos num espaço tridimensional determina-se um ponto “O” chamado ponto de referência que é o ponto comum aos três planos principais de projeção.
A partir do ponto “O” de origem para localizar os elementos usa-se o sistema de coordenadas cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z).
Sobre o eixo X marca-se a abscissa, 
Sobre o eixo Y marca-se o afastamento,
Sobre o eixo Z marca-se a cota.
Todos os valores deverão ser sempre positivos e escritos em milímetro.
POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:
Índice 
Índice Geral
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POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
Abscissa
Afastamento
Cotas
ÉPURA
A(30, 15, 20)
Afastamento
Índice 
Índice Geral
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1. Plano Vertical (A) (X e Z)
2. Plano Horizontal (B) (X e Y)
3. Plano de Perfil (C) (Y e Z)
4. Eixo X (D) (PH e PV)
5. Eixo Y (E) (PH e PP)
6. Eixo Z (F) (PV e PP)
7. Origem (G) (PV, PH e PP)
8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)
O ponto em relação aos planos de projeções, pode 
ocupar 8 (oito) pos	ições distintas:
Índice 
Índice Geral
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Quando um ponto pertence a um dos planos de projeção, é representado em Épura através de suas duas projeções e do próprio ponto.
O ponto pertencente a um dos eixos é representado por este e por mais duas projeções, se coincidir com o ponto “O” de origem a representação em Épura é o próprio ponto e suas projeções.
A representação de um ponto no espaço é feita através das três projeções, nos planos: vertical, horizontal e de perfil.
POSIÇÕES DO PONTO
Índice 
Índice Geral
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POSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃO
AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
d''
b'
f
f''
g'
g''
e
e'
2. Plano Vertical (B) (X e Z)
4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)
5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH)
6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP)
3. Plano Horizontal (C) (X e Y)
7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)
8. Origem (H) (PH, PV, PP)
1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)
h
h''
h'
ÉPURA
b
e
e'
c'
g'
g''
f
F
c
Índice 
Índice Geral
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Três ou mais pontos são Colineares se e se somente se, por estes pontos passar uma reta imaginária.
Na representação em épura dos pontos em cada plano de projeção, também ficam numa mesma linha reta.
Índice Geral
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Pontos Coplanares são três ou mais pontos por onde se pode passar um plano imaginário. Se por dois pontos se pode passar infinitos planos, por um conjunto de pontos Coplanares composto de pelo menos três pontos pode-se passar apenas um e um único plano.
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
  Estudo da Reta
  Posições Relativas das Retas
  Identificação das Retas
  Propriedades: Retas do Primeiro Grupo
  Propriedades: Retas do Segundo Grupo
  Propriedades: Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
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Índice 
Índice Geral
ESTUDO DA RETA
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ESTUDO DA RETA
A projeção de uma reta sobre um plano de projeção, é o lugar geométrico das projeções de todos os seus pontos sobre este plano. De um modo geral a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as posições dessa reta, sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de Projeção).
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS
Em relação aos planos de projeção as retas podem ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, posições estas que determinam propriedades e identidades. As retas estão divididas em três grupos distintos, devido o posicionamento destas com os planos de projeção.
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 1o Grupo: São retas perpendiculares a um dos planos principais de projeção. Neste plano principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o qual chamamos de projeção pontual da reta. 
Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas se apresentam em suas dimensões reais, que chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da reta.
Índice 
Índice Geral
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RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA VERTICAL
b''
a''
Índice 
Índice Geral
*
*
c''
d''
d'
RETA DE TOPO
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Índice 
Índice Geral
*
*
e'
f'
e
f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Índice 
Índice Geral
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RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA VERTICAL
RETA DE TOPO
RETA FRONTO-
HORIZONTAL
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 2o Grupo: São retas paralelas a um dos planos principais de projeção, neste plano principal de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.
Índice 
Índice Geral
*
*
RETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''
b'
a'
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
e''
f''
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
Índice 
Índice Geral
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RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA HORIZONTAL
RETA FRONTAL
RETA DE PERFIL
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três planos principais de projeção. 
Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira Grandeza).
Índice 
Índice Geral
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b'
a'
a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
Índice 
Índice Geral
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POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
RETAS PARALELAS
RETAS COINCIDENTES
Índice Geral
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RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular
RETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSAS
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Índice 
Índice Geral
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MÉTODOS DESCRITIVOS
  Métodos Descritivos
  Mudança de Plano de Projeção
  Método de Rotação
  Método de Rebatimento
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Para resolvermos problemas espaciais, recorremos aos métodos descritivos, que são:
1. Mudanças de Planos de Projeção
2. Rotação
3. Rebatimento
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Mudanças de Planos de Projeção: Consiste em considerar a figura fixa e determinar uma nova projeção sobre um plano auxiliar perpendicular a um plano de projeção. Este deve ser paralelo à figura no espaço.
Índice 
Índice Geral
*
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ESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rotação: Consiste em fazer girar a figura em torno de um eixo de rotação conveniente, até que ela venha ocupar uma posição desejada.
Índice 
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rebatimento: Este método conduz a traçados simples, é utilizado em muitos problemas, cujo tratamento descritivo exigirá a rigor, apenas uma mudança de plano e uma única rotação.
Índice 
Índice Geral
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VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
  Verdadeira Grandeza da Reta
  V. G. por Mudança de Plano de Projeção
  V. G. por Rotação
Índice Geral
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ESTUDO DA RETA
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
Determinar a V.G. de uma reta qualquer consiste em colocar um plano auxiliar de projeção, perpendicular a um dos planos principais de projeção e paralelo a reta. 
Índice 
Índice Geral
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VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
a'
b'
a1
b''
b
a
a1
b1
b1
b1
a1
a''
V.G.
V.G.
V.G.
Mudança de Planos de Projeção
Índice 
Índice Geral
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VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
POR ROTAÇÃO
Consiste em fazer girar a reta em torno de um eixo de rotação conveniente, até que ela venha ocupar uma posição desejada.
Quando se tratar da V.G. de uma reta qualquer sobre o PH deve-se transformar esta em uma reta Horizontal, sobre o PV em uma reta Frontal e sobre o PP em uma reta de Perfil.
Índice 
Índice Geral
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VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
POR ROTAÇÃO
a'
b'
b
a
a'
b'
b
a
a'
a
VG
a
VG
a'
Método de Rotação
Índice 
Índice Geral
*
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PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
  Projeção Pontual da Reta nos Planos Principais
  Projeção Pontual das Retas: Vertical e Horizontal – no PA1
  Projeção Pontual da Reta Qualquer – no PA2
Índice Geral
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PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
A projeção pontual de uma reta é determinada num plano de projeção perpendicular à reta no espaço. Por Exemplo: A reta de Topo tem projeção pontual no PV, a reta Vertical tem esta projeção no PH e a reta Fronto-Horizontal tem projeção pontual no PP. Para as retas Frontal, Horizontal e de Perfil fazemos uso de um Plano Auxiliar Primário (PA1) e que deve ser colocado perpendicularmente atrás ou à frente dessas retas. Em Épura isto significa colocar o eixo do plano auxiliar primário, perpendicular à projeção da reta em VG, e fazer a projeção neste plano auxiliar (PA1).
Índice 
Índice Geral
*
*
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
a
b
b'
a'
PROJEÇÃO PONTUAL
DA RETA VERTICAL - PH
PROJEÇÃO PONTUAL
DA RETA HORIZONTAL - PA1
VG
VG
b
Índice 
Índice Geral
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*
a
b
a'
b'
PLANO AUXILIAR SEGUNDÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
PROJEÇÃO PONTUAL DA RETA QUALQUER – PA2
VG
a1
b1
Índice 
Índice Geral
*
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DIREÇÃO DE RETA
  Direção de Reta
  Direção da Reta Horizontal 
  Direção das Retas do Primeiro Grupo
  Direção das Retas do Segundo Grupo
  Direção das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
*
*
DIREÇÃO DE RETA
A direção de uma reta é o ângulo formado entre o NORTE (de frente para o P.V.) e a projeção Horizontal da reta, sua determinação é feita a partir do ponto que inicia a reta (Origem da Reta). A direção é calculada através do AZIMUTE, e se faz no sentido dos ponteiros do relógio, a partir do Norte e expresso em graus. Esta conceituação é aplicável para os três Grupos de Retas. A Reta Vertical é a única que não possui direção, por se apresentar sobre o Plano Horizontal em projeção pontual. 
