raciocinio_logico_m02 A1

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Módulo 2 - Princípio da contagem 
 
 
A Lógica na Organização de Sequências 
(Figuras, Letras e Números) 
 
Nesta aula iremos abordar a utilização do raciocínio lógico na organização de 
sequências envolvendo figuras, desenhos e palavras. 
 
Objetivo: 
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de resolver problemas de 
raciocínio lógico fazendo comparações entre desenhos e figuras, utilizando critérios de 
similaridade e identificando diferenças entre os desenhos apresentados. Além disso, 
esperamos também que você esteja apto a completar sequências de letras, fazer 
comparações entre palavras e identificar sequências de letras que geram um padrão 
dentro de um grupo de palavras. 
 
Podemos começar, então? 
 
Na primeira parte desta aula, vamos trabalhar com exercícios envolvendo figuras e 
desenhos. Preste atenção! 
 
Um tipo muito comum de exercício que aparece em diversas provas de raciocínio 
lógico de concursos consiste em completar uma sequência de desenhos, escolhendo 
uma dentre algumas alternativas fornecidas. 
 
Para começar, veja o exemplo a seguir 
 
Qual das imagens abaixo completa melhor a seqüência superior? 
E então, quer fazer uma tentativa? 
 
 
 
Como proceder para resolver um problema deste tipo? 
A primeira coisa a fazer é observar as figuras e tentar estabelecer um padrão de 
sequenciamento entre elas. 
 
 
 2 
Parece difícil, não é? Mas você verá que as aparências enganam! Comece fazendo a si 
mesmo as seguintes perguntas: 
 
1. O que todas as figuras têm em comum? 
2. O que se altera da primeira para a segunda figura? 
3. O que se altera da segunda para a terceira figura? 
4. O que se altera da terceira para a quarta figura? 
 
Ao responder a estas perguntas, você terá descoberto o critério ou o modo como as 
figuras são geradas. Dessa forma, você poderá saber qual a figura seguinte. 
 
Observe que em todas as figuras existe um triângulo e um círculo. Essas figuras 
aparecem em posições alternadas: ora o triângulo acima do círculo, ora ao contrário. 
Dessa observação podemos ter certeza de que, na figura que falta, o círculo deve estar 
acima do triângulo. 
 
Como todos os triângulos têm o mesmo tamanho e os círculos aumentam 
progressivamente de uma figura para a outra, podemos concluir que a resposta 
correta é a D. 
 
Veja agora este outro exemplo! 
 
Escolha a figura correta, dentre as cinco alternativas colocadas a seguir, para 
preencher o espaço do ponto de interrogação: 
 
 
 
Veja que, neste exemplo, as figuras têm mais detalhes do que no exemplo anterior. No 
entanto, para resolvê-lo devemos proceder de forma sistemática, assim como fizemos 
no primeiro exemplo. 
 
Primeiro, observe o que todas as figuras têm em comum. As figuras apresentadas são 
retângulos divididos em duas partes, com um desenho diferente em cada parte do 
retângulo. 
 
Agora vejamos as diferenças: a divisão dos retângulos aparece de três formas 
distintas: vertical, diagonal da esquerda para a direita e diagonal da direita para a 
esquerda. Observando como essas divisões acontecem em cada linha, percebemos que 
 
 3 
na terceira linha está faltando um retângulo dividido diagonalmente da esquerda para 
a direita. Isto já nos permite eliminar a opção b. 
 
Existem seis desenhos diferentes dentro dos retângulos. Se contarmos a quantidade 
de vezes que cada desenho aparece, verificamos que os dois desenhos que aparecem 
menos vezes (duas vezes) são o ponto e a cruz envolvida por um círculo. Todos os 
outros desenhos aparecem três vezes. Portanto, podemos concluir que a resposta 
correta é a E. 
 
 
 
Outra possibilidade de exercício é aquela em que você terá que fazer comparações 
entre desenhos e estabelecer uma relação do tipo: o desenho A está para o desenho B 
assim como o desenho C está para... 
 
Nesse tipo de exercício, você deverá verificar qual foi a modificação ou a ação realizada 
do desenho A para o desenho B. Ao realizar a mesma modificação sobre o desenho C, 
você terá chegado à resposta. 
 
Veja três exemplos de situações deste tipo! 
 
1º - Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação? 
 
 
 
Vamos a solução! 
 
 
 
 
2º - Qual das imagens abaixo completa melhor a sequência superior? 
 
Solução 
 
É fácil notar que o primeiro desenho é um círculo e o segundo 
desenho é um círculo dividido em duas partes. Logo, o quadrado 
deve ser comparado a um quadrado que seja também dividido 
em duas partes. Portanto, a resposta correta é a C. 
Saiba mais 
 
Uma boa dica neste tipo de situação problema! 
Sempre que o desenho tiver vários detalhes, procure analisar cada um 
deles separadamente. Foi o que fizemos na última questão. Observamos 
primeiro o tipo de divisão dos retângulos e somente depois os desenhos 
dentro dos retângulos. Isto ajudará a resolver o problema de forma 
sistemática e eficiente. 
 
 4 
 
 
 
 
Solução do problema 
 
 
 
3º - Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação? 
 
 
 
 
Já sabe qual é a resposta? 
 
Solução 
 
O primeiro desenho é formado por quatro círculos divididos por 
um segmento vertical e outro segmento horizontal, ao passo que 
o segundo desenho é formado pelos mesmos quatro círculos 
agora divididos por um segmento vertical. 
 
O que mudou do primeiro para o segundo desenho? 
Desapareceu a divisão horizontal dos círculos! Então devemos 
seguir o mesmo raciocínio e fazer a mesma alteração no terceiro 
desenho. Retirando o segmento horizontal desse desenho, 
verificamos que a resposta correta será a C. 
 
 5 
 
 
Tudo entendido até aqui? 
 
Existem também exercícios em que será pedido que você examine cinco desenhos ou 
figuras e aponte qual delas é menos similar às outras quatro figuras. 
 
Nesse caso, você deve procurar uma semelhança, um elemento comum, enfim, algo 
que somente quatro figuras possuem em comum e que a quinta figura não possui. 
 
 
Vamos observar os dois exemplos a seguir? 
 
Qual dos cinco desenhos é menos similar aos outros quatro? 
 
 
 
 Antes de clicar na solução do problema proposto, tente buscar a resposta. 
 
 
 
Agora, vamos ver se você acerta o exercício a seguir. 
Qual dos cinco desenhos é menos similar aos outros quatro? 
 
Solução 
 
Observe que o triângulo, o quadrado, a cruz e o círculo são 
todos construídos através de linhas retas. É isso que esses 
quatro desenhos têm em comum. Já o círculo é uma linha 
curva, não podendo ser construído através de linhas retas. 
Portanto, a resposta correta é a D. 
Solução 
 
Vamos olhar atentamente como o segundo desenho se modifica 
em relação ao primeiro. Em cada um deles aparece um 
quadrado, um triângulo e uma cruz. O triângulo que estava 
acima do quadrado passou para baixo do quadrado e a cruz que 
estava para fora da figura passou para dentro da figura. 
Portanto, ocorreram duas inversões de orientação. 
 
Agora preste atenção ao terceiro desenho. Neste desenho temos 
um retângulo, um círculo e uma seta. Aplicando o raciocínio 
anterior do quadrado em relação ao retângulo, notamos que o 
círculo que está do lado direito deverá ser invertido, passando 
para o lado esquerdo do retângulo; a seta que está para dentro 
do desenho deverá ser invertida, passando para fora do desenho. 
Portanto, a resposta correta será a D. 
 
