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Prova EDL 4

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA - UAMat
DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
Período: 2013-01
ALUNO(A): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reposição da Terceira Prova
01. Determine uma matriz solução fundamental para o sistema X ′ = AX , e em seguida a
matriz exponencial da matriz A, sabendo que
A =
(
4 1
6 5
)
.
02. Determine a solução do seguinte PVI (sem usar fórmulas prontas).
X ′ =
(
3 −2
5 −3
)
X , X(0) =
(
4
1
)
.
03. Uma matriz real A8×8 possui um autovalor simples r1, um autovalor repetido r2 = r3 =
r4 de multiplicidade 3, um autovalor repetido r5 = r6 de multiplicidade 2 e um par de
autovalores complexos α ± iβ . Além disto sabe-se que V 1, V 2, V 3, V 4, V 5, V 6, V 7 e
V 8 são vetores do R8 LI entre si tais que: V 1 é um autovetor de A associado à r1; V 2 é
o único autovetor de A associado à r2; V 3 é um autovetor generalizado de ordem 2 de
A associado à r2; V 4 é um autovetor generalizado de ordem 3 de A associado à r2; V 5
e V 6 são autovetores de A associados à r5; e V 7 + iV 8 é um autovetor de A associado à
α + iβ .
Determine a fórmula da solução geral (real) do sistema X ′ = AX em termos dos
autovalores e autovetores da matriz A.
04. Considere a equação diferencial y′′− y′−2y = 0.
(a) Transforme a equação num sistema de equações diferenciais de primeira ordem.
(b) Determine a solução geral do sistema obtido no item (a).
05. Determine a solução do PVI
x′1 = x2 , x1(0) = 0 ,
x′2 = 2x1 + x2 +2e−t , x2(0) = 0 .
Boa Prova!
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