Notas de aula: Reatores Não Ideais

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
DISCIPLINA: Cinética Química e Reatores Homogêneos 
PROFESSOR: Pedro Leite de Santana 
PERÍODO: 2016-1 DATA: 07-10-2016 
 
 
“Não está na natureza das coisas que um só homem faça repentinamente uma descoberta tremenda; a 
ciência avança passo a passo e todos dependem do trabalho de seus predecessores. Quando é 
anunciada uma descoberta súbita e inesperada – como um raio caído dos céus – podeis sempre ter 
certeza de que ela tomou vulto pela influência mútua que torna possível o maravilhoso avanço da ciência. 
Os cientistas não dependem da ideia de um só homem, mas da sabedoria combinada de milhares de 
homens, todos debruçados sobre um mesmo problema e cada um acrescentando um pouco de si ao 
grande edifício do conhecimento que se vai erguendo a pouco e pouco”. 
ERNEST RUTHERFORD (1871-1937) 
 
 
REATORES NÃO-IDEAIS: ASPECTOS BÁSICOS 
 
NOTAS DE AULA (Versão: Período 2015-1) 
 
 
Parte I: Tempo Espacial versus Tempo Médio de Residência 
 
As definições de “tempo espacial” e “tempo médio de residência” são utilizadas para a 
caracterização de sistemas com escoamento contínuo, como é o caso do reator tanque 
agitado contínuo e do reator tubular. 
 
Na dedução das equações de projeto para os reatores ideais contínuos que se 
estudaram (CSTR e PFR), definiu-se a variável tempo espacial,, como sendo: 
 
 
0F
V

 (1) 
 
Sendo:  ...... tempo espacial; 
 V ..... volume do sistema; 
 F0 ..... vazão volumétrica de alimentação. 
 
 2 
 
A variável , tempo espacial, aparece nos cálculos de projeto de reatores nos quais 
ocorre escoamento contínuo, e ela pode ser associada à idéia estatística de um tempo 
de permanência dos elementos de fluido dentro do sistema. Esta variável está 
diretamente associada ao desempenho dos reatores contínuos (CSTR e PFR). Para o 
caso de reatores descontínuos, a variável relevante é tb, o tempo de batelada. 
 
Reator Variável caracterizadora 
Batelada tb 
CSTR e PFR  
 
Entretanto, ainda que  seja uma variável fundamental, por aparecer nas 
equações de projeto do CSTR e do PFR, deve-se lembrar que na sua definição faz-se 
referência à vazão volumétrica de alimentação (F0). Isto torna o tempo espacial uma 
variável interessante para a descrição de sistemas que não envolvem variação de 
volume, ou seja, quando se tem uma situação de escoamento incompressível, com F = 
F0. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Variáveis que influenciam no volume de uma mistura reacional: 
P (pressão); 
T (temperatura); 
j (coeficiente de variação volumétrica, associado à variação de mols de uma dada 
espécie reagente “j”, considerando-se uma reação gasosa). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
A suposição de escoamento incompressível é uma boa aproximação nas 
seguintes situações práticas: (i) Escoamento não-isotérmico de líquidos envolvendo 
pequenas variações de temperatura; (ii) Escoamento isotérmico e isobárico de gases 
sem reação química; e, (iii) Escoamento isotérmico e isobárico de gases com reação 
química envolvendo estequiometrias sem variação molar (j = 0) ou reações com 
variação molar efetuadas em meio diluente (j  0). Deve-se ter em mente que, 
independentemente de reação química, a massa específica no escoamento de um gás 
é fortemente influenciada pelas condições de temperatura e pressão. Essa influência 
 3 
deve ser determinada pela equação de estado (P, V e T) aplicável ao fluido gasoso 
considerado. 
 
Nos casos em que ocorre escoamento compressível, para se ter uma descrição 
adequada da situação, é preciso levar em conta a variação de volume associada ao 
escoamento. Nestas situações, a variável  (tempo espacial) deixa de ser 
caracterizadora do escoamento, definindo-se uma nova variável chamada de “tempo 
médio de residência”, tm, expressa por: 
 
 dV 
 F 
 
 
 
F
dV
dtm 
 
 Vm F
dV
t
 (2) 
 
Analisando as Equações (1) e (2), que são as definições de  (tempo espacial) e tm 
(tempo médio de residência), respectivamente, nota-se que para sistemas sem 
variação de volume, ou seja, para um escoamento incompressível (em que F = F0 = 
cte), estas duas variáveis têm valores idênticos. A integração analítica da Equação (2) 
pressupõe o conhecimento da função F = F(V) que expressa a variação da vazão 
volumétrica dentro do volume do sistema. 
 