 6 
 
 
Já sabe qual é o desenho, não é? 
 
Vamos conferir? 
 
 
 
 
Já passamos da metade da nossa aula! Espero que você esteja gostando de estudar 
sequências lógicas. 
 
Vamos trabalhar agora com exercícios envolvendo sequências formadas por letras e 
palavras. Preste bastante atenção! 
 
Em muitos problemas dessa natureza, será apresentada uma sequência de letras e 
você terá que completar a sequência com a próxima letra ou com uma letra que esteja 
faltando. 
 
Podemos começar? 
 
1- Observe a sucessão de letrasa seguir e determine a letra que deve substituir o 
ponto de interrogação (considere o alfabeto da língua portuguesa com 23 letras). 
 
B - D - G - L - Q - ? 
 
Para resolver essa questão, devemos considerar a ordem alfabética das letras em 
nosso alfabeto. Veja: 
 
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z 
 
Note que, na sequência de letras apresentada, temos a segunda, a quarta, a sétima, a 
décima primeira e a décima sexta letras de nosso alfabeto. Ou seja, o intervalo entre 
as letras da sequência está aumentando: 1 – 2 – 3 – 4. Portanto, a próxima letra 
deverá ser escolhida com intervalo de 5 letras da última. Então, passando pelas letras 
R, S, T, U, V podemos concluir que a resposta correta é a LETRA X. 
Solução 
 
Observe que todos os desenhos são figuras geométricas e estão 
divididos em partes. O número de divisões da figura coincide 
com o número de lados e com o número de vértices em todos os 
casos, exceto no quarto desenho. 
 
A: Triângulo (figura geométrica de três lados e três vértices), 
dividido em três partes. 
B: Quadrado (figura geométrica de quatro lados e quatro 
vértices), dividido em quatro partes. 
C: Pentágono (figura geométrica de cinco lados e cinco vértices), 
dividido em cinco partes. 
E: Hexágono (figura geométrica de seis lados e seis vértices), 
dividido em seis partes. 
 
 7 
 
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z 
 
2-Complete o quadro vazio com a letra que está faltando: 
 
A D G 
E H ? 
I M P 
 
(a) O (b) M (c) J (d) I (e) L 
 
Vamos saber qual a solução? 
 
 
 
Podemos continuar? 
 
Outro tipo de exercício é aquele em que aparece uma sequência de palavras e você 
deve acrescentar a essa sequência uma palavra, sempre de acordo com a lógica 
apresentada. 
 
Para resolver esses exercícios você não deve se preocupar com o significado das 
palavras, mas sim procurar encontrar um padrão entre as letras existentes nas 
palavras. 
 
Veja alguns exemplos desse tipo de situação: 
 
1º Uma propriedade lógica define a sucessão: segurança, terrena, quase, 
quintuplicou, sexagenário, sábio, X. Determine X, sabendo-se que X é uma palavra 
entre as cinco alternativas abaixo: 
 
(a) japonês (b) chinês (c) italiano (d) dominicano (e) brasileiro 
 
Solução 
 
Observe que as letras da primeira linha da tabela estão seguindo 
o seguinte critério: de uma letra para a outra são puladas duas 
letras dentro da ordem alfabética. 
 
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z 
 
O mesmo critério acontece também com as letras da terceira 
linha da tabela: 
 
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z 
 
Logo, esse mesmo raciocínio permite encontrar a letra que falta 
na segunda linha da tabela: 
 
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z 
 
Portanto, a letra que está faltando é o L e a resposta correta é a 
E. 
 
 
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Observe que as palavras apresentadas têm as mesmas três letras iniciais dos dias da 
semana: segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado. 
Naturalmente falta apenas o domingo e você deve procurar uma palavra com as 
mesmas três letras iniciais de domingo: dominicano. 
E então, já sabe qual é a alternativa correta? Vamos a solução! 
 
 
 
 
3º Seja a seguinte sucessão de vocábulos formados todos com cinco letras: arara, 
preta, ativa, adota, X. Determine X, sabendo-se que X é um dos elementos a seguir: 
 
(a) pavão (b) cisne (c) ganso (d) corvo (e) urubu 
 
Essa é facil! Vamos tentar descobrir qual é a opção certa? 
 
 
 
Mais um exemplo para que você exercitar 
 
Dica 
 
Escrevendo todas as palavras do enunciado, cada uma em uma 
linha, temos: 
 
ARARA 
PRETA 
ATIVA 
ADOTA 
 
Podemos ver que a terceira letra de cada palavra forma a 
sequência das vogais. Portanto, a palavra que está faltando deve 
ter U como sua terceira letra. 
 
Portanto, a resposta correta é URUBU, na opção E. 
 
Solução 
 
Uma boa dica para visualizar melhor este tipo de padrão de 
letras é escrever sempre as palavras uma abaixo da outra. 
Observe: 
 
SEGURANÇA 
TERRENA 
QUASE 
QUINTUPLICOU 
SEXAGENÁRIO 
SÁBIO 
DOMINICANO 
 
Portanto, a resposta correta é a D. 
 
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4º A sucessão das palavras abaixo obedece a uma ordem lógica: brim, ruim, feio, 
boiou, X. Ache o valor de X, sabendo que X é uma palavra entre as cinco alternativas 
abaixo: 
 
(a) barco (b) afundou (c) afogando (d) família (e) piauiense 
 
Observe que, neste caso, a sequência é formada por palavras tais que: na primeira há 
apenas uma vogal, na segunda há duas vogais juntas, na terceira há três vogais 
juntas, na quarta existem quatro vogais juntas. 
 
 
 
5º Seja a seguinte sucessão de vocábulos: elevado – batata – abacate – cateto – 
abacaxi – X. Escolha, dentre as alternativas abaixo, a palavra que, dentro da mesma 
lógica das anteriores, deve substituir X: 
 
(a) motivar (b) pateta (c) fantasia (d) população (e) intimidade 
 
Solução 
 
Evidentemente, a quinta palavra deverá ser tal que nela 
apareçam cinco vogais juntas. Logo, X é a palavra piauiense. 
 
BRIM 
RUIM 
FEIO 
BOIOU 
PIAUIENSE 
 
Portanto, a resposta correta é a E. 
 
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Agora que você já viu vários exemplos, deve ter percebido que, ao se deparar com um 
exercício desse tipo, você deve ficar atento às vogais e consoantes das palavras, ao 
número de letras das palavras e, principalmente, deve escrever uma palavra acima da 
outra para tentar identificar sequências entre as letras de uma determinada posição 
das palavras. 
 
 
 
Aproveite bem o seu tempo de estudo e não deixe de realizar os exercícios propostos. 
Até a nossa próxima aula! 
Saiba mais 
 
Se você gostou de resolver esse tipo de exercícios envolvendo 
sequências de desenhos, figuras, letras ou palavras, acesse o 
endereço eletrônico http://br.syvum.com/qi/ e resolva mais 
alguns Testes de QI e Raciocínio Lógico ali apresentados. 
Solução 
 
Observe que em todas as palavras apresentadas ocorre uma 
alternância entre vogais e consoantes. Não há duas vogais nem 
duas consoantes juntas no conjunto de palavras. Além disso, a 
primeira palavra possui 4 vogais, a segunda 3 vogais, a terceira 
4 vogais, a quarta 3 vogais e a quinta 4 vogais. Portanto, a 
palavra que substituirá o X deve ter 3 vogais alternando-se com 
3 consoantes. Só pode ser a palavra pateta. 
 