Índice 
Índice Geral
*
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DIREÇÃO DA RETA HORIZONTAL
b'
a''
a
a'
b''
b
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
DIREÇÃO DAS RETAS
DO PRIMEIRO GRUPO
*
*
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA VERTICAL
b''
a''
q = 0o
Índice 
Índice Geral
*
*
c''
d''
d'
RETA DE TOPO
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
qcd = 180o
qdc = 0o ou 360o
Índice 
Índice Geral
*
*
e'
f'
e
f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
qef = 90o
qfe = 270o
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
DIREÇÃO DAS RETAS
DO SEGUNDO GRUPO
*
*
RETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''
b'
a'
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
qab = 125o
qba = 305o
Índice 
Índice Geral
*
*
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
qcd = 90o
qdc = 270o
Índice 
Índice Geral
*
*
e''
f''
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
qef = 180o
qfe = 0o ou 360o
Índice 
Índice
Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
DIREÇÃO DAS RETAS
DO TERCEIRO GRUPO
*
*
b'
a'
a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
qba = 45o
qab = 225o
Índice 
Índice Geral
*
*
INCLINAÇÃO DE RETA
  Inclinação de Reta
  Inclinação de uma Reta Frontal
  Inclinação das Retas do Primeiro Grupo
  Inclinação das Retas do Segundo Grupo
  Inclinação das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
*
*
INCLINAÇÃO DE RETA
A inclinação de uma reta é o ângulo formado entre a reta e o Plano Horizontal de Projeção.
A inclinação que a reta tem em relação ao Plano Horizontal de Projeção é determinada no plano de projeção onde a reta mostra a sua V.G. e este plano deve ser perpendicular ao plano horizontal. As retas do 1o Grupo tem inclinação máxima ou mínima. Já as retas do 2o Grupo têm a inclinação mostrada em um dos dois planos, P.V. ou P.P., por serem perpendiculares ao P.H.. Para as retas do 3o Grupo é necessário colocar um plano auxiliar de projeção perpendicular ao P.H. e paralelo a reta no espaço. Portanto a inclinação será expressa em graus e medida com o transferidor.
Índice 
Índice Geral
*
*
a''
a
b'
a'
b''
b
INCLINAÇÃO DE RETA
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS 
DO PRIMEIRO GRUPO
*
*
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA VERTICAL
b''
a''
fab = 90o
Índice 
Índice Geral
*
*
c''
d''
d'
RETA DE TOPO
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
fcd = 0o
Índice 
Índice Geral
*
*
e'
f'
e
f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
fef = 0o
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS 
DO SEGUNDO GRUPO
*
*
RETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''
b'
a'
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
fab = 0o
Índice 
Índice Geral
*
*
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
fcd = 45o
Índice 
Índice Geral
*
*
e''
f''
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
VG
fef = 35o
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS 
DO TERCEIRO GRUPO
*
*
b'
a'
a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS DE PLANOS PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
Índice 
Índice Geral
*
*
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
  Retas Paralelas
  Distâncias entre Retas Paralelas
  Retas Concorrentes e Reversas
  Retas Perpendiculares
  Pertinência Ponto-Reta
  Distância Perpendicular entre Ponto e Reta
  Distância Perpendicular entre Retas Reversas
  Retas Paralelas e Coincidentes
Índice Geral
  Plano Auxiliar Secundário
*
*
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
RETAS PARALELAS
RETAS COINCIDENTES
Índice 
Índice Geral
*
*
RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular
RETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSAS
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Índice 
Índice Geral
*
*
RETAS PERPENDICULARES
Duas retas concorrentes são perpendiculares quando num plano de projeção as duas retas aparecem perpendiculares entre si e pelo menos uma delas aparece em V.G., neste plano.