A variável tm (tempo médio de residência) deve ser usada para descrever sistemas 
com escoamento compressível, como por exemplo: (i) Escoamento não-isotérmico de 
líquidos envolvendo grandes variações de temperatura; (ii) Escoamento não-isotérmico 
de gases; (iii) Escoamento isotérmico de gases com reação química envolvendo 
estequiometria com variação molar (j não desprezível). 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
ATIVIDADE 1 (Comparação: Tempo Espacial versus Tempo Médio de Residência) 
Considere o escoamento contínuo através de um tubo de 3 cm de diâmetro e 1 m de 
comprimento, numa situação em que a temperatura da entrada para a saída do tubo 
 4 
varia linearmente de 100C até 900C, por conta de aquecimento com um fluido térmico. 
Avaliar o tempo espacial () e o tempo médio de residência (tm) e comentar os 
resultados, para as duas situações seguintes: 
(a) Água escoando numa vazão de 1 kg/s a uma pressão de 1 atm. 
Sugestão: A partir de uma tabela de dados água = f1(T), ajustar um polinômio do tipo  
= a + bT + cT2 + ..., e com isso expressar F = f2(T). Lembrando que T = f3(z), obtém-se 
F = f4(z), sendo F a vazão volumétrica. 
(b) Oxigênio escoando numa vazão de 1 kg/s a uma pressão de 1 atm, supondo 
comportamento de gás ideal. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
Parte II: Desvios das Condições de Fluxo Ideal e Modelos 
para Reatores não-Ideais 
 
 
Introdução 
Na dedução dos modelos matemáticos para os reatores homogêneos, mediante 
formulação dos balanços de conservação de massa e energia, com a determinação das 
correspondentes equações de projeto para cada um deles, partiu-se de dois 
paradigmas fundamentais para descrever o padrão de mistura dentro do sistema, 
designados como hipóteses, a saber: a "Hipótese de Mistura Perfeita" e a "Hipótese de 
Deslocamento Perfeito". Na prática, é impossível a obtenção estrita destas duas 
situações hipotéticas; o que se consegue na operação real é uma aproximação que 
pode ser bastante razoável, dependendo do sistema físico considerado. Os reatores 
descritos com base nestas duas hipóteses são chamados de reatores ideais. 
 
Na descrição e na formulação das equações de projeto para reatores do tipo 
tanque agitado a hipótese básica é a idéia de "mistura perfeita". Essa hipótese supõe 
que o conteúdo do tanque encontra-se perfeitamente misturado, havendo uniformidade 
espacial de suas características (propriedades físicas, composição, temperatura, etc.) 
através de toda a mistura reacional, de modo que a corrente de produtos que sai do 
tanque tem as mesmas características da mistura dentro do tanque. A modelagem 
matemática de sistemas que satisfazem à hipótese de mistura perfeita (designados de 
sistemas a parâmetros agregados),como se viu quando da dedução das equações de 
 5 
projeto para os reatores do tipo tanque agitado, torna-se simples. Como resultado dos 
balanços de massa e de energia, obtém-se um sistema de equações diferenciais 
ordinárias que envolvem apenas o tempo (t) como variável independente. Para a 
condição de estado estacionário, passa-se a um sistema de equações algébricas. 
Adicionalmente, deve-se destacar que na formulação das equações de conservação 
para sistemas que seguem a hipótese de mistura perfeita, o volume representativo, isto 
é, o volume de controle (VC) a ser tomado para efetuar os balanços de conservação, é 
o próprio volume V da mistura reacional. 
 