ELEVADO 
 
BATATA 
 
ABACATE 
 
CATETO 
 
ABACAXI 
 
PATETA 
 
Portanto, a resposta correta é a B 
 
 
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Sequências numéricas 
 
Nesta aula iremos abordar a utilização do raciocínio lógico na organização de 
sequências envolvendo números. 
 
Objetivo: 
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de resolver problemas de 
raciocínio lógico envolvendo sequências numéricas; estando apto a completar 
sequências de números, verificar quais os números que não fazem parte de uma 
sequência apresentada e identificar operações aritméticas e relações entre números. 
 
Bem, vamos começar a nossa aula! 
 
Nesta aula estaremos dando continuidade ao assunto de sequências. No entanto, 
agora iremos trabalhar somente com sequências numéricas. Elas são muito 
importantes e aparecem com bastante frequência em questões de raciocínio lógico nos 
concursos. 
 
O modelo mais comum de exercício envolvendo sequências e números é aquele em que 
são apresentados alguns valores numéricos e você deve completar a sequência com o 
próximo número. Para fazer isso, é necessário que você descubra qual o critério ou 
relação liga os números na sequência apresentada. Este critério geralmente é 
estabelecido através de uma ou mais operações aritméticas. 
 
Mas não adianta muito ficarmos só falando sobre as sequências; vamos entrar em 
ação e resolver algunsdeles? 
 
 
1- Qual o próximo número na seguinte sequência numérica: 5, 20, 80, X ? 
 
(a) 100 (b) 160 (c) 320 (d) 400 (e) 480 
 
Primeiramente é necessário que você descubra porque o número 20 sucede ao número 
5 e é sucedido pelo número 80 nesta sequência. Em outras palavras, o critério (relação 
matemática) que transforma o 5 em 2 0 deve ser o mesmo que transforma o 20 em 80. 
Podemos ver claramente que 2045 =× e 80420 =× . Portanto, na sequencia 
apresentada, cada número é obtido multiplicando-se o anterior por 4. 
 
Assim, o próximo número será 320480 =× . Portanto, a resposta correta é a C. 
 
 
Continuando a sequência numérica 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... teremos: 
 
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25 
 
Vamos primeiro estabelecer as relações numéricas entre os valores apresentados na 
sequência: 
 
54247 =− 
53742 =− 
43337 =− 
 
 12 
42933 =− 
32629 =− 
 
 
 
Vamos analisar agora mais dois exemplos. Preste atenção! 
 
1- O próximo número da sequência numérica 10, 4, 18, 5, 28, 6, ... será: 
 
(a) 37 (b) 38 (c) 39 (d) 40 (e) 41 
 
Podemos notar que esta sequência está dividida em duas subsequências alternadas: 
 
10 – 4 – 18 – 5 – 28 – 6 
 
A subsequência 4,5,6, ... irá naturalmente ser continuada por 7. 
 
Com relação à outra subsequência, 10,18,28, ... , vamos analisar as diferenças entre 
os seus valores: 
 
101828 =− e 5210 ×= 
81018 =− e 428 ×= 
 
Portanto, observe que a diferença entre os números 10 e 18 é de 8 unidades, que é 
justamente o dobro de 4 (número que está entre o 10 e o 18). 
Da mesma forma, a diferença entre os números 18 e 28 é de 10 unidades, que é 
justamente o dobro de 5 (número que está entre o 18 e o 28). 
 
Seguindo o mesmo raciocínio devemos utilizar o dobro de 6 para passar de 28 para o 
próximo número da sequência: ( ) 4012286228 =+=×+ . 
 
A sequência irá ficar assim: 
 
10 – 4 – 18 – 5 – 28 – 6 – 40 – 7 
 
Portanto, a resposta correta é a D. 
 
 
2- Os próximos dois números na seqüência numérica 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... são: 
 
(a) 34, 55 (b) 43, 55 (c) 47, 62 (d) 35, 54 (e) 34, 54 
 
Solução 
 
Depois que entendemos qual a ligação entre os números da 
sequência fica sempre mais fácil determinar qual será o próximo 
número. Precisamos completar a sequência com um número 
cuja diferença para 26 seja 3, ou seja: 23326 =− . 
 
Logo, a resposta correta é a C. 
 
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Nesta sequência podemos observar que cada número é formado exatamente pela soma 
dos valores dos dois números que o antecedem. Observe como, partindo apenas dos 
dois primeiros valores, 1 e 2, teremos: 
 
321 =+ → 3 
532 =+ → 5 
853 =+ → 8 
1385 =+ → 13 
21138 =+ → 21 
 
Seguindo a mesma linha de raciocínio: 
 
342113 =+ → 34 
553421 =+ → 55 
 
Portanto a sequência numérica será: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... 
A resposta correta é a A. 
 
Tudo entendido até aqui? 
 
 
 
Vamos estudar agora algumas questões em que os números aparecem em tabelas ou 
diagramas formados por figuras geométricas. 
 
Não se confunda! Apesar de a aparência ser um pouco diferente, o tipo de raciocínio é 
o mesmo. Você deve se preocupar apenas em encontrar qual operação aritmética faz a 
ligação entre os números apresentados. Quando você tiver descoberto isso, o problema 
estará resolvido. 
 
Podemos começar? 
 
Na tabela seguinte, fazendo uma operação aritmética, dois dos números de cada linha 
ou coluna têm como resultado o terceiro número. Qual é o número que falta? 
 
10 6 4 
6 ? 2 
4 2 2 
 
Vamos verificar o que acontece na primeira linha: 4610 += . O mesmo ocorre na 
última linha: 224 += . Logo, teremos: 2 ?6 += . Daí concluímos que: 4 ? = . 
 
Podemos também verificar esse resultado fazendo as operações pelas colunas: 
4610 += , 2 46 += e 224 += . 
 
Portanto, o número que falta é o 4. Acertou? 
Importante 
 
Caso apresente alguma dúvida acesse a SALA DO TUTOR e 
converse com o Orientador Acadêmico. 
 
 14 
 
Na tabela seguinte, fazendo uma operação aritmética, dois dos números de cada linha 
ou coluna têm como resultado o terceiro número. Qual é o número que falta? 
 
2 6 12 
5 4 20 
10 24 ? 
 
Inicialmente, vamos pensar nas operações realizadas nas linhas. Na primeira linha 
temos 1262 =× e na segunda linha 2045 =× . Logo, teremos: ?2410 =× . Daí 
concluímos que: 240 ? = . 
 
Podemos também verificar este resultado fazendo as operações pelas colunas: 
1052 =× , 2446 =× e 2402012 =× . 
 
Portanto, o número que falta é o 240. 
 
Vamos exercitar ? 
 
Primeiro exercício 
Sabendo que a mesma regra é utilizada na formação dos três triângulos, descubra 
qual é o número que está faltando: 
 
 3 2 4 
 
 
 
 
 
 
2 7 4 11 3 6 
 
(a) 48 (c) 52 (e) 44 
(b) 42 (d) 38 
 
 
E então, conseguir resolver o problema ? 
 
 
 
 
Solução 
 
No primeiro triângulo temos: ( ) 3575732 =×=×+ . 
No segundo triângulo, temos: ( ) 661161124 =×=×+ . 
 
Utilizando o mesmo raciocínio no terceiro triângulo, chegaremos 
ao seguinte resultado: ( ) 4267643 =×=×+ 
 
Portanto, a resposta correta é a B. 
 
 35 
 
 
 
 
 
 66 ? 
 
 15 
Segundo exercício 
 
Preencha o espaço em branco com os números que seguem a lógica do problema: 
 
4 6 9 13 ... 
5 8 11 14 ... 
 