Para as retas do 1o e 2o Grupos esta perpendicularidade é vista em um dos planos principais. No caso de duas retas quaisquer, a perpendicularidade deverá ser determinada onde encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas, isto poderá ser determinado no P.A.1.
Índice 
Índice Geral
*
*
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
RETAS PERPENDICULARES
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Duas retas são paralelas quando suas projeções de mesmo nome sobre pelo menos dois planos são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que necessita da projeção no plano de perfil.
 
RETAS PARALELAS
Índice 
Índice Geral
*
*
A distância entre duas retas paralelas é determinada em um plano de projeção em que se encontram as projeções pontuais das retas. Para as retas do 1o Grupo, as projeções são encontradas em um dos Planos Principais, podemos dizer que a solução é imediata. Já para as retas do 2o Grupo as projeções pontuais são encontradas num Plano Auxiliar Primário colocado perpendicularmente as retas no espaço.
Em Épura, isto significa colocar o eixo perpendicular à projeção que está em V.G. encontrando, portanto as projeções pontuais das retas. Para as retas quaisquer se faz necessário o uso de um Plano Auxiliar Secundário, colocado também, perpendicular à projeção que esteja em V.G. e encontrando as projeções pontuais, consequentemente a distância entre as retas.
 
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
Índice 
Índice Geral
*
*
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 1O GRUPO
 RETAS VERTICAIS
 RETAS DE TOPO
Índice 
Índice Geral
*
*
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 1O GRUPO 
 RETAS FRONTO-HORIZONTAIS
VG
VG
VG
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 2O GRUPO 
 RETAS HORIZONTAIS
 RETAS FRONTAIS
VG
VG
VG
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 2O GRUPO 
RETAS DE PERFIL
c''
a''
b''
d''
VG
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
PLANO AUXILIAR SECUNDÁRIO
É qualquer plano de projeção perpendicular a um plano auxiliar primário.
Para determinar a distância perpendicular entre as retas paralelas do 3o Grupo, se faz necessário determinar as V.Gs., destas num PA1. Para isto coloca-se o eixo do PA2 perpendicular as V.Gs. como se faz para as retas do 2o Grupo.
Índice 
Índice Geral
*
*
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 3O GRUPO 
 RETAS QUAISQUER
a1
c1
d1
b1
VG
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta, a projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta e a projeção de perfil do ponto sobre a projeção de perfil da reta.
PERTINÊNCIA PONTO E RETA
Índice 
Índice Geral
*
*
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
Índice 
Índice Geral
*
*
A distância perpendicular entre um ponto e uma reta do 1o Grupo, é vista em um dos planos principais de projeção. No caso da Reta de Topo a distância é vista no PV, da Reta Vertical no PH e da Reta Fronto-horizontal no PP. Daí conclui-se que a distância é medida no plano de projeção onde se encontra a projeção pontual da reta e projeção do ponto.
Para medir a distância entre um ponto e uma reta do 2o Grupo sua projeção pontual está no PA1, assim como a projeção do ponto, feita a partir de mudança de planos. É neste plano que se faz a medição. 
Já as retas do 3o Grupo, encontra-se a VG da reta no PA1 bem como a projeção do ponto, em seguida coloca-se um plano de projeção PA2 de frente para a VG da reta, ou seja perpendicular, projetando assim a projeção pontual da reta e a projeção do ponto, portanto, a medição é feita como nos demais casos.
DISTÂNCIA PERPENDICULAR PONTO E RETA
Índice 
Índice Geral
*
*
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
RETA VERTICAL
b''
a''
a
Índice 
Índice Geral
*
*
RETA HORIZONTAL
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
b''
a
b
a''
b'
a'
VG
Índice 
Índice Geral
*
*
b'
a'
a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
a1
b1
VG
q1
q''
Índice 
Índice Geral
*
*
A distância perpendicular entre retas reversas é determinada em um plano de projeção que mostra uma das retas em projeção pontual, daí traça-se uma perpendicular, da projeção pontual à projeção da outra reta, lugar onde pode ser medida a distância entre as retas
Uma vez determinado
o ponto, perpendicular a projeção, faz o alçamento deste ponto até a outra projeção da reta, daí traça-se uma perpendicular até a projeção de mesmo nome da outra reta que se encontra em V.G. e continua determinando sobre as retas, as novas projeções.