No caso do reator tubular, para sua modelagem e obtenção das equações de 
projeto, parte-se da idéia básica de "deslocamento perfeito" (também chamada de 
escoamento empistonado; ou ainda, do inglês, "plug-flow"). Esta hipótese estabelece 
que os elementos de fluido deslocam-se ordenadamente ao longo do tubo, como se 
fossem placas transversais, ou seja, fatias que mantêm suas características 
fluidodinâmicas ao longo do escoamento, sem se misturarem axialmente umas com as 
outras. Assim, sistemas que satisfazem à hipótese de deslocamento perfeito envolvem 
variações espaciais e temporais, e se inserem na classe dos chamados sistemas a 
parâmetros distribuídos, cuja modelagem matemática é mais complexa. Para um reator 
tubular ideal, portanto, como resultado dos balanços de massa e de energia, obtém-se 
um sistema de equações diferenciais parciais envolvendo como variáveis 
independentes a posição ao longo do reator (z) e o tempo (t). Para a condição de 
estado estacionário, passa-se a um sistema de equações diferenciais ordinárias. Na 
formulação das equações de conservação para o reator tubular ideal (PFR), o volume 
de controle (VC) a ser tomado para efetuar os balanços de conservação deve ser um 
volume elementar, ∆V = S. ∆z (S = área da seção reta do tubo), no qual se supõem 
constantes as características do sistema. 
 
A validade da "hipótese de mistura perfeita" está intimamente relacionada ao 
desempenho do sistema de agitação (dependente do bom projeto do agitador). Esta 
hipótese é bastante razoável nas aplicações práticas, desde que as seguintes 
condições sejam atendidas: (i) O tanque não seja muito grande; (ii) O agitador seja 
convenientemente projetado e adequado; e, (iii) A mistura não seja muito viscosa. 
 
 6 
Associado a essa questão, é interessante comentar o que ocorre no caso de 
certas reações poliméricas, comumente realizadas em reatores agitados. Nestes casos, 
a viscosidade da mistura reacional varia com o progresso da reação, aumentando à 
medida que o monômero se converte no polímero, de modo que a velocidade do 
agitador deve aumentar progressivamente durante a reação, para que se garanta, 
durante todo o tempo de reação, um bom grau de mistura. Utilizar o agitador com a 
potência máxima de agitação desde o início da reação implicaria em um gasto de 
energia desnecessário, caracterizando um projeto não-otimizado do sistema de 
agitação. 
 
 As principais razões para o desvio da "hipótese de mistura perfeita" estão abaixo 
indicadas e ilustradas: 
 
(a) Zonas Mortas (regiões estagnadas): 
 
 
 
Na prática, para superar os efeitos de zona morta, utilizam-se tanques cilíndricos 
com fundo hemisférico. 
 
(b) "By-passing" (curto-circuito, ou ainda, em português de Portugal, esquiva): 
 
 
 
 7 
 Neste caso, alguns elementos de fluido, ao entrar no tanque, deixam de se 
misturar com o conteúdo existente no tanque e seguem um caminho próprio que 
encurta sua permanência dentro do sistema. 
 
Para o caso de reatores tubulares, no que se relaciona ao padrão de mistura, uma 
compreensão do regime fluidodinâmico de escoamento é essencial ao entendimento da 
questão. Fenomenologicamente, o escoamento de um fluido, sendo este newtoniano, 
é descrito por meio das equações de Navier-Stokes, as quais expressam o princípio de 
conservação da quantidade de movimento para o fluido em escoamento. A resolução 
destas equações para o escoamento de um fluido através de um tubo indica que, para 
regime laminar, ocorre um perfil de distribuição de velocidade parabólico (velocidade 
nula para a camada fluida em contato com a parede do tubo, em r = R, e velocidade 
máxima no centro, em r = 0). Havendo escoamento turbulento, ocorre um perfil 
achatado no centro. Esses resultados levam à conclusão de que um regime turbulento 
de escoamento está mais próximo da idéia de deslocamento perfeito. Do ponto de vista 
fluidodinâmico, a hipótese de deslocamento perfeito supõe que em cada seção 
transversal do tubo os elementos de fluido têm a mesma velocidade, sendo isto mais 
compatível com o perfil real de velocidade que se obtém para um fluido escoando em 
regime turbulento. 
 
Denbigh (1965) estabeleceu, a partir de estudos e resultados empíricos, critérios 
quantitativos para a validade da hipótese de deslocamento perfeito, os quais podem ser 
tomados como regras heurísticas. Os dois critérios são os seguintes: (i) Razão entre o 
comprimento e o diâmetro superior a 50; e, (ii) Número de Reynolds superior a 10000. 
 
 O primeiro critério de Denbigh pode ser justificado e compreendido a partir do 
conceito de perfil de velocidade associado ao escoamento de um fluido através de um 
tubo. Verifica-se que quanto maior for o grau de turbulência, mais achatado será o perfil 
de velocidade, e mais próxima será a condição fluidodinâmica do perfil plano 
correspondente à hipótese de deslocamento perfeito ou fluxo empistonado. Já o 
segundo critério remete ao conceito de comprimento de entrada, relacionado à razão 
comprimento/diâmetro (Nota: Fica aqui a recomendação de rever os elementos básicos 
dessas ideias em um livro de Fluidodinâmica). 
 