(a) 
19
16
 (b) 
17
18
 (c) 
19
18
 (d) 
18
15
 (e) 
18
17
 
 
 
 
Outro modelo bastante comum de exercício envolvendo sequencias numéricas é aquele 
em que, ao invés de acrescentar um novo número a uma sequência estabelecida, você 
deverá descobrir qual dos números apresentados não pertence à sequência, pois não 
obedece ao mesmo critério lógico dos demais números. 
 
Vamos fazer três exemplos desse tipo de problema: 
 
EXEMPLO 1: 
 
Qual desses números não pertence à seguinte série numérica? 
 
1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 10 - 11 – 13 
 
Neste caso é imediato observar que todos os números que aparecem na sequência são 
ímpares, exceto o número 10. Ou ainda, que de um número para o seguinte são 
acrescentadas 2 unidades, exceto de 9 para 10, onde a diferença é de 1 unidade. 
Solução 
 
Neste problema, devemos analisar as duas sequências 
separadamente. 
 
Os números que fazem os numeradores formam a seguinte 
sequência: 4 – 6 – 9 – 13 – ... 
 
624 =+ 
936 =+ 
1349 =+ 
 
Logo, devemos completar com: 18513 =+ → 18. 
 
Os números que são os denominadores formam a seguinte 
sequência: 5 – 8 – 11 – 14 – ... 
 
835 =+ 
1138 =+ 
14311 =+ 
 
Logo, devemos completar com: 17314 =+ → 17. 
 
Portanto, a resposta correta é a B. 
 
 
 16 
 
Logo, o número que não pertence a esta série numérica é o 10. 
 
EXEMPLO 2: 
 
Qual desses números não pertence à seguinte série numérica? 
 
9 – 7 – 8 – 6 – 7 – 5 – 6 – 3 
 
Neste caso, podemos notar que do primeiro para o segundo número ocorre uma 
diminuição de duas unidades, depois um aumento de uma unidade, depois uma 
diminuição de duas unidades e assim sucessivamente. Observe: 
 
9 (- 2 =) 7 (+1=) 8 (-2=) 6 (+1=) 7 (-2=) 5 (+1=) 6 (-2=) 4 
 
Portanto, no lugar do número 3 no final da sequência deveria haver um número 4. 
 
Logo, o número que não pertence a esta série numérica é o 3. 
 
EXEMPLO 3: 
 
Qual dos números não pertence à seguinte série numérica? 
 
2 – 3 – 6 – 7 – 8 – 14 – 15 – 30 
 
Neste exemplo, verificamos quea sequência é formada pelo acréscimo de 1 unidade, 
seguido da multiplicação por 2, depois novo acréscimo de 1 unidade e assim 
sucessivamente. Observe: 
 
2 (+1=) 3 (x2=) 6 (+1=) 7 (x2=) 14 (+1=) 15 (x2=) 30 
 
Logo, o número que não pertence a esta série numérica é o 8. 
 
Para terminar a nossa aula, vamos apresentar mais um exemplo para que você possa 
testar os seus conhecimentos. Tente resolver a seguinte questão, mas só olhe a 
resposta depois de ter tentado realmente fazer o exercício! 
 
EXEMPLO 
 
Considere a seguinte sequência de números: 3 – 12 – 27 – ? – 75 – 108 – 147 – 192. O 
número que preenche adequadamente a quarta posição desta sequência é: 
 
(a) 36 (b) 40 (c) 42 (d) 44 (e) 48 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Note que, nesta sequência, se dividirmos cada número por 3 teremos a seguinte 
sequência: 
1 – 4 – 9 – ? – 25 – 36 – 49 – 64, que é uma sequência de quadrados perfeitos de 1 até 
8. 
 
Isto é: 2222222 8765?321 −−−−−−− . Portanto, falta o número 1642 = . 
 
 
 17 
Logo, na sequência original devemos utilizar 48316 =× . 
 
Portanto, a resposta correta é a E. 
 
 
 
 
Bem, não se esqueça de fazer as atividades e exercícios propostos. 
Até a nossa próxima aula! 
Saiba mais 
 
De modo geral, situações que exigem raciocínio lógico 
envolvendo sequências de números podem aparecer das mais 
variadas formas. 
 
Até mesmo em situações de jogos, como você pode ver no 
seguinte endereço eletrônico: 
http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00299/leerling_pt.html 
 
Sudoku online 
http://sudoku.hex.com.br/ 
 
 18 
 
 O Princípio Fundamental da Contagem 
e o Diagrama de Árvore 
 
Nesta aula iremos abordar o Princípio Fundamental da Contagem, que é um método 
desenvolvido para facilitar a contagem do número de elementos de um conjunto ou 
lista ordenada. 
 
Objetivo 
Esperamos que você, ao final desta aula, seja capaz de resolver problemas simples de 
análise combinatória, estando apto a identificar e aplicar alguns métodos que 
permitam a contagem do número de elementos de um conjunto, sendo estes 
elementos agrupados sob certas condições. 
 
Bem, vamos começar esta aula falando um pouco de Análise Combinatória. 
 
O objetivo principal da Análise Combinatória é desenvolver técnicas que permitam a 
contagem do número de elementos de um conjunto. 
 
À primeira vista, você pode estar pensando que é isso é desnecessário; de fato, você 
tem até certa razão. Se o número de elementos que queremos contar é pequeno, a 
contagem pode ser feita de forma direta. Entretanto, se o número de elementos a 
serem contados for grande, esse trabalho torna-se quase impossível sem o uso de 
métodos específicos de contagem. 
 
Por exemplo: imagine que queremos determinar quantos números de três algarismos 
distintos podem ser formados a partir dos dígitos 1, 2 e 3. 
 
Nesse caso, por simples enumeração (listagem dos números), podemos ver que os 
números que satisfazem às condições impostas são: 123, 132, 213, 231, 312, 321. 
Portanto, podem ser formados 6 números. 
 
Agora, imagine que se queira determinar quantos números de quatro algarismos 
distintos podem ser formados a partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. 
 
Você percebeu que, neste caso, é muito mais trabalhoso obter todas as respostas para 
essa situação? Podemos fazer a enumeração: 1234, 1235, 1236, 1237, ... , 8763, 
8764, 8765. Mas a pergunta inicial ainda ficou sem resposta: quantos números 
existem nessa listagem? 
 
Acompanhe também os seguintes problemas: 
• De quantos modos distintos podemos arrumar quinze pessoas em fila indiana? 
• De quantas formas diferentes podem ser sorteados os números da Mega-Sena? 
• Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 20 questões de múltipla escolha, 
com 5 alternativas por questão? 
 
Tais problemas podem ser resolvidos quase sempre por meio de um raciocínio simples 
e sem exigir o uso de fórmulas complicadas. É isto que procuramos mostrar nos 
exemplos a seguir, onde será abordado o Princípio Fundamental da Contagem. 
 
EXEMPLO 1: 
 
 
 19 
Uma bandeira, com o formato do desenho abaixo, deve ser pintada utilizando duas 
dentre as três cores disponíveis: branco, cinza e preto. De quantas maneiras diferentes 
isso pode ser feito? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver o problema vamos inicialmente listar todas as bandeiras que podem ser 
formadas utilizando as três cores indicadas. 
 
É importante seguir um procedimento sistemático para listar todas as possíveis 
bandeiras. Assim, poderemos ter certeza de não ter esquecido nenhuma possibilidade 
e não ter repetido alguma bandeira. 
 