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
RETAS REVERSAS
Índice 
Índice Geral
*
*
c'
d'
c
b'
a
a'
b
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSAS
c1
d1
b1
a1
b2
a2
d
Índice 
Índice Geral
*
*
ESTUDO DO PLANO
  Estudo do Plano
  Elementos que definem um Plano
  Identificação dos Planos
  Propriedades: Planos do Primeiro Grupo
  Propriedades: Planos do Segundo Grupo
  Propriedades: Planos do Terceiro Grupo
Índice Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
*
*
Plano, também chamado de superfície, é uma extensão expressa em duas dimensões: Comprimento e Largura.
A superfície plana (Plano) é uma superfície tal que toda reta que une dois quaisquer de seus pontos, está inteiramente compreendida nesta superfície.
Sabemos que: um plano pode ser definido por três ou mais pontos não alinhados (Coplanares), por duas retas paralelas, por duas retas concorrentes ou ainda, por uma reta e um ponto não pertencente a esta.
 O plano pode ser: Ilimitado e Limitado
 O plano Ilimitado é imensurável
 O limite do plano é a linha, assim podemos 	 
 distinguir 	linhas retas e curvas.
Os planos limitados por linhas retas (lados), são
chamados de polígonos. Já os planos limitados por linhas curvas, tem denominação própria, como sejam, círculo, circunferência, elipse, etc...
ESTUDO DO PLANO
Índice 
Índice Geral
*
*
ESTUDO DO PLANO
Elementos que definem um plano:
Índice 
Índice Geral
*
*
ESTUDO DO PLANO
IDENTIFICAÇÃO DOS PLANOS
Índice 
Índice Geral
*
*
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 1o Grupo: São Planos paralelos a um dos planos principais de projeção, neste plano é mostrada a sua V.G., as projeções nos outros planos são perpendiculares e são chamadas de projeções lineares.
 Plano Horizontal paralelo ao Plano Horizontal
 Plano Frontal paralelo ao Plano Vertical
 Plano de Perfil paralelo ao Plano de Perfil
Índice 
Índice Geral
*
*
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTAL
PLANO HORIZONTAL
Índice 
Índice Geral
*
*
PLANO FRONTAL
e''
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICAL
Índice 
Índice Geral
*
*
g''
h''
i''
h'
PLANO DE PERFIL
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFIL
Índice 
Índice Geral
*
*
PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO HORIZONTAL
PLANO FRONTAL
PLANO DE PERFIL
Índice 
Índice Geral
*
*
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 2o Grupo: São Planos perpendiculares a um dos planos principais de projeção, neste plano é mostrada a sua projeção linear, as projeções nos outros planos são oblíquas e são chamadas de projeções reduzidas.
 Plano Vertical perpendicular ao Plano Horizontal
 Plano de Topo perpendicular ao Plano Vertical
 Plano de Rampa perpendicular ao Plano de Perfil
Índice 
Índice Geral
*
*
c'
a'
a
c''
a''
b''
PLANO VERTICAL
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL
c
Índice 
Índice Geral
*
*
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO DE TOPO
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL
Índice 
Índice Geral
*
*
c'
a'
b'
c
a
a''
b
PLANO DE RAMPA
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL
Índice 
Índice Geral
*
*
PLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO VERTICAL
PLANO DE TOPO
PLANO DE RAMPA
Índice 
Índice Geral
*
*
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 3o Grupo: São Planos oblíquos aos três planos principais de projeção, nestes planos não apresentam projeção em V.G. nem projeção linear e sim projeções reduzidas sobre os três planos. 
