EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
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EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS


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2011
Luciano Moura Cavalcante
Equações Diferenciais Ordinarias
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EXPEDIENTE
 
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Igor Lima Rodrigues
Pedro Luiz Furquim Jeangros
Projeto gráfico
Rafael Straus Timbó Vasconcelos
Marcos Paulo Rodrigues Nobre
Coordenador Editorial
Rafael Straus Timbó Vasconcelos
Diagramação
Francisco José da Silva Saraiva
Ilustração
Marcos Paulo Rodrigues Nobre
Capa
Emilson Pamplona Rodrigues de Castro
 
 
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Dilma Vana Rousseff
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
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DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLÍTICAS EM EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA \u2013 DPEAD
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GOVERNADOR DO ESTADO DO CEARÁ
Cid Ferreira Gomes
REITOR DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
Francisco de Assis Moura Araripe
VICE-REITOR
Antônio de Oliveira Gomes Neto
PRÓ-REITORA DE GRADUAÇÃO
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COORDENADOR GERAL UAB/UECE
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COORDENADORA ADJUNTA UAB/UECE
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COORDENADOR DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Cleiton Batista Vasconcelos
COORDENADOR DE TUTORIA E DOCÊNCIA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Gerardo Oliveira Barbosa
Apresentação ....................................................................................................................... 7
Capítulo 1
Equações Diferenciais Ordinárias ......................................................................................... 9
1 Equações Diferenciais Ordinárias .................................................................................. 11
Capítulo 2
Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem ............................................................. 17
1. Equações Diferenciais Ordinárias com Variáveis Separáveis .......................................... 19
1.1 Aplicações Geométricas .................................................................................................22
1.2 Trajetórias Ortogonais ....................................................................................................25
1.3 Aplicações Diversas ........................................................................................................26
2. Equações Diferenciais Homogêneas .............................................................................. 36
3. Equações Diferenciais Exatas ......................................................................................... 39
4. Equação Diferencial Ordinária Linear ............................................................................. 43
Capítulo 3
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem .............................................. 49
1. Equações de Segunda Ordem Incompletas ................................................................... 51
2. Operadores Diferenciais Lineares ................................................................................ 55
3. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem Homogêneas a Coe\ufb01 cientes Constantes . 58
4. Equações Diferenciais Homogêneas de ordem superior ............................................... 63
5. Aplicações ...................................................................................................................... 65
5.1 Aplicações Geométricas .................................................................................................66
5.2 Aplicações Diversas .......................................................................................................68
Dados do Autor .................................................................................................................... 77
A origem do estudo das equações diferenciais e as técnicas de resolução datam 
da época do surgimento do Cálculo Diferencial e Integral no século XVII, envolvendo 
personagens histórios e famosos como Isaac Newton, Gottfried Leibniz e muitos outros. 
A partir daí, o campo de estudo das equações diferenciais vem se desenvolvendo, com a 
formulação e resolução de inúmeros problemas nas mais diferentes áreas das ciências. 
As	equações	diferenciais,	por	defi	nição,	 são	 equações	que	 envolvem	 funções	 e	
suas derivadas, e por isso elas são divididas em duas classes distintas. As Equações 
Diferenciais Ordinárias (EDO) envolvem apenas derivação de funções ordinárias e as 
Equações Diferenciais Parciais (EDP) trabalham com derivadas parciais de funções de 
várias variáveis. 
Este livro trata apenas da primeira classe de equações, onde estudaremos as 
equações	 diferenciais	 ordinárias	 desde	 a	 sua	 defi	nição,	 tentando	 ajudar	 o	 aluno	 a	
entender	a	sua	natureza	e	o	seu	signifi	cado.	Algumas	vezes	preferimos	ser	ocasional-
mente informais nas provas e demonstrações de resultados, mas compreensíveis, pois 
não pretendemos construir uma estrutura matemática logicamente impecável, com 
teoremas,	provas	e	demonstrações	que	desafi	em	a	capacidade	do	leitor.	O	nosso	princi-
pal	objetivo	é	procurar	interpretar	o	signifi	cado	das	equações	diferenciais	e	aplicá-las	
a	problemas	de	cinemática,	eletricidade,	decaimento	radiativo,	crescimento	populacio-
nal, cinética química, ecologia, epidemiologia e outras áreas, com uma variedade de 
problemas resolvidos e propostos. 
O Autor.
Capítulo
Objetivos:
\u2022	 Definir	as	Equações	Diferenciais	Ordinárias
\u2022	 Identificar	uma	Equação	Diferencial	Ordinária
\u2022	 Analisar as soluções de uma Equação Diferencial Ordinária
1
Equações Diferenciais 
Ordinárias
11EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
A origem do estudo das equações diferenciais e as técnicas de re-
solução datam da época do surgimento do Cálculo Diferencial e Integral 
no século XVII, envolvendo personagens históricos e famosos como Isaac 
Newton, Gottfried Leibniz e muitos outros. A partir daí, o campo de estudo 
das equações diferenciais vem se ampliando, com a formulação e resolução 
de inúmeros problemas nas mais diferentes áreas do conhecimento.
Estudaremos	as	equações	diferenciais	desde	a	sua	definição,	tentan-
do	ajudar	o	aluno	a	entender	a	sua	natureza	e	significado.	Algumas	vezes,	
para	facilitar	o	entendimento,	faremos	simplificações	ousadas,	sem,	no	en-
tanto desprezarmos a exatidão dos conceitos e o rigor matemático. O nosso 
principal	objetivo	é	facilitar	a	compreensão,	a	interpretação	e	as	aplicações	
das equações diferencias ordinárias. Para isto apresentaremos exercícios 
resolvidos e propostos versando sobre aplicações nas ciências físicas bioló-
gicas e humanas.
1 Equações Diferenciais Ordinárias
Definição
Uma Equação Diferencial Ordinária ( E.D.O.) de ordem n	é	defi-
nida como uma relação da forma F( x , y , y\u2019 , y\u2019\u2019, ... , yn ) = 0 envolvendo 
uma função y = y( x ) e suas n primeiras derivadas y\u2019 = dy
dx
; y\u2019\u2019 = 
2
2
d y
dx
; ...... ; 
yn = 
n
n
d y
dx
, onde a função F é sempre suposta ser contínua.
A palavra ordinária	significa	que	a	função	y		=		y(	x	)	depende	so-
mente de uma variável independente