Para tal, devemos identificar as diferentes decisões a serem tomadas e examinar todas 
as possibilidades para cada uma dessas decisões. No caso desse problema, uma forma 
natural para planejar o preenchimento da bandeira é a seguinte: 
 
1. Escolher a cor a ser utilizada para a parte externa da bandeira. 
2. A seguir, escolher a cor a ser utilizada na estrela, que é a parte interna da bandeira. 
 
A primeira decisão pode ser feita de 3 modos diferentes, já que a cor externa pode ser 
qualquer uma das três cores disponíveis: branco, cinza ou preto. No entanto, observe 
que, uma vez tomada essa decisão, a cor que foi escolhida não poderá mais ser 
utilizada na estrela interna. 
 
Por exemplo, se a cor preta foi a cor escolhida para parte externa, a cor interna só 
poderá ser cinza ou branca. 
 
Agora, podemos listar todas as possíveis bandeiras, que serão 6: 
 
Com a 
cor 
externa 
branca: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a 
cor 
externa 
cinza: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a 
cor 
externa 
preta: 
 
 
 
 
 
 
 20 
 
 
 
Poderíamos ter empregado o seguinte raciocínio para contar o número de possíveis 
bandeiras, sem precisar listá-las: 
 
A cor externa pode ser escolhida de três modos diferentes. Qualquer que seja esta 
escolha, a cor escolhida não poderá mais ser utilizada e restarão ainda duas outras 
cores. Portanto, a cor da estrela poderá ser escolhida apenas de dois modos. 
 
Logo, o número total de possibilidades é: 623 =× . 
 
A resposta ao nosso problema é que existem seis maneiras diferentes para pintar essa 
bandeira. 
 
Esse primeiro exemplo resolvido ilustra o procedimento do Princípio 
Fundamental da Contagem. Em que consiste este princípio? 
 
Princípio Fundamental da Contagem: 
 
Considere uma ação que é constituída de duas etapas sucessivas, em que a 1ª etapa 
pode ser realizada de n maneiras distintas e, para cada uma dessas possibilidades, a 
2ª etapa pode ser realizada de m maneiras distintas. Nessas condições, o número de 
possibilidades de se efetuar a ação completa é dada por mn× . 
 
Naturalmente este princípio pode ser generalizado para ações constituídas por mais do 
que duas etapas sucessivas. No entanto, devemos observar que, se a ação é 
constituída de três etapas sucessivas, a 2ª etapa só poderá ser realizada depois que a 
1ª etapa já tenha sido realizada e a 3ª etapa só poderá ser realizada depois que a 2ª 
etapa tenha sido realizada. 
 
O Princípio Fundamental da Contagem pode ser ilustrado com o auxílio de um 
Diagrama de Árvore, que é um diagrama onde são listadas visualmente todas as 
possibilidades. 
 
Voltando ao nosso primeiro exemplo, teríamos: 
 
 Cor interna – Cor externa 
 
 21 
 
 
EXEMPLO 2: 
 
Considere a mesma bandeira do exemplo 1. Essa bandeira deve ser pintada utilizando 
duas dentre quatro cores disponíveis. De quantas maneiras diferentes isto pode ser 
feito? 
 
Observe que o problema continua sendo composto por duas ações distintas: pintar a 
parte externa da bandeira e pintar a parte interna da bandeira. Mas agora o número 
de cores disponíveis é maior. 
 
Número de possibilidades para a cor na parte externa: 4 
Número de possibilidade para a cor na parteinterna: 3 
 
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, temos: 1234 =× . Portanto, agora 
existem 12 maneiras diferentes de pintar a bandeira. 
 
EXEMPLO 3: 
 
De quantas maneiras diferentes podemos pintar a bandeira a seguir utilizando 3 cores 
diferentes dentre 4 cores disponíveis? 
 
 
 
Observe que, neste caso, o problema é constituído por 3 etapas distintas: pintar a 
parte externa da bandeira, pintar a estrela e pintar o círculo. 
 
Número de possibilidades para a cor na parte externa: 4 
Número de possibilidades para a cor da estrela: 3 
Número de possibilidades para a cor do círculo: 2 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 24234 =×× . 
Portanto, existem 24 maneiras diferentes de pintar a bandeira com as quatro cores 
disponíveis. 
 
Veja agora mais alguns exemplos de problemas de contagem que podem ser facilmente 
resolvidos sem a necessidade de fórmula, apenas utilizando o Princípio Fundamental 
da Contagem: 
 
EXEMPLO 4: 
 
Um grupo de oito atletas participa de uma importante corrida. De quantas maneiras 
diferentes podem ser distribuídos os prêmios de primeiro, segundo e terceiro lugares 
nesta corrida? 
 
 
 22 
Observe que o problema é constituído por 3 etapas distintas. Devemos escolher o 
vencedor da prova, depois devemos escolher o segundo colocado e posteriormente 
escolher o terceiro colocado. 
 
Como o total de atletas é igual a 8, existem 8 possibilidades para a escolha do 
vencedor. Uma vez feita esta escolha, restam 7 atletas competindo e portanto são 7 
escolhas possíveis para o segundo colocado. Uma vez feita também esta escolha, 
restam 6 atletas competindo, e temos 6 escolhas possíveis para o terceiro colocado. 
Resumindo esse raciocínio: 
 
Número de possibilidades para o vencedor: 8 
Número de possibilidades para o segundo colocado: 7 
Número de possibilidades para o terceiro colocado: 6 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 336678 =×× . 
Portanto, existem 336 maneiras diferentes de distribuir os prêmios de primeiro, 
segundo e terceiro lugares nessa corrida. 
 
EXEMPLO 5: 
 
Quantas palavras contendo três letras distintas podem ser formadas com um alfabeto 
de 26 letras? 
 
O problema é constituído por três etapas distintas: escolher a primeira letra, escolher 
a segunda letra e escolher a terceira letra. 
 
Número de possibilidades para a primeira letra: 26 
Número de possibilidades para a segunda letra: 25 
Número de possibilidades para a terceira letra: 24 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 600.15242526 =×× . 
Portanto, podem ser formadas 15.600 palavras diferentes com 3 letras distintas. 
 
EXEMPLO 6: 
 
Usando as 23 letras do nosso alfabeto, quantas palavras com cinco letras distintas 
podem ser formadas sabendo-se que a primeira letra deve ser sempre uma vogal? 
 
Neste caso, o problema é composto por 5 etapas distintas. Observe também que existe 
uma restrição adicional na escolha da primeira letra: ela só poderá ser uma vogal (a, e, 
i, o, u). 
 
Número de possibilidades para a primeira letra: 5 (a primeira letra tem que ser uma 
vogal) 
Número de possibilidades para a segunda letra: 22 
Número de possibilidades para a terceira letra: 21 
Número de possibilidades para a quarta letra: 20 
Número de possibilidades para a quinta letra: 19 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 800.877192021225 =×××× . 
Portanto, podem ser formadas 877.800 palavras diferentes com 5 letras distintas e 
começando por uma vogal. 
 
EXEMPLO 7: 
 
 23 
 
Quantos são os gabaritos possíveis para um teste de 10 questões de múltipla escolha 
com cinco alternativas por questão? 
 
Observe que este problema consiste de 10 etapas distintas e independentes. Devemos 
determinar de quantas maneiras é possível fazer a escolha da resposta em cada uma 
das 10 questões de múltipla escolha. Note que o aluno pode repetir a mesma resposta 
em mais de uma questão, ou seja, a escolha da letra (a) na primeira questão não 
elimina a possibilidade de escolha dessa opção nas demais questões. 
 