 Plano Qualquer, oblíquo aos três Planos Principais
 de projeção
Índice 
Índice Geral
*
*
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3O GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PH, PV e PP
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA
*
*
ESTUDO DO PLANO
Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos principais de projeção e perpendiculares aos planos adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se as projeções lineares deste plano.
Já, a V.G. dos planos do 2o Grupo como estão perpendiculares a um dos planos, neste, se mostra em projeção lineares e nos outros em projeção reduzidas, levando portanto a determinar sua VG no PA1, quando este é colocado paralelo a projeção linear.
O plano do 3o Grupo, se caracteriza por ser obliquo a todos os planos de projeção. Sendo assim, para determinar a sua VG, se faz necessário duas mudanças de plano, ou seja, a VG é determinada no PA2. Sendo assim, para determinar a VG, deve-se seguir os seguintes passos: 
Índice Geral
*
*
ESTUDO DO PLANO
Escolhe-se uma das projeções em que uma das arestas esteja em V.G., determina-se a projeção pontual desta aresta e projetando também os outros pontos, determinado assim, a projeção linear do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se processará igual aos planos do 2o Grupo. Se não tivermos nenhuma das arestas do plano no espaço em V.G. teremos que criar uma reta que pertença ao plano e que mostra a sua V.G. em um dos planos principais.
Escolhe-se uma projeção do plano no espaço desde que a projeção da aresta esteja paralela ao plano, daí encontra-se no plano adjacente a V.G., com este elemento procederá segundo a descrição anterior.
Índice Geral
*
*
ESTUDO DO PLANO
VERDADEIRA GRANDEZA
Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos principais de projeção e perpendiculares aos planos adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se as projeções lineares deste plano.
Já a V.G. dos planos do 2o Grupo determina-se quando se coloca um plano auxiliar paralelo a projeção linear do plano no espaço. E é notável as características do 1o Grupo com este.
Índice Geral
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VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
VG
PLANO VERTICAL
Índice Geral
*
*
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
c1
c2
b2
VG
A V.G. do plano do 3o Grupo é determinada como se segue: Escolhemos em um dos planos principais uma das projeções de uma aresta que esteja em V.G. determina-se a projeção pontual desta aresta (reta) projetando os outros pontos determinando assim a projeção linear do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se processará igual aos planos do 2o Grupo.
Índice Geral
*
*
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
a'
b'
c'
b
a
c
c2
b2
a2
c1
a1
e'
e
VG
Índice Geral
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INCLINAÇÃO DO PLANO
  Inclinação de um Plano
  Inclinação dos Planos do Primeiro Grupo
  Inclinação dos Planos do Segundo Grupo
  Inclinação dos Planos do Terceiro Grupo
Índice Geral
*
*
INCLINAÇÃO DE UM PLANO
A inclinação de um plano é o ângulo formado entre um plano no espaço e o Plano Horizontal de Projeção e é determinada em um plano de projeção perpendicular ao P.H. e que o plano em questão esteja em projeção linear.
O plano, não tem direção, por não ser um elemento retilíneo que possa ser direcionado.
Índice 
Índice Geral
*
*
INCLINAÇÃO DE UM PLANO
c1
a1
e'
e
PLANO DE TOPO
PLANO QUALQUER
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
INCLINAÇÃO DOS PLANOS 
DO PRIMEIRO GRUPO
*
*
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO HORIZONTAL
fabc = 0o
Índice 
Índice Geral
*
*
PLANO FRONTAL
e''
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO
A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
fabc = 90o
Índice 
Índice Geral
*
*
g''
h''
i''
h'
PLANO DE PERFIL
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
fab = 90o
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice 
Índice Geral
INCLINAÇÃO DOS PLANOS 
DO SEGUNDO GRUPO
*
*
c'
a'
a
c''
a''
b''
PLANO VERTICAL
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
c
fabc = 90o
Índice 
Índice Geral
*
*
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO DE TOPO
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
fabc = 48o
Índice 
Índice Geral
*
*
c'
a'
b'
c
a
a''
b
PLANO DE RAMPA
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
fabc = 48o
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice Geral
INCLINAÇÃO DOS PLANOS 
DO TERCEIRO GRUPO
*
*
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3O GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
fabc = 60o
b1
c1
a1
Índice 
Índice Geral
*
*
Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR
ENTRE PONTO E PLANO
*
*
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
PONTO E PLANO
A distância entre um ponto e um plano é obtida da seguinte maneira:
1o Coloca-se o plano em projeção linear.