 8 
Para o projeto de reatores, bem como de qualquer equipamento que envolva 
escoamento contínuo, é necessário, muitas vezes, fazer considerações sobre o padrão 
de mistura, introduzindo-se fatores que corrigem os desvios do fluxo em relação às 
hipóteses de mistura perfeita e de deslocamento perfeito. Essa informação é obtida a 
partir de um estudo experimental da "Distribuição do Tempo de Residência" (RTD, do 
inglês, “Residence Time Distribution"), a qual fornece uma espécie de mapa sobre a 
permanência dos elementos de fluido dentro do equipamento. Este estudo 
experimental é realizado empregando-se a técnica de traçadores. 
 
Leitura Ilustrativa (texto de Smith (1981)1, p. 117-118) 
Quando os critérios de mistura supostos para as formas de reatores ideais não são satisfeitos, 
as expressões matemáticas para as equações de conservação tornam-se mais difíceis. 
Como um exemplo de operação não-ideal, imagine-se um reator tanque de fluxo contínuo com 
projeto deficiente (mistura inadequada), tal que existem bolsas de fluido aproximadamente 
estagnantes, como mostrado pelas regiões S marcadas (Fig. 3-3a, abaixo). A conversão tornar-
se-á muito alta no fluido aproximadamente estagnante, mas este fluido permanecerá no reator 
por um longo tempo. Como o volume disponível para fluxo foi reduzido pelas regiões 
estagnantes, a fase (“bulk”) do fluido levará menos tempo no reator e, portanto, terá menos 
tempo para reagir. O resultado será uma conversão média na corrente de saída menor do que 
aquela para o tipo ideal. 
 
 
 
A Figura 3-3b mostra outro tipo de desvio, causado por “by-passing” ou curto-circuito do 
fluido. Nesta situação, uma parte do fluido que entra no tanque segue um caminho encurtado 
para sair e mantém sua identidade (não se mistura com o conteúdo do tanque) enquanto faz 
isso. Novamente, a conversão na correntede saída é reduzida abaixo daquela do reator tanque 
agitado ideal. Embora estes casos ilustrem situações extremas que podem ser atribuídas ao 
 
1 J. M. SMITH. Chemical Engineering Kinetics. McGraw Hill Book Company, Singapore, 1981. 
 9 
projeto deficiente, os reatores reais podem se desviar por algum grau do comportamento ideal, 
e o desempenho de um reator específico dependerá da extensão da mistura. 
Desvios do comportamento de fluxo tubular ideal também são possíveis. Dois tipos de 
desvios são: (1) ocorrência de alguma mistura na direção longitudinal e (2) mistura incompleta 
na direção radial. As Figuras 3-4a e b, abaixo, ilustram estes dois efeitos. Na Figura 3-4a os 
bocais na saída e na entrada são tais que vórtices e turbilhões produzem mistura na direção 
longitudinal. A Figura 3-4b representa a situação onde o fluido está em fluxo laminar, formando 
um perfil de velocidade parabólico através do tubo. Como o processo de difusão molecular é 
relativamente lento, elementos anulares de fluido fluem ao longo do reator apenas com uma 
leve mistura na direção radial. Além disso, o fluido próximo à parede terá um tempo de 
residência maior no reator do que para o desempenho de fluxo tubular ideal. Já o fluido próximo 
ao centro terá um tempo de residência menor. O resultado, de novo, é uma diminuição na 
conversão. “By-passing” (canalização) também pode ocorrer em um leito fixo, reator sólido-
fluido catalítico, como mostrado na Figura 3-4c. O arranjo de recheio não uniforme (não 
arrumado) resulta em uma velocidade mais alta próxima à parede do tubo, onde a porosidade é 
maior. Portanto, o tempo para reação (tempo de residência) próximo à parede será menor do 
que aquele no centro do tubo. Isto significa que a composição do fluido variará radialmente, tal 
que o requisito de mistura radial completa não é satisfeito. 
 