Logo, para cada questão de múltipla escolha existem 5 possibilidades de resposta. 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
625.765.9 5 5555555555 10 ==××××××××× . 
 
Portanto, existem 625.765.9 5 10 = gabaritos diferentes para um teste de 10 questões 
de múltipla escolha com cinco alternativas por questão. 
 
EXEMPLO 8: 
 
Quantos números inteiros há entre 1.000 e 9.999, cujos algarismos são distintos? 
 
Podemos resolver facilmente esta questão aplicando o Princípio Fundamental da 
Contagem. Note que todos os inteiros entre 1.000 e 9.999 possuem quatro algarismos. 
Portanto, o nosso problema consiste em quatro etapas distintas: a escolha de cada um 
destes quatro algarismos. 
 
Número de possibilidades para a escolha do primeiro algarismo: 9 
(apenas 9 algarismos são possíveis, já que o algarismo zero não pode ser escolhido) 
 
Número de possibilidades para a escolha do segundo algarismo: 9 
(10 algarismos possíveis, exceto o que foi escolhido para a primeira posição) 
 
Número de possibilidades para a escolha do terceiro algarismo: 8 
(10 algarismos possíveis, exceto os que foram escolhidos para a primeira e a segunda 
posições) 
 
Número de possibilidades para a escolha do quarto algarismo: 7 
(10 algarismos possíveis, exceto os que foram escolhidos para a primeira, a segunda e 
a terceira posições) 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 536.47899 =××× . 
Portanto, existem 4.536 números de quatro algarismos entre 1.000 e 9.999. 
 
EXEMPLO 9: 
 
Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem os dois primeiros 
dígitos distintos? 
 
Para resolver este problema precisamos fazer a escolha de cada um dos três 
algarismos que irão compor este número. Utilizando o Princípio Fundamental da 
Contagem, temos: 
 
 
 24 
Número de possibilidades para a escolha do primeiro algarismo: 9 
(apenas 9 algarismos são possíveis, o algarismo zero não pode ser escolhido) 
 
Número de possibilidades para a escolha do segundo algarismo: 9 
(10 algarismos possíveis, exceto o que foi escolhido para a primeira posição) 
 
Número de possibilidades para a escolha do terceiro algarismo: 5 
(apenas 5 algarismos são possíveis, pois, para que o número seja ímpar, o último 
algarismo deve ser 1, 3, 5, 7 ou 9) 
 
Portanto: 405599 =×× . Concluímos que existem 405 números inteiros ímpares com 
os dois primeiros dígitos distintos entre 100 e 999. 
 
O Princípio Fundamental da Contagem é utilizado também para resolver problemas 
que envolvem a permutação simples de elementos dentro de um conjunto. 
 
Veja como é simples. Permutar significa trocar, alterar de posição. Portanto, neste tipo 
de problema estamos interessados em descobrir de quantas formas diferentes um 
grupo de elementos pode ser alterado apenas trocando-se a ordem em que esses 
elementos aparecem. 
 
Repare bem que os elementos são sempre os mesmos, o que muda em uma 
permutação é apenas a ordem em que eles irão aparecer. 
 
Vamos fazer alguns exemplos desse tipo: 
 
EXEMPLO 10: 
 
De quantas maneiras diferentes podemos arrumar 4 pessoas, Ana, Bruno, Carla e 
Daniel, em uma fila indiana? 
 
Representando cada pessoa pela letra inicial de seu nome e fazendo todas as 
possibilidades, temos como solução deste problema as seguintes ordenações: 
 
ABCD BACD CABD DABC 
ABDC BADC CADB DACB 
ACBD BCAD CBAD DBAC 
ACDB BCDA CBDA DBCA 
ADBC BDAC CDAB DCAB 
ADCB BDCA CDBA DCBA 
 
Como você pode notar, podemos formar 24 filas distintas com estas quatro pessoas. 
 
No entanto, queremos chegar a esse resultado sem a necessidade de enumerar todas 
as possibilidades. Você já pensou se fossem 2.400 possibilidades? Como fazer? 
 
Basta recorrer ao Princípio Fundamental da Contagem. A fila pode ser representada 
por meio de quatro posições numeradas. Observe que existem 4 possibilidadesde 
pessoas para ocupar o 1º lugar da fila, 3 possibilidades de pessoas para ocupar o 2º 
lugar da fila, 2 possibilidades de pessoas para ocupar o 2º lugar da fila e o último 
lugar na fila será ocupado pela única pessoa que restou. Ou seja, 
 
1º 2º 3º 4º 241234 =××× 4 3 2 1 
 
 25 
 
Logo, existem 24 maneiras diferentes de arrumar quatro pessoas em fila indiana. 
 
EXEMPLO 11: 
 
Quantos são os anagramas da palavra PRATICO? 
 
Inicialmente, cabe explicar aqui o que é um anagrama. Um anagrama consiste em 
uma palavra obtida pela transposição das letras de outra palavra. Por exemplo, a 
palavra perda é um anagrama da palavra padre. A palavra maca é um anagrama da 
palavra cama. Entendido? 
 
Então, assim como no problema anterior o nosso interesse era trocar de ordem as 
pessoas (Ana, Bruno, Carla e Daniel), neste problema temos que trocar de ordem as 
letras da palavra PRATICO. Por exemplo, pracito e tocapri são anagramas da palavra 
pratico. De quantas maneiras essa troca de ordem das letras poderá ser feita? 
 
Número de possibilidades para a escolha da primeira letra: 7 
Número de possibilidades para a escolha da segunda letra: 6 
Número de possibilidades para a escolha da terceira letra: 5 
Número de possibilidades para a escolha da quarta letra: 4 
Número de possibilidades para a escolha da quinta letra: 3 
Número de possibilidades para a escolha da sexta letra: 2 
Número de possibilidades para a escolha da sétima letra: 1 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 040.51234567 =×××××× . 
Portanto, existem 5.040 diferentes anagramas da palavra PRATICO. 
 
EXEMPLO 12: 
 
Considere a palavra TEORIA. Quantos anagramas dessa palavra começam pela letra T 
e terminam por uma vogal? 
 
Nessa questão precisamos trocar a ordem das letras da palavra TEORIA. No entanto, 
existem duas restrições: a primeira letra deve ser sempre um T e a última letra deve 
ser sempre uma vogal. 
 
Observe então que para a escolha da primeira letra só temos uma possibilidade (T) e 
para a escolha da última letra temos 4 possibilidades (E,O,I,A). Depois que a primeira 
e última letras tiverem sido escolhidas, restarão 4 letras para serem colocadas nas 4 
posições restantes. Resumindo este raciocínio: 
 
Número de possibilidades para a escolha da primeira letra: 1 
Número de possibilidades para a escolha da sexta e última letra: 4 
Número de possibilidade para a escolha da segunda letra: 4 
Número de possibilidade para a escolha da terceira letra: 3 
Número de possibilidade para a escolha da quarta letra: 2 
Número de possibilidade para a escolha da quinta letra: 1 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 96412341 =××××× . 
Portanto, existem 96 diferentes anagramas da palavra TEORIA começando com a letra 
T e terminando por uma vogal. 
 
 
 26 
Infelizmente nossa aula já está chegando ao fim. Antes de terminarmos, vamos propor 
a você mais uma questão. Tente fazer sozinho antes de olhar a resposta. Resolva com 
atenção! 
 
EXEMPLO 13: 
 
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode ser aberto? 
 
Repare que para a primeira porta existem duas opções: aberta ou fechada. Para a 
segunda porta também existem as mesmas duas opções e assim sucessivamente. Em 
cada porta, existem duas possibilidades: a porta pode estar aberta ou fechada. 
 