2o Baixa-se uma perpendicular do ponto até a projeção linear do plano.
3o Neste plano de projeção pode ser medida a distância, visto que esta projeção está em V.G.
	
Índice Geral
*
*
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO HORIZONTAL
PLANO HORIZONTAL
Índice Geral
*
*
c'
a'
a
c''
a''
b''
c
b
PLANO VERTICAL
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO VERTICAL
Índice Geral
*
*
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUER
c
a1
b1
c1
x'
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO QUALQUER
q1
q''
x
Índice Geral
*
*
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE 
RETA E PLANO
*
*
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
A interseção de uma reta com um plano é determinada em um plano de projeção que mostra a projeção linear do plano e a projeção da reta. O ponto comum entre a projeção linear do plano e a projeção da reta, é o ponto de interseção. Para determinar esse ponto de interseção, nos outros planos de projeção faz-se o alçamento, sabendo-se que o ponto de interseção é um ponto comum da reta e do plano.
Determinada a interseção, faz-se a visibilidade entre a reta e o plano, observando o que é visível antes e após o plano.
Índice Geral
*
*
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
d
e
d1
e1
p'
p
p1
f'
f
Índice Geral
*
*
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE RETA 
E PLANO (VISIBILIDADE)
*
*
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
d
e
d1
e1
p1
f'
f
Índice Geral
*
*
Índice Geral
ÂNGULO ENTRE 
RETA E PLANO
*
*
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
O ângulo entre uma reta e um plano é determinado num plano de projeção que mostra o plano em projeção linear e a reta em V.G. Para medir o ângulo formado entre uma reta e um plano é necessário determinar a projeção linear do plano. Não estando em V.G. esta reta, coloca-se um plano de projeção auxiliar paralelo a projeção da reta, obviamente obtém-se a reta em V.G. e o plano em projeção linear.
Índice Geral
*
*
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
c1
p1
Índice Geral
*
*
Índice Geral
INTERSEÇÃO 
ENTRE PLANOS
*
*
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
A interseção entre dois planos é determinada em um plano de projeção onde um dos planos é mostrado em projeção linear. Para determinar a interseção entre os planos é necessário que se verifique as aresta do plano, que fazem interseção com a reta interseção do plano, ou seja, o plano que se encontra em projeção linear, intercepta o outro plano, definido por dois pontos, que identificamos como reta interseção entre os planos.
Índice Geral
*
*
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
f1
Índice Geral
*
*
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE 
PLANOS (VISIBILIDADE)
*
*
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
VISIBILIDADE
Índice Geral
A interseção entre dois planos é determinada em um plano de projeção onde um dos planos é mostrado em projeção linear. Para determinar a interseção entre os planos é necessário que se verifique as aresta do plano, que fazem interseção com a reta interseção do plano, ou seja, o plano que se encontra em projeção linear, intercepta o outro plano, definido por dois pontos, que identificamos como reta interseção entre os planos.
Determinada a interseção, faz-se a visibilidade entre os planos, observando o que é visível antes e após o plano que está em projeção linear.
*
*
f1
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)
Índice Geral
*
*
Índice Geral
ÂNGULO ENTRE PLANOS
(ÂNGULO DIEDRO)
*
*
O ângulo entre dois planos (Ângulo Diedro) é determinado em um plano de projeção que mostra a projeção pontual da reta interseção entre estes planos, com isso, é determinado as duas projeções lineares dos planos, onde poderá ser medido o ângulo.
ÂNGULO ENTRE PLANOS (ÂNGULO DIEDRO)
Índice Geral
*
*
f1

ÂNGULO ENTRE PLANOS 
(ÂNGULO DIEDRO)
Índice Geral