 
 
Os desvios do desempenho ideal se dividem em duas classificações. O primeiro é um 
arranjo de fluxo onde os elementos de fluido não se misturam, mas seguem caminhos 
separados através do reator (fluxo segregado). Estes elementos são retidos no reator por 
tempos diferentes, ou seja, possuem diferentes tempos de residência. O segundo é um arranjo 
de fluxo onde os elementos de fluido adjacentes se misturam parcialmente (micromistura). Os 
efeitos destes desvios sobre a conversão podem ser avaliados, desde que se conheça a 
 10 
distribuição de tempos de residência para o fluido que deixa o reator e a extensão de 
micromistura. Tal informação completa raramente se encontra disponível. 
 
 
Técnica de Traçadores 
 
A técnica de traçadores é fundamental na análise do comportamento fluidodinâmico de 
sistemas e equipamentos da engenharia química nos quais ocorre escoamento 
contínuo. É uma técnica experimental do tipo estímulo-resposta (do inglês, “input-
output”). O traçador deve ser uma espécie inerte ao sistema e de fácil detecção. 
Geralmente utiliza-se um corante, um isótopo radioativo ou uma substância 
fluorescente. 
 
 
 
A técnica de traçadores consiste em provocar uma perturbação artificial em um 
sistema que se encontra em regime estacionário de escoamento. Esta perturbação se 
dá com a introdução de uma pequena quantidade de uma substância inerte em algum 
ponto do sistema (geralmente à entrada), e fazendo-se o acompanhamento de sua 
concentração na saída, até que se atinja um novo estado estacionário quanto à 
concentração do traçador. Os dados de concentração de traçador à saída do sistema 
em função do tempo são chamados de Curva de Resposta. Um experimento com 
traçador permite que se obtenham as curvas de resposta e, a partir destas, é possível 
chegar à Distribuição do Tempo de Residência. As perturbações mais comuns estão 
indicadas e ilustradas a seguir. 
 
 
 11 
(a) Perturbação do tipo passo (em inglês: "step") 
 
 
(b) Perturbação do tipo pulso 
 
 
 
Outro tipo de perturbação conceitualmente importante é o "impulso", o qual 
consistiria na adição de todo o traçador instantaneamente. Matematicamente, esta ideia 
é representada pela função Delta de Dirac. Na prática, o que se consegue é 
proporcionar um “pulso” de perturbação, o qual consiste na adição do material traçador 
durante um intervalo de tempo, t, finito. A aproximação prática para um “impulso” 
consistiria na adição de todo o material traçador num tempo extremamente curto. 
 12 
 
 O Delta de Dirac, comumente chamado de Função Delta de Dirac, é uma ideia 
importantíssima da física-matemática. Matematicamente, o Delta de Dirac é definido 
por: 
 
 






ax
ax
ax
 ,
 ,0

 
 
 
Determinação da Função Distribuição do Tempo de Residência (RTD) 
 
Os experimentos com traçadores permitem estabelecer a "distribuição do tempo de 
residência" para o escoamento através de um dado sistema. 
 
Supondo-se o caso de um estímulo (“input”) do tipo pulso, é possível escrever um 
balanço para o traçador. De início, escolhe-se um incremento de tempo, t, 
suficientemente pequeno para permitir supor que a concentração de traçador, C(t), que 
deixa o sistema entre os tempos t e t+t é essencialmente constante. Então, a 
quantidade de traçador, N, que deixa o sistema entre os tempos t e t+t é dada por: 
 
∆N = C(t).F. ∆t (3) 
 
Sendo F a vazão volumétrica do efluente e ∆N a quantidade de traçador que 
permaneceu uma quantidade de tempo ∆t no sistema. 
 
Dividindo a Equação (3) pela quantidade total de traçador injetado no sistema, N0, 
tem-se: 
 
 N/N0 = C(t).F. t/N0 (4) 
 
a qual representa a fração de material que tem um tempo de residência t, ou seja, que 
permaneceu no sistema entre os tempos t e t+t. 
 
Para uma perturbação do tipo pulso define-se: 
 13 
 
 E(t)  F.C(t)/N0 (5) 
 
Substituindo-se a Equação (5) em (4), obtém-se: 
 
 ∆N/N0 = E(t). ∆t (6) 
 
E(t) é chamada de "Função Distribuição do Tempo de Residência". Ela descreve de 
forma quantitativa a maneira como os elementos de fluido permanecem tempos 
diferentes dentro do sistema. 
 