Portanto para o conjunto de 6 portas, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 
existem 64222222 =××××× possibilidades diferentes. De todas estas 
possibilidades, existe apenas uma delas em que o salão estará fechado: se todas as 
portas estiverem fechadas. Se uma das portas estiver aberta, o salão estará aberto. 
 
Daí, concluímos que existem 63164126 =−=− modos distintos de abrir um salão de 
6 portas. 
 
Até a nossa próxima aula! 
 
 27 
 
 
Problemas de Correlação 
 
Nesta aula iremos abordar problemas envolvendo o correlacionamento entre 
elementos de um mesmo universo, através da resolução de exercícios de correlação 
de nível fácil e intermediário. 
 
Objetivo: 
Esperamos que você, ao final desta aula, seja capaz de utilizar estruturas lógicas para 
estabelecer relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas e eventos, estando, 
dessa forma, completamente apto a deduzir novas informações a partir de um 
conjunto de relações e informações previamente fornecidas. 
 
Problemas de correlação são aqueles em que são prestadas informações de diferentes 
tipos, como: nomes, profissões, atividades, locais, cores, esposas etc. 
 
Nesse tipo de problema, devemos sempre procurar fazer a ligação, ou seja, a 
correlação entre os dados apresentados no conjunto de informações. 
 
Você saberá que está tentando resolver um exercício de correlação sempre que o 
problema pedir que identifique “quem usou o quê”, “quem foi aonde”, “quem estava 
com quem”, “de que cor era” etc. 
 
Vamos começar apresentando um método que pode ser utilizado para resolver 
problemas desse tipo. A explicação será feita através de um exemplo bem simples. 
 
Leia com atenção! 
 
EXEMPLO 1: 
 
Três homens, Carlos, Bruno e José, são casados com Amanda, Eulina e Maria, mas 
não sabemos quem é casado com quem. Eles trabalham em Engenharia, 
Administração e Medicina, mas também não sabemos quem faz o quê. Com base nas 
informações a seguir, tente descobrir o nome de cada marido, a profissão de cada um 
e o nome de suas esposas. 
 
1. O médico é casado com Maria. 
2. José é administrador de empresas. 
3. Eulina não é casada com José. 
4. Carlos não é médico. 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: 
 
Bem, vamos iniciar a nossa tarefa! 
 
Para facilitar a resolução do problema, vamos construir uma tabela, passo a passo, 
contendo os três grupos de informações: homens, esposas e profissões. 
 
Escolha um dos grupos e coloque cada um de seus elementos em uma linha. Vamos 
escolher os nomes dos homens: 
 
 
 
 28 
Carlos 
Bruno 
José 
 
Agora, o passo seguinte é criar uma coluna para cada elemento dos outros grupos, no 
caso as profissões e as esposas: 
 
 
M
éd
. 
E
ng
. 
A
dm
. 
A
m
an
da
 
E
ul
in
a 
M
ar
ia
 
Carlos 
Bruno 
José 
 
Por fim, toma-se o último grupo das colunas (neste caso, o das esposas) e cria-se uma 
linha para cada um de seus elementos, colocando-os abaixo da última linha: 
 
 
M
éd
. 
E
ng
. 
A
dm
. 
A
m
an
da
 
E
ul
in
a 
M
ar
ia
 
Carlos 
Bruno 
José 
Amanda 
Eulina 
Maria 
 
Observe ainda que os buracos na tabela representam regiões onde as informações 
seriam cruzadas com elas mesmas, o que é desnecessário. 
 
A próxima etapa consiste na construção da Tabela Gabarito, que não servirá apenas 
como gabarito; em alguns casos ela é fundamental para que se enxerguem as 
informações que não estão evidentes na tabela principal. 
 
Homens Profissões Esposas 
Carlos 
Bruno 
José 
 
Iniciamos a resolução marcando com S (sim) todas as afirmações que aparecem nas 
informações fornecidas no enunciado e preenchendo com N (não) as casas restantes 
da mesma linha e coluna onde cada S aparece. 
 
Utilizando as afirmações: (1) O médico é casado com Maria e (2) José é administrador 
de empresas, teremos: 
 
Tabela principal: 
 
 29 
 
 
M
éd
. 
E
ng
. 
A
dm
. 
A
m
an
da
 
E
ul
in
a 
M
ar
ia
 
Carlos N 
Bruno N 
José N N S 
Amanda N 
Eulina N 
Maria S N N 
 
Tabela gabarito: 
 
Homens Profissões Esposas 
Carlos 
Bruno 
José Administrador 
 
Repare que as letras N colocadas do diagrama estão nos dizendo que: 
 
Do fato de José ser o administrador podemos concluir que ele não é médico, ele não é 
engenheiro, Bruno não é o administrador e Carlos tambémnão é o administrador. 
A seguir marca-se com N as negações que aparecem nas dicas. Observe que temos as 
seguintes negações: (3) Eulina não é casada com José e (4) Carlos não é médico. 
 
Você deve prestar muita atenção, pois no caso das negações não se deve preencher 
com S as casas restantes das mesmas linhas e colunas onde cada N aparece. Isso 
ocorre porque o fato de Carlos não ser médico não nos permite afirmar que ele seja 
administrador ou engenheiro. 
 
Tabela principal: 
 
 
M
éd
. 
E
ng
. 
A
dm
. 
A
m
an
da
 
E
ul
in
a 
M
ar
ia
 
Carlos 
Bruno 
José 
 
Agora entramos na última etapa da resolução do problema e podemos deduzir por 
eliminação todas as correlações restantes. 
 
Se nem Carlos nem José são médicos, logo Bruno é o médico. 
 
Tabela gabarito: 
 
Homens Profissões Esposas 
 
 30 
Carlos 
Bruno 
José Administrador 
 
Se Bruno é médico e José é administrador, então Carlos é engenheiro. 
 
Tabela principal: 
 
 
M
éd
. 
E
ng
. 
A
dm
. 
A
m
an
da
 
E
ul
in
a 
M
ar
ia
 
Carlos N S N 
Bruno S N N 
José N N S N 
Amanda N 
Eulina N 
Maria S N N 
 
Tabela gabarito: 
 
Homens Profissões Esposas 
Carlos Engenheiro 
Bruno Médico 
José Administrador 
 
Observe que, se o médico é casado com Maria, então a tabela principal ficará assim: 
 
Tabela principal: 
 
 
M
éd
. 
E
ng
. 
A
dm
. 
A
m
an
da
 
E
ul
in
a 
M
ar
ia
 
Carlos N S N N 
Bruno S N N N N S 
José N N S N N 
Amanda N 
Eulina N 
Maria S N N 
 
Tabela gabarito: 
 
Homens Profissões Esposas 
Carlos Engenheiro 
Bruno Médico Maria 
José Administrador 
 
 31 
 
 
Se José não é casado com Eulina nem Maria, logo José só pode ser casado com 
Amanda. 
 
Tabela gabarito: 
 
Homens Profissões Esposas 
Carlos Engenheiro 
Bruno Médico Maria 
José Administrador Amanda 
 
Só restou então para Carlos ser casado com Eulina. 
 
Tabela gabarito: 
 
Homens Profissões Esposas 
Carlos Engenheiro Eulina 
Bruno Médico Maria 
José Administrador Amanda
 
E este é o formato final da tabela-gabarito. Agora já foram feitas todas as correlações. 
 
Percebeu como o método de resolução é realmente simples. Basta seguir os passos 
indicados, um de cada vez e sem pressa. 
 