Quando N0 não pode ser conhecido diretamente, seu valor pode ser obtido a partir 
das concentrações de saída, somando-se todas as quantidades de traçador, ∆N, entre 
os tempos t = 0 e t = . 
 
Escrevendo-se a Equação (3) na forma diferencial, tem-se: 
 
 dN = F.C(t). dt (7) 
 
a qual pode ser integrada, e, supondo-se F constante, obtém-se: 
 
 



0
0 )( dttCFN
 (8) 
 
Substituindo a Equação (8) em (5), tem-se: 
 
 



0
)(
)(
)(
dttC
tC
tE
 (9) 
 
No projeto de reatores contínuos as informações obtidas a partir da “Função 
Distribuição do Tempo de Residência”, E(t), são usadas em conjunto com as equações 
de projeto para os reatores ideais (CSTR e PFR), de modo a obter-se uma 
representação adequada do desempenho real do reator. 
 
 14 
 
Modelos Usuais para Reatores não-Ideais 
 
Na descrição do padrão de mistura existente em um dado sistema, deve-se buscar o 
compromisso de que o modelo matemático utilizado represente adequadamente os 
resultados reais. Para explicar o desempenho de um dado reator é possível conceber 
alguns modelos matemáticos que descrevem de forma representativa os dados 
operacionais. Uma ideia básica é fazer a representação de um reator real por um 
arranjo de reatores ideais. Cabe aqui comentar que a ideia de descrever sistemas 
complexos por combinação de sistemas simples constitui um procedimento comum em 
diversas áreas do conhecimento.Por exemplo, a explicação do comportamento cinético 
de reações não-elementares supõe um “mecanismo de reação”, que consiste numa 
sequência de etapas elementares em que cada etapa segue a lei da ação das massas. 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
ATIVIDADE 2 (Representação de um reator tubular não-ideal por uma combinação de 
reatores ideais: Dois problemas ilustrativos) 
 
Problema 1 – Um reator tubular deve ser empregado para realizar a reação em fase 
líquida A + B → C, a qual segue uma lei cinética elementar. Projetou-se um tubo para 
obter uma conversão de 80%, alimentando o reator com uma vazão de 10 L/min, de 
uma corrente contendo apenas os reagentes em concentrações idênticas de 2 mol/L. 
Na temperatura considerada, a taxa específica de reação é 0,05 L/mol.min. Ao operar o 
reator nestas condições, verifica-se que a conversão obtida é de 75%, indicativo de que 
o reator não funciona como um PFR. Para descrever o comportamento do reator 
tubular real, assume-se que há uma zona de mistura na entrada do tubo, tal que o 
sistema pode ser representado por uma série envolvendo um CSTR de volume V1 e um 
PFR de volume V2, tal que VCSTR + VPFR = VTUBULAR. Pede-se determinar a relação 
VCSTR/VPFR para que o arranjo proposto represente o comportamento do reator tubular. 
 
Problema 2 – Um reator tubular (PFR) isotérmico e à pressão constante foi projetado 
para dar uma conversão de 66% de A em B para uma decomposição em fase gasosa 
de primeira ordem, A  B, para uma alimentação a uma taxa de 5 ft3/h. Na temperatura 
operacional escolhida a constante da taxa de reação é k = 5,0 h-1. Entretanto, após o 
 15 
reator ser instalado e posto em funcionamento notou-se que a conversão obtida é 90% 
da desejada. Esta discrepância é concebida como sendo devida a distúrbios no fluxo 
através do reator que dão origem a uma zona de intensa mistura. Assumindo que esta 
zona comporta-se como um reator tanque de mistura perfeita (CSTR) em série e 
inserido entre dois reatores tubulares (PFR), qual a fração do volume total do reator 
ocupada por esta zona? 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
Duas abordagens bastante utilizadas para a descrição de fluxo não-ideal, em 
engenharia das reações químicas, são: (i) Série de tanques de mistura perfeita (ou 
células de mistura); e, (ii) Modelo de Dispersão Axial. A primeira abordagem é 
interessante na descrição de reatores do tipo tanque agitado, podendo também ser 
utilizada para a descrição de sistemas tubulares. A segunda abordagem é empregada 
para descrever o padrão de mistura em reatores tubulares, e consiste em incluir um 
termo de dispersão para corrigir desvios no comportamento de fluxo empistonado. 
 
Série de Tanques 
Conforme demonstrado no módulo de projeto de reatores ideais, uma série infinita 
de CSTR's, em termos de desempenho, equivale a um PFR. Na prática, isto indica a 
possibilidade de representar um reator real por uma série de CSTR´s. A ideia é 
determinar as curvas de resposta do sistema real a partir de experimentos com 
traçadores e, então, ajustar um valor de N (número de tanques de mistura perfeita) que 
reproduz o desempenho do sistema real. 
 
Para a análise, considera-se uma série de tanques de mistura perfeita, conforme 
representado na figura que segue. Cada conjunto possui o mesmo volume e cada 
tanque tem o volume V/N, sendo N o número de tanques. Supõe-se que através da 
série de N tanques escoa um líquido puro, quando no instante t = 0, com todos os 
tanques cheios e em regime estacionário de escoamento, injeta-se subitamente n0 mols 
de traçador na alimentação (1o tanque); supõe-se ainda que o traçador é 
completamente miscível com o líquido contido nos tanques e que o volume adicionado 
de traçador é desprezível frente ao volume Vi de cada tanque. Após a adição do 
traçador, o sistema comporta-se de modo transiente em relação a esta espécie. 
 16 
 
 
 
Para ter a variação da concentração de traçador em cada tanque, deve-se 
escrever a equação de conservação para esta espécie e resolvê-la com a condição 
inicial adequada para cada tanque. Assume-se que todo o traçador é injetado 
instantaneamente no primeiro tanque, tal que em t = 0 tem-se todo traçador neste 
tanque e nada de traçador nos demais. Considerando que o traçador é uma espécie 
inerte, sendo nulo o termo de geração, a equação de balanço do número de mols de 
traçador é dada, na forma semântica, como: 
 
 [Acúmulo de Traçador] = [Entrada de Traçador] – [Saída de Traçador] 
 
Tem-se que o volume de cada tanque é: 
 
 17 
 
N
V
Vi 
 
 
De modo que: 
V
Nn
V
n
C i
i
i
i 
 
 
– Balanço para o primeiro tanque: 
 
 
FC
dt
dn
1
1 0 
 
 
 
F
V
Nn
dt
dn 11 
 
 
 Integrando a equação, obtém-se a solução geral: 
 
 
11 ln At
V
NF
n 
 
 
 A constante de integração A1 é determinada aplicando-se a condição inicial de que 
no instante t = 0 todo o traçador se encontra no primeiro tanque, ou seja, em t = 0 tem-
se que n1 = n0, sendo n0 a quantidade de mols de traçador adicionada. Substituindo-se 
esta condição inicial na equação acima, tem-se que A1 = ln n0. Com isso, chega-se à 
equação que determina a variação temporal da quantidade de traçador no primeiro 
tanque. Tem-se que: 
 
 






 t
V
NF
nn exp01
 (10) 
 
– Balanço para o segundo tanque: 
 
 
FCFC
dt
dn
21
2 
 
 
 18 
 
V
NFn
V
NFn
dt
dn 122 
 
 
 Para fazer a integração da equação acima, deve-se substituir nela a Equação (10), 
obtendo-se: 
 
 






 t
V
NF
V
NFn
V
NFn
dt
dn
exp022
 
 
 Chega-se, assim, a uma equação diferencial linear do tipo y´(x) +p(x)y = q(x), cuja 
solução utiliza o conceito de fator integrante. Resolvendo a equação acima, obtém-se 
como solução geral: 
 
 
202 exp At
V
NF
nt
V
NF
n 






 
 
 A constante de integração A2 é determinada aplicando-se a condição inicial de que 
no instante t = 0 todo o traçador se encontra no primeiro tanque, ou seja, em t = 0 tem-
se que n2 = 0. Substituindo-se essa condição inicial na equação acima, tem-se que A2 = 
0. Com isso, chega-se à equação que determina a evolução temporal da quantidade de 
traçador no segundo tanque. Tem-se que: 
 
 













V
NFt
t
V
NF
nn exp02
 (11) 
 
 Prosseguindo-se assim para cada tanque, encontra-se a expressão generalizada 
que descreve a variação da quantidade de traçador no i-ésimo tanque da série, dada 
por: 
 
 
 















t
V
NF
t
V
NF
i
n
n
i
i exp
!1
1
0
 (12) 
 
n0 quantidade de traçador injetado no primeiro tanque em t = 0; 
ni quantidade de traçador no i-ésimo tanque no tempo t; 
 19 
N número de tanques; 
F vazão volumétrica de alimentação do sistema; 
V volume total do sistema (V=ΣVi); 
t tempo decorrido após a injeção súbita do traçador no primeiro tanque em t = 0. 
 