Vamos estudar agora outro problema envolvendo correlação de elementos. 
Preste bastante atenção! 
 
EXEMPLO 2: 
 
Um funcionário de uma seção da Procuradoria de Justiça foi incumbido de colocar nas 
cinco prateleiras de um armário cinco tipos de documentos, distintos entre si. Para 
tal, recebeu as seguintes instruções: 
• em cada prateleira, deverá ficar apenas um tipo de documento. 
• os processos a serem examinados deverão ficar em uma prateleira que fica acima da 
prateleira dos impressos em branco e imediatamente abaixo da prateleira de relatórios 
técnicos. 
• os registros financeiros deverão ficar em uma prateleira acima da prateleira de 
correspondências recebidas, que, por sua vez, deverão ficar na prateleira 
imediatamente abaixo da prateleira dos processos a serem encaminhados. 
 
Se o funcionário conseguir cumprir todas as instruções recebidas, então na prateleira 
mais alta, deverão ficar: 
 
(a) os processos a serem encaminhados. 
(b) as correspondências recebidas. 
(c) os registros financeiros. 
(d) os relatórios técnicos. 
(e) os impressos em branco. 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: 
 
 32 
 
Inicialmente vamos registrar as informações passadas no enunciado. 
 
Podemos identificar cinco tipos de documentos: 
 
• Processos 
• Relatórios Ttcnicos 
• Correspondências recebidas 
• Documentos em branco 
• Registros financeiros 
 
Também podemos identificar que: 
 
1. Processos devem ficar acima de documentos em branco 
2. Processos devem ficar imediatamente abaixo de relatórios técnicos 
3. Registros financeiros devem ficar acima de correspondências recebidas 
4. Correspondências recebidas devem ficar imediatamente abaixo de processos 
 
Olhando apenas para as sentenças (2) e (4), vemos que os Relatórios, Processos e 
Correspondências devem aparecer em prateleiras consecutivas, exatamente nesta 
ordem, de cima para baixo. Vamos analisar as possibilidades em uma tabela: 
 
 
 POSSIBILIDADE I POSSIBILIDADE II POSSIBILIDADE III 
P5 Relatórios 
P4 Processos Relatórios 
P3 Correspondências Processos Relatórios 
P2 Correspondências Processos 
P1 Correspondências 
 
O próximo passo a ser dado é utilizar as informações referentes aos documentos em 
branco e registros financeiros para decidir qual das três possibilidades é a correta. 
 
Você consegue fazer isto? Tente! 
 
Pela sentença (1) sabemos que os processos devem estar acima dos documentos em 
branco. Portanto, a possibilidade III deve ser descartada. 
 
Pela sentença (3) sabemos que os registros financeiros devem estar acima das 
correspondências recebidas. Portanto , a possibilidade I também deve ser descartada. 
 
Portanto, a possibilidade correta é a de número II. 
 
 
 POSSIBILIDADE II 
P5 
P4 Relatórios 
P3 Processos 
P2 Correspondências 
P1 
 
 
 33 
Com base nas sentenças (1) e (3), completamos a tabela com os registros financeiros 
na prateleira P5 e os documentos em branco na prateleira P1. Logo: 
 
P5 Registros financeiros 
P4 Relatórios técnicos 
P3 Processos 
P2 Correspondências recebidas 
P1 Documentos em branco 
 
Portanto, conseguimos concluir que na prateleira mais alta deverão ficar os registros 
financeiros. A resposta correta é a letra C. 
 
Viu como as coisas não são tão difíceis!? 
 
Se você entendeu bem a resolução do problema das prateleiras, está na hora de tentar 
fazer sozinho o próximo problema. 
 
Se encontrar alguma dificuldade, pare e leia novamente a resolução do problema 
anterior. Só olhe a resposta depois de ter concluído a sua resolução. Vamos lá! 
 
QUESTÃO 3: 
 
Sete funcionários de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flávio e 
Geraldo) foram divididos em 3 grupos para realizar uma tarefa. Essa divisão deve ser 
feita de modo que: 
• Cada grupo possua no mínimo 2 pessoas e no máximo 3 pessoas. 
• Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo. 
• Beatriz, Arnaldo e Carlos não podem ficar no mesmo grupo de Geraldo. 
• Beatriz deve ficar no mesmo grupo de Flávio. 
• Carlos e Beatriz não podem ficar no mesmo grupo. 
 
Então, estarão necessariamente no mesmo grupo: 
 
(a) Arnaldo e Carlos. 
(b) Arnaldo e Douglas. 
(c) Carlos e Flávio. 
(d) Edna e Geraldo 
(e) Flávio e Geraldo. 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 3: 
 
Observando as informações existentes no enunciado, podemos chegar a dois tipos de 
conclusão: 
 
I) Edna e Arnaldo têm que ficar no mesmo grupo 
 Beatriz e Flávio têm que ficar no mesmo grupo 
 
II) Beatriz e Geraldo devem ficar em grupos diferentes 
 Arnaldo e Geraldo devem ficar em grupos diferentes 
 Carlos e Geraldo devem ficar em grupos diferentes 
 Carlos e Beatriz devem ficar em grupos diferentes 
 
Para facilitar o nosso trabalho vamos representar estas informações em uma tabela, 
simbolizando cada pessoa pela letra inicial de seu nome. 
 
 34 
 
Como Edna e Arnaldo devem estar no mesmo grupo, Beatriz e Flávio também devem 
estar no mesmo grupo e o grupo pode ter no máximo 3 pessoas, concluímos que: 
 
GRUPO 
I 
GRUPO 
II 
GRUPO 
III 
A B 
E F 
 
 
Observe agora que Geraldo não pode ficar no mesmo grupo de Arnaldo e nem no 
mesmo grupo de Beatriz. Portanto, ele deve estar no terceiro grupo: 
 
GRUPO 
I 
GRUPO 
II 
GRUPO 
III 
A B G 
E F 
 
 
Como o número mínimo de pessoas em cada grupo é de duas, devehaver mais alguém 
formando o grupo III com Geraldo. Mas Geraldo não pode estar no mesmo grupo de 
Carlos; logo, só sobra Douglas para completar o grupo de Geraldo. 
 
GRUPO 
I 
GRUPO 
II 
GRUPO 
III 
A B G 
E F D 
 
 
Para completar a tabela, precisamos agora colocar Carlos em um dos grupos. Lembre-
se de que Carlos não pode ficar no mesmo grupo de Geraldo nem no de Beatriz. 
Portanto, Carlos tem que ser colocado no grupo II. O formato final da tabela, então, é o 
seguinte: 
 
GRUPO 
I 
GRUPO 
II 
GRUPO 
III 
A B G 
E F D 
C 
 
Analisando as alternativas da questão, podemos verificar que a resposta correta é a 
letra A. Podemos afirmar que Arnaldo e Carlos ficarão sempre no mesmo grupo. 
 
Com isso terminamos nossa aula. 
Espero que você tenha gostado de aprender um pouco sobre correlação de elementos. 
 
 35 
 
Importante 
 
Se você tiver interesse em praticar mais e ver outros problemas 
deste tipo, pode visitar o site da Revista Coquetel, 
 http://www.coquetel.com.br/produtos.php. 
 
Lá você verá que existem dois tipos especiais de revistas de 
passatempo que apresentam problemas seguindo esta linha de 
raciocínio: Problemas de Lógica e LogicPix. 
	Logo, esse mesmo raciocínio permite encontrar a letra que falta na segunda linha da tabela:
	A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z
	Sequências numéricas
	O Princípio Fundamental da Contagem e o Diagrama de Árvore