 A equação acima pode ser escrita em termos da concentração de traçador: 
 
 
 















t
V
NF
t
V
NF
i
C
C
i
i exp
!1
1
0
 (13) 
 
No gráfico da figura que segue, tem-se a representação, para uma dada situação, 
considerando-seuma série de 4 tanques. As curvas indicam a variação da 
concentração de traçador no respectivo tanque. Uma estratégia prática, portanto, 
visando à descrição de sistemas reais, é verificar o valor de N que melhor representa a 
curva de resposta de um dado sistema, obtida a partir de um teste de traçador. 
 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0
Tempo
C
o
n
ce
n
tr
aç
ão N = 1
N = 2
N = 3
N = 4
 
 
 
 
 
 20 
 Dispersão Axial 
Considerando-se a aplicação do modelo com dispersão axial a um traçador 
injetado em um tubo, assume-se que a vazão envolve um termo convectivo e um termo 
de dispersão. O termo de dispersão axial representa, fisicamente, uma espécie de 
difusão molecular, fenômeno este matematicamente representado pela lei de Fick 
(tópico de estudo da disciplina Transferência de Massa). Assim, descreve-se a vazão 
molar de traçador pela relação: 
 
TC
T
CaT CA
z
C
ADF v



 (14) 
 
Aplicando a equação de balanço molar para o traçador, tomando-se um elemento 
de volume elementar de comprimento ΔZ como volume de controle (ilustrado na figura 
que segue), e levando-se em conta que o mesmo é quimicamente inerte (termo de 
geração nulo), têm-se: 
 
 [Acúmulo de Traçador] = [Entrada de Traçador] – [Saída de Traçador] 
 
 
 
 
 
 
ZZTZTTC
FFZCA
t 



 
 
 
 
ZTZZT
T
C FF
t
C
ZA 




 
 
  
Z
FF
t
C
A Z
TZZT
Z
T
C
Z 



 
 00
limlim
 
 
 
Z
F
t
C
A TTC





 (15) 
 21 
 
Substituindo a Equação (14) em (15), tem-se: 
 
 















TC
T
Ca
T
C CA
Z
C
AD
Zt
C
A v
 
 
Supondo uma velocidade de escoamento constante (o que ocorre na condição de 
escoamento incompressível), chega-se à relação: 
 
t
C
Z
C
Z
C
D TTTa








v
2
2 (16) 
 
A equação diferencial parcial dada pela Equação (16), resolvida para as condições 
auxiliares adequadas, fornece a variação temporal e espacial da concentração de 
traçador. Para um dado teste de traçador, dispondo-se da curva de resposta, é possível 
ajustar o valor do coeficiente de dispersão axial (Da) que melhor representa o 
comportamento do escoamento através do tubo. 
 
 
Comentário Final 
Finalizando esta breve introdução acerca dos aspectos básicos associados ao 
desvio do comportamento ideal em reatores químicos, cabe ressaltar que há uma vasta 
literatura técnica tratando deste tema, a qual deve ser consultada quando da resolução 
de problemas práticos relacionados ao projeto e descrição de “reatores não-ideais”. 
Nesta área, especialmente, há espaço para a criatividade do engenheiro. 
Fundamentando-se nos princípios básicos da engenharia das reações químicas é 
possível propor um modelo matemático satisfatório para a representação do padrão de 
escoamento existente num dado reator. Esta é uma tarefa de modelagem, na qual 
deve-se buscar o compromisso de que o modelo proposto represente os dados de 
desempenho do sistema real. 
 
 
RECOMENDAÇÃO IMPORTANTE: Fazer uma leitura de estudo dos capítulos 13 e 14 
do livro Elementos de Engenharia das Reações Químicas (Fogler). Estas anotações 
 22 
devem ser vistas apenas como observações preliminares ao tema. As atividades 
recomendadas neste texto devem ser entregues no máximo até o dia da última 
avaliação. 
 
 
E para encerrar nossa jornada, mais um pensamento muito interessante de um grande 
cientista e pensador da ciência: 
 
“Assim como casas são feitas de pedras, a ciência é feita de fatos. Mas uma pilha de 
pedras não é uma casa e uma coleção de fatos não é, necessariamente, ciência”. 
(Jules Henri Poincaré, 1854-